讓課堂在數(shù)形結(jié)合中升華解讀

1、小學(xué)數(shù)學(xué)論文讓課堂在數(shù)形結(jié)合中升華溫嶺市太平小學(xué)陳 艷【摘要】數(shù)形結(jié)合 - 就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，抽象思維與形象思維相結(jié)合，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。數(shù)形結(jié)合在小學(xué)里，既是重要的數(shù)學(xué)思想與方法，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、 理解數(shù)學(xué)的有效手段。本文擬從數(shù)形結(jié)合教學(xué)出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合思想，探索出一條“借形悟數(shù)、借數(shù)明形、數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)教學(xué)及問題解決之路，幫助學(xué)生有效地建立數(shù)學(xué)概念，感悟解題方法，探究數(shù)學(xué)奧秘，培育學(xué)生的推理和歸納的能力，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的有效建構(gòu)，發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣?！娟P(guān)鍵詞】借形悟數(shù)借數(shù)明形數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系 )與形（空間形式）的相互轉(zhuǎn)化

2、、互相利用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法?！皵?shù)”和“形 ”是緊密聯(lián)系的。我們在研究“數(shù) ”的時候，往往要借助于“形 ”，在探討 “形 ”的性質(zhì)時，又往往離不開 “數(shù) ”。數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，達(dá)到抽象思維與形象思維相結(jié)合的目的。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀、形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好， 隔離分家萬事休”?？梢?, 數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位非常重要, 尤其對以形象思維為主的小學(xué)生來說 , 更是如此。因此，我們教師要站在一切為了學(xué)生發(fā)展的高度，有計(jì)劃地滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生主動運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識，形成良

3、好的思維品質(zhì)。一、借形悟數(shù)，在直觀中理解“數(shù)”小學(xué)生都是從直觀、 形象的圖形開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的， 低年級的具體形象尤為明顯， 中高年級逐步向抽象邏輯思維過渡， 但這時的邏輯思維是初步的， 在很大程度上仍帶有具體形象性。教師教學(xué)“數(shù)”的問題，可以借助形的直觀性質(zhì)，突出圖的形象思維，學(xué)生們往往能在圖形的操作或觀察中學(xué)會收集， 學(xué)會探究規(guī)律， 發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系， 親歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型， 在形成表象的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象、領(lǐng)悟，達(dá)到最終理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思想的目的。1以形悟數(shù)，在直觀中建立概念在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如果能夠建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)概念中最

4、本質(zhì)的屬性用恰當(dāng)?shù)膱D形演示出來，把數(shù)和形結(jié)合起來，就可以豐富學(xué)生的感性材料，為建構(gòu)數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。保留一位保留兩位1例如：四年級下冊小數(shù)意義中教學(xué)近似值，我 7.7957.87.80們老師強(qiáng)調(diào)近似值末尾的0 不能去掉，學(xué)生只是記住這個概念。而如果能引導(dǎo)學(xué)生比較近似值7.8 和 7.80 的異同點(diǎn)。這樣用數(shù)軸來表示，形象直觀的表示出為什么7.80 末尾的 0 不能去掉？也能深刻感悟到7.80 比 7.8 更精確，使學(xué)生對保留小數(shù)位數(shù)的精確度有了本質(zhì)的認(rèn)識。教學(xué)中借助數(shù)軸分析，使學(xué)生很直觀、形象地領(lǐng)悟近似值7.8 和 7.80 的異同，建立了小數(shù)近似值的概念， 不再是死記硬背末尾的 0 不能去掉

5、， 而且對小數(shù)位數(shù)的精確度有了本質(zhì)的認(rèn)識，還為近似值 7.8 的取值范圍和 7.80 的取值范圍打下了基礎(chǔ)。這樣在學(xué)生的腦海中形成數(shù)學(xué)的模型，可以形象地幫助學(xué)生理解和記憶。2以形解數(shù)，在聯(lián)接中體悟方法抽象的數(shù)量關(guān)系通過看得清、摸得著的圖表示出來，化隱為顯，化難為易，幫助學(xué)生理解、掌握，其實(shí)質(zhì)都是以形解數(shù)。在解題過程中，學(xué)生也可以自己創(chuàng)造地畫圖，把一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化， 從而使解題思路更加明了， 使不同層次的學(xué)生能獲得屬于自己理解的一種解題方法。如在教學(xué)乘法分配律之后，出現(xiàn)了：1997 ×2013-1996 ×2014 這題，由于題中的數(shù)據(jù)比較大， 直接計(jì)算容易發(fā)生錯誤

