坐標(biāo)計(jì)算實(shí)例(緩和曲線)(1)

1、緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算（轉(zhuǎn)載） 摘要：利用一緩和曲線算例，通過(guò)數(shù)學(xué)分析，推導(dǎo)出緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式，此公式可作為道路測(cè)設(shè)中的范例來(lái)運(yùn)用，有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。 關(guān)鍵詞：緩和曲線、公式、逐樁坐標(biāo)一、 引言道路建設(shè)中，由于受地形或地質(zhì)影響，經(jīng)常需要改變線路方向，為滿(mǎn)足行車(chē)要求，往往要用曲線把兩條直線連接起來(lái)。曲線的構(gòu)成形式無(wú)外乎圓曲線和緩和曲線，本文以河北省沿海高速某曲線段為例推導(dǎo)出緩和曲線的逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式，以方便圖紙的審核，滿(mǎn)足施工放樣的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作為道路測(cè)設(shè)中的范例運(yùn)用。二、公式推導(dǎo)1 、實(shí)例數(shù)據(jù)河北省沿海高速公路一緩和曲線（如圖）： AB 段為緩和曲

2、線段， A 為 ZH 點(diǎn)， B 為 HY 點(diǎn)， RB=800m ； A 點(diǎn)里程為 NK0+080 ，切線方位角為 A=100 ° 00 24.1 ，坐標(biāo)為 XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 點(diǎn)里程為 NK0+158.125 ，切線方位角為 B=102 ° 48 15.6 ，坐標(biāo)為 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲線段內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)。2 、公式推導(dǎo)及實(shí)例計(jì)算方法一：弦線偏角法1 ）公式推導(dǎo)由坐標(biāo)增量的計(jì)算方法我們不難理解，求一點(diǎn)坐標(biāo)可以根據(jù)其所在直線的方位角以及直線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)和距待求點(diǎn)的距離。所以我們可

3、以利用 ZH 點(diǎn)，只要知道待求點(diǎn)距 ZH 點(diǎn)的距離（弦長(zhǎng) S ）和此弦與 ZH 點(diǎn)切線方位角的夾角（轉(zhuǎn)角 a ），即可求出該點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)回旋線方程 C=RL ，用 B 點(diǎn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出回旋線參數(shù)：C=RLS=800*78.125=62500 （ LS 為 B 點(diǎn)至 ZH 點(diǎn)的距離）設(shè)待求點(diǎn)距 ZH 點(diǎn)距離為 L因回旋線上任意點(diǎn)的偏角 0=L2/2RLS, 且轉(zhuǎn)角 a=0/3 ，可得該點(diǎn)轉(zhuǎn)角 a 。（曲線左轉(zhuǎn)時(shí) a 代負(fù)值）。根據(jù)緩和曲線上的弧弦關(guān)系 S=L-L5/90R2LS2 ，可以求出待求點(diǎn)至 ZH 點(diǎn)的弦長(zhǎng)。然后我們利用坐標(biāo)增量計(jì)算公式可以推導(dǎo)出緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式：X=XA+S*co

4、s （ A+a ） =4355189.493+ （ L-L5/90R2LS2 ） *cos （ A+L2/6RLS ）Y=YA+S*sin （ A+a ） =476976.267+ （ L-L5/90R2LS2 ） * sin （ A+L2/6RLS ）式中 A=100 ° 0 24.1 2 ）實(shí)例計(jì)算現(xiàn)在我們利用此公式計(jì)算樁號(hào)為 NK0+140 的坐標(biāo)第一步，求出 L=140-80=60 米第二步，求出 a=180L2/6 RLS=0 ° 33 00.14 第三步，求出 S=L-L5/90R2LS2=60-605/ （ 90*8002*78.1252 ） =59.998第

5、四步：將 a ， S 值代入緩和曲線計(jì)算公式，可求出樁號(hào)為 NK0+160 點(diǎn)的坐標(biāo)為：X=4355178.501 ， Y=477035.249 。同理，我們可求出其它樁號(hào)的坐標(biāo)。方法二：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法1 ）公式推導(dǎo)首先我們建立坐標(biāo)系，以 ZH 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其切線方向?yàn)?X 軸，過(guò)該點(diǎn)的半徑方向?yàn)?Y 軸（如圖）。根據(jù)緩和曲線參數(shù)方程：x=L-L5/40R2LS2 ；y=L3/6RLS計(jì)算出曲線上各點(diǎn)在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（ x ， y ）。然后利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式X=XA+xco-,ysinaY=YA+xsina+ycosa將 (x,y) 代入該式，即可求出緩和曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式：X=43551