6、，首先引導(dǎo)學(xué)生利用分配律來解題，但通過兩次乘法分配律來換算，學(xué)生的錯誤率較高,于是把這題通過代數(shù)變形進(jìn)行教學(xué),學(xué)生不僅能聽懂,表達(dá)此題的意義,且正確率也明顯的提高。在教學(xué)時，借助圖形進(jìn)行如下的教學(xué)：首先構(gòu)建如圖1 的兩個長方形，長方形ABCD 和長方形AEFG ， CD =2013， AD =1997，AE =2014,EF=1996 ，由圖所知，把原式的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為求兩個長方形的面積之差。借助幾何直觀容易看出長方形GDCH 和長方形BEFH 的寬都是1 ，所以，原式 =S 長方形 ABCD -S長方形 AEFG =2013×1-1996 ×1=17 。通過這樣的圖形來幫助

7、學(xué)生分析題目，學(xué)生很直觀的看到這兩個小長方形面積的差是多少就是此題算式的過程展現(xiàn)，一道很復(fù)雜的有關(guān) “數(shù)”的計(jì)算題， 就被“形” 的聯(lián)接很輕松、直觀的解決了，同時在數(shù)與形的聯(lián)接中使學(xué)生充分感受到解決問題策略的多樣性。23以形構(gòu)數(shù)，在過程中探究奧秘在解決一些抽象的、 復(fù)雜的、不好解釋的問題時， 利用形象、 直觀的 “形”來揭示復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題，以形構(gòu)其數(shù)，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，化難為易，能調(diào)動學(xué)生主動積極參與學(xué)習(xí)，探究奧秘，更能提高學(xué)生的思維能力。如六上數(shù)學(xué)廣角解決特殊的分?jǐn)?shù)加法計(jì)算：教學(xué)時先讓學(xué)生來觀察算式中加數(shù)有什么規(guī)律？發(fā)現(xiàn)：后面一個分?jǐn)?shù)是前一個分?jǐn)?shù)的。緊接著就讓學(xué)生把算式

8、讀下去，體會要這樣無窮無盡地加下去。這時老師可以設(shè)置懸念，算式都讀不完， 連加數(shù)都不知道有多少個，我們怎么知道和是多少？給學(xué)生的感覺根本不可能解決，然而老師開始引導(dǎo)畫個圖來幫助思考，從而突出形的重要。首先把這個正方形看作1，先取，再取的一半，這樣陰影部分就表示了 的和，那再取的一半加下去， 表示了 的和，再加，再加，再加，再加，再加，就這樣無窮無盡地，一直不斷、無限地加下去，你現(xiàn)在有什么發(fā)現(xiàn)了嗎？學(xué)生開始議論了，這樣一直加下去，空白部分越來越小，越來越小，一部分學(xué)生說小到?jīng)]有了，陰影部分占滿了整個正方形，所以它的和就等于1。另一部分學(xué)生堅(jiān)持總有一點(diǎn)點(diǎn)空隙，不可能等于1。這時課件動畫展示，并告訴

9、學(xué)生數(shù)學(xué)上無限接近1 就是等于1。這樣一道雖有規(guī)律， 但有無限個分?jǐn)?shù)相加的算式， 按照常規(guī)根本無法計(jì)算， 但是通過數(shù)與形的結(jié)合，既讓學(xué)生在畫圖中探究了奧秘，并且在探究奧秘過程中深刻地感悟極限思想，又讓學(xué)生享受著探究數(shù)學(xué)奧秘的有趣過程。二、借數(shù)明形，在轉(zhuǎn)換中建立“形”“形”具有形象直觀的優(yōu)勢，但有些隱含在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識卻不易被發(fā)現(xiàn)。在“形”中覓“數(shù)”，借助“數(shù)”的形態(tài)，歸結(jié)為較容易處理的數(shù)量關(guān)系式來研究，來解決圖形問題。通過形與數(shù)之間的分析、判斷、計(jì)算，才能凸顯出來。在數(shù)形的轉(zhuǎn)換中，建立數(shù)中有形，形中有數(shù)，從而獲得數(shù)學(xué)知識和問題的解決。1以數(shù)顯形，在觀察中理解本質(zhì)在課堂教學(xué)中， 教師要引導(dǎo)學(xué)生在圖

10、形的直觀中觀察探究，抽象出數(shù)的規(guī)律，以數(shù)顯示形，數(shù)能使形的規(guī)律更細(xì)致， 并在觀察探究中深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知， 通過數(shù)的運(yùn)算和變式，進(jìn)一步理解其本質(zhì)。如六年級上冊數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形，一副點(diǎn)陣圖從不同的角度去觀察，會發(fā)現(xiàn)不同的規(guī)律。3橫著斜著折線4 ×4=161+2+3+4+3+2+1 =161+3+5+7=16學(xué)生的直觀就是橫著看4 ×4=16 ，老師問除了這樣橫著劃分，還可以怎樣有規(guī)律的劃分？有圖形橫 著斜 著折 線少部分學(xué)生想到橫著劃分了接2 ×21+2+11+3著斜著劃分， 當(dāng)老師追問還有別3 ×31+2+3+2+11+3+5的劃分方法嗎？學(xué)生基本答

11、不1+2+3+4+5+4上了。于是指引他們折線去觀察，5 ×51+3+5+7+9學(xué)生一開始懵懵懂懂， 就依樣畫+3+2+1葫蘆的列式，沒想到會有規(guī)律。于是讓學(xué)生結(jié)合圖觀察算式的特點(diǎn)，通過形的結(jié)合，才能明白都可以用4 的平方來計(jì)算，初步形成表象。接下來提供了2 ×2、 3×3、 5×5 的點(diǎn)陣圖，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解本質(zhì)。當(dāng)圖形和算式結(jié)合起來，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。斜著劃分規(guī)律：1+2+3+4+N+4+3+2+1=N 2折著劃分規(guī)律：從1 開始， n 個連續(xù)奇數(shù)相加，和就是n 的平方。這樣數(shù)與形的對照， 給予學(xué)生充分探索規(guī)律的時間和空間， 讓學(xué)生動

12、腦思考， 從點(diǎn)陣圖中找出不同的計(jì)算規(guī)律， 在自主探究中理解 “從簡單的情形開始， 找出規(guī)律， 明白計(jì)算方法”的策略，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、觀察歸納和解決問題的能力。2以數(shù)想形，在對比中抽象本真學(xué)生從直接感知到表象， 再到形成概念的過程中， 以數(shù)想形， 抓住這個中間環(huán)節(jié)， 讓學(xué)生多角度地靈活思考，大膽地想象， 對知識的理解逐步深化， 有效幫助學(xué)生在對比中， 理解圖形的性質(zhì)，也有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力。例如在教學(xué)“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一性質(zhì)時，教師可以呈現(xiàn)一個算式，讓學(xué)生畫出可能會是怎樣的三角形。如：4 ×3 ÷2，學(xué)生可以畫

13、出如下圖形：4然后老師將各種三角形匯合在一組平行線間，通過觀察這一組圖形,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“不同形狀的三角形只要等底等高，它的面積就相等”這一圖形性質(zhì)。圖形是推理和計(jì)算的直觀模型，以數(shù)想其形， 讓學(xué)生在想象中發(fā)展空間觀念，在對比中領(lǐng)悟本真， 突出圖形的形象思維， 又幫助獲得準(zhǔn)確結(jié)論， 是訓(xùn)練學(xué)生掌握幾何圖形知識的很好手段，有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)中有形、形中有數(shù)的意識。3以數(shù)釋形，在明理中構(gòu)建概念圖形以其形象、 直觀常常成為教學(xué)的有效輔助，2011 版新課程標(biāo)準(zhǔn)更是把“幾何直觀”作為十個核心關(guān)鍵詞之一，足見它在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本思想、積累基本活動經(jīng)驗(yàn)中的重要作用， 但是教學(xué)過程中有時僅僅憑借圖形并不能很好地

14、解釋某些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律， 必須借助“數(shù)”的解釋，才能讓“形”發(fā)揮更大的作用。如教學(xué)比例的意義時，教材提供了幾幅不同大小的長方形國旗：教師可以這樣提問：為什么這幾面國旗大小不同，形狀卻完全一樣？在這個問題的指引下，讓學(xué)生寫出相對應(yīng)的長與寬的比，發(fā)現(xiàn)它們的比值相等。這樣初步解釋了“大小不同，形狀相同”的緣由，初步感知比例。再引導(dǎo)學(xué)生換個角度思考，長與長、寬與寬、寬與長等等的比的比值是否也相等，再次感受“大小不同，形狀相同”的緣由，再次感受比例。是不是像這樣“大小不同，形狀相同”只限于長方形呢？讓學(xué)生根據(jù)老師提供的三角形、平行四邊形等圖形，寫出比例，再次強(qiáng)化比例的意義。這樣通過豐富的材料，讓學(xué)生