6、89.493+ （ L-L5/40R2LS2 ） cosA - （ L3/6RLS ） sinA ；Y=476976.267+ （ L-L5/40R2LS2 ） sinA + （ L3/6RLS ） cosA 。式中 A=100 ° 0 24.1 2 ）實(shí)例計(jì)算現(xiàn)利用此公式計(jì)算樁號(hào)為 NK0+140 的坐標(biāo)。第一步：求出 L=140-80=60 米第二步：求出該點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo) x=59.995 ； y=0.576 。第三步：將 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐標(biāo)為：X=4355178.501 ， Y=477035.249 。同理可計(jì)算出曲線上其他對(duì)應(yīng)樁

7、號(hào)的坐標(biāo)：NK0+100 ： X=4355185.997 ； Y=476995.959 。NK0+120 ： X=4355182.375 ； Y=477015.628 。為提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，提高工作效率和減輕計(jì)算的工作量，在實(shí)際應(yīng)用中可以配合電子計(jì)算器使用，以下是 CASIO4800P 計(jì)算器計(jì)算緩和曲線的公式：Lbl 0:EG:A “ X0 ” ：B “ Y0 ” ：C “ C0 ” ：D “ 1/R1 ” ：E “ 1/R2 ” ：F “ DK1 ” ：G “ DK2 ”Lbl 1:HOR:H “ DKi”:O “ DL”:R”DR”:H>G Goto 2 P= （ E-D ）

8、/Abs(G-F):Q= Abs(H-F):I=P*QJ=C+(I+2*D)*Q*90/ M=C+(I/4+2*D)*Q*45/2 :N=C+(3*I/4+2*D)*Q*135/2/ :K=C+(I/2+2*D)*Q*45/ X=A+Q*(cos C+4*( cos M + cos N)+2* cos K+ cos J)/12 Y=B+Q*(sinC+4*(sin M + sin N)+2* sin K+ sin J)/12 Goto 1 說(shuō)明： A 為緩和曲線起點(diǎn)處的縱坐標(biāo)（ X 坐標(biāo)）；B 為緩和曲線起點(diǎn)處的橫坐標(biāo)（ Y 坐標(biāo)）；C 為緩和曲線起點(diǎn)處的切線方位角；D 為緩和曲線起點(diǎn)處的曲率

9、半徑；E 為緩和曲線終點(diǎn)處的曲率半徑；F 為緩和曲線起點(diǎn)處的里程；G 為緩和曲線終點(diǎn)處的里程；H 為緩和曲線中所要放樣點(diǎn)處的里程；注意事項(xiàng)： D 和 E 值分別為該緩和曲線前后兩段曲線元半徑的倒數(shù)（即 1 / 半徑），特別需要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)曲線右轉(zhuǎn)的時(shí)候曲率半徑輸入時(shí)為正值，左轉(zhuǎn)的時(shí)候輸入時(shí)為負(fù)值， ZH 點(diǎn)的半徑輸“ 0 ”。三、緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式應(yīng)用利用以上方法計(jì)算出對(duì)應(yīng)樁號(hào)的坐標(biāo)值，與圖紙給出的數(shù)值相比較，看兩者是否一致，以達(dá)到對(duì)圖紙審核的目的。在施工過(guò)程中，利用此方法可以提高工作效率和精度，在設(shè)計(jì)圖紙?zhí)峁┑狞c(diǎn)坐標(biāo)不能滿(mǎn)足實(shí)際要求時(shí)，可以計(jì)算出任意點(diǎn)的坐標(biāo)值來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，此計(jì)算方法

10、在施工放樣等道路測(cè)設(shè)中起到一定作用。四、結(jié)語(yǔ)在沿海高速公路的道路測(cè)設(shè)中運(yùn)用此方法，提高了圖紙復(fù)核的速度，對(duì)現(xiàn)場(chǎng)的施工放樣和復(fù)核施工人員的測(cè)量資料都起到了一定的作用，通過(guò)實(shí)踐驗(yàn)證了此方法在道路測(cè)設(shè)中有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，值得推廣。·高速公路的線路(緩和曲線)計(jì)算公式（轉(zhuǎn)載）  一、緩和曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算已知：緩和曲線上任一點(diǎn)離ZH點(diǎn)的長(zhǎng)度：l圓曲線的半徑：R緩和曲線的長(zhǎng)度：l0轉(zhuǎn)向角系數(shù)：K(1或1)過(guò)ZH點(diǎn)的切線方位角：點(diǎn)ZH的坐標(biāo)：xZ，yZ計(jì)算過(guò)程：說(shuō)明：當(dāng)曲線為左轉(zhuǎn)向時(shí)，K=1，為右轉(zhuǎn)向時(shí)，K=-1，公式中n的取值如下：當(dāng)計(jì)算第二緩和曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，則：l為到點(diǎn)HZ的長(zhǎng)