15、經(jīng)歷知識的形成過程，在不斷的比較、抽象、概括的過程中不但獲取了必要的基本知識和基本技能， 還豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)的基本思想， 積累了研究數(shù)學(xué)、建構(gòu)知識的基本活動經(jīng)驗(yàn)，并且為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)作了有效的鋪墊。5三、數(shù)形結(jié)合，在思考中提升數(shù)形對照，以數(shù)輔形，以形助數(shù)，形象思維與抽象思維聯(lián)合而行。既有直觀的解釋，又便于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合有時能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一。在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情形，把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，使學(xué)生在思考中不斷提升。1. 數(shù)形結(jié)合，在融合中構(gòu)建新知數(shù)與形

16、相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中比比皆是。在教學(xué)中， 有些數(shù)學(xué)算理如能與數(shù)形結(jié)合緊密聯(lián)系，學(xué)生便可容易理解和深刻掌握；有些概念教學(xué)既以形的直觀來促進(jìn)概念的內(nèi)化， 又以數(shù)的真實(shí)來促進(jìn)感悟，能使學(xué)生積極有效地構(gòu)建新知；數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)，就更不開數(shù)與形的相結(jié)合，數(shù)形結(jié)合可在一定程度上減緩學(xué)生認(rèn)識上的難度，形使數(shù)的規(guī)律更直觀，數(shù)使形的規(guī)律更細(xì)致。如異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)，利用數(shù)形結(jié)合，學(xué)生便可深刻體會通分的必要性，理解和掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，突破教學(xué)重點(diǎn)。再如六上數(shù)學(xué)廣角的練習(xí)中出現(xiàn)完全平方公式，用小學(xué)知識如何理解（ a+b ）2=a 2 +2ab+b 2，我們可以結(jié)合圖形用面積計(jì)算的知識探索一下

17、。（a+b ） 2 就看成邊長是a+b的大正方形面積，在大正方形中分出一個邊長為a 的長正方形、一個邊長為b 的中正方形和兩個相同的長方形，像右圖這樣觀察，就發(fā)現(xiàn)大正方形面積就是a2+2ab+b 2 ，所以得出（ a+b ） 2=a 2 +2ab+b 2此外，在容斥問題、行程問題中，圖形更是好幫手，甚至可以說離開了圖，小學(xué)生很難理解這類問題。把“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合起來教學(xué)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)生積極主動學(xué)習(xí)，有效構(gòu)建新知，從而提高課堂效率。2 數(shù)形結(jié)合，在思考中提升思維圖形知識的學(xué)習(xí)，無一不是數(shù)與形相結(jié)合的，但教學(xué)時不能僅僅停留在空間觀念的形成和利用公式的計(jì)算上， 而要在解決圖形問題

18、時培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。如在學(xué)習(xí)圓的面積時，往往只停留在推導(dǎo)出面積計(jì)算公式就行了，如果能充分利用數(shù)和式來表達(dá)推導(dǎo)過程中圖形所蘊(yùn)含的特征，有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維。教學(xué)時設(shè)計(jì)如下題組問題來引導(dǎo)學(xué)生思考，可以提升數(shù)學(xué)思維。6如果拼成長方形的寬是6 厘米，這個圓的面積是多少？如果長方形的長是12.56厘米，這個圓的面積是多少？如果長方形的周長比圓的周長多20 厘米，這個圓的面積是多少？拼成的長方形長寬之比是多少？如果長方形的周長是41.4厘米，這個圓的面積是多少？學(xué)生通過解決這一組問題，不僅促進(jìn)他們對圓面積公式的理解，還能在解決問題的過程中，通過對圖形特征的觀

19、察，深化圓面積推導(dǎo)圖的實(shí)質(zhì)的理解。讓學(xué)生通過數(shù)的計(jì)算促進(jìn)空間觀念的形成，提高了小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)習(xí)有效性。總之，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門學(xué)科。在小學(xué)里，數(shù)形結(jié)合既是重要的數(shù)學(xué)思想與方法，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的有效手段。課堂中把“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合起來研究問題， 可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的問題很好地轉(zhuǎn)化，可以幫助學(xué)生借助幾何直觀建立數(shù)的概念， 可以幫助學(xué)生理解數(shù)運(yùn)算的意義，可以使解題思路與過程更加具體化，可以讓學(xué)生享受探究數(shù)學(xué)奧秘的過程，也可以借助圖形的表象發(fā)展空間觀念，更好地展現(xiàn)知識的建構(gòu)過程。 因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者十分重視數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法，在平時的教學(xué)中做到不斷滲透數(shù)學(xué)思想，有機(jī)地結(jié)合起來教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生主動運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識，從而形成數(shù)學(xué)的有效教學(xué)及問題解決之路，使我們的課堂在數(shù)形結(jié)合中升