11、度為過(guò)點(diǎn)HZ的切線方位角再加上180°K值與計(jì)算第一緩和曲線時(shí)相反xZ，yZ為點(diǎn)HZ的坐標(biāo) 切線角計(jì)算公式： 二、圓曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算已知：圓曲線上任一點(diǎn)離ZH點(diǎn)的長(zhǎng)度：l圓曲線的半徑：R緩和曲線的長(zhǎng)度：l0轉(zhuǎn)向角系數(shù)：K(1或1)過(guò)ZH點(diǎn)的切線方位角：點(diǎn)ZH的坐標(biāo)：xZ，yZ計(jì)算過(guò)程：說(shuō)明：當(dāng)曲線為左轉(zhuǎn)向時(shí)，K=1，為右轉(zhuǎn)向時(shí)，K=-1，公式中n的取值如下：當(dāng)只知道HZ點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，則：l為到點(diǎn)HZ的長(zhǎng)度為過(guò)點(diǎn)HZ的切線方位角再加上180°K值與知道ZH點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)相反xZ，yZ為點(diǎn)HZ的坐標(biāo)  三、曲線要素計(jì)算公式公式中各符號(hào)說(shuō)明：l任

12、意點(diǎn)到起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度（或緩曲上任意點(diǎn)到緩曲起點(diǎn)的長(zhǎng)度）l1第一緩和曲線長(zhǎng)度l2第二緩和曲線長(zhǎng)度l0對(duì)應(yīng)的緩和曲線長(zhǎng)度R圓曲線半徑R1曲線起點(diǎn)處的半徑R2曲線終點(diǎn)處的半徑P1曲線起點(diǎn)處的曲率P2曲線終點(diǎn)處的曲率曲線轉(zhuǎn)角值 四、豎曲線上高程計(jì)算已知：第一坡度：i1(上坡為“”，下坡為“”)第二坡度：i2(上坡為“”，下坡為“”)變坡點(diǎn)樁號(hào)：SZ變坡點(diǎn)高程：HZ豎曲線的切線長(zhǎng)度：T待求點(diǎn)樁號(hào)：S計(jì)算過(guò)程：五、超高緩和過(guò)渡段的橫坡計(jì)算已知：如圖，第一橫坡：i1第二橫坡：i2過(guò)渡段長(zhǎng)度：L待求處離第二橫坡點(diǎn)（過(guò)渡段終點(diǎn)）的距離：x求：待求處的橫坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2

13、+2d3)+i1 六、匝道坐標(biāo)計(jì)算已知：待求點(diǎn)樁號(hào)：K曲線起點(diǎn)樁號(hào)：K0曲線終點(diǎn)樁號(hào)：K1曲線起點(diǎn)坐標(biāo)：x0，y0曲線起點(diǎn)切線方位角：0曲線起點(diǎn)處曲率：P0(左轉(zhuǎn)為“”，右轉(zhuǎn)為“”)曲線終點(diǎn)處曲率：P1(左轉(zhuǎn)為“”，右轉(zhuǎn)為“”)求：線路匝道上點(diǎn)的坐標(biāo)：x,y待求點(diǎn)的切線方位角：T計(jì)算過(guò)程：·高速公路超高緩和段的超高旋轉(zhuǎn)與計(jì)算（轉(zhuǎn)載）  摘 要 ： 本文介紹了緩和曲線的超高緩和段的超高方式的旋轉(zhuǎn)與計(jì)算 , 有些對(duì)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的表述與以前不太一樣 , 計(jì)算公式簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確。關(guān)鍵詞 : 緩和曲線 超高 旋轉(zhuǎn) 計(jì)算為使車(chē)輛在曲線段上安全行使 , 依據(jù)設(shè)計(jì)超高橫坡 , 分析、

14、理解超高在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)情況 , 準(zhǔn)確計(jì)算超高值至關(guān)重要 , 現(xiàn)在分別介紹超高緩和段的超高方式和計(jì)算。1. 超高方式 1. 1 繞路面內(nèi)側(cè)邊緣旋轉(zhuǎn) ( 簡(jiǎn)稱(chēng)邊軸旋轉(zhuǎn) )它是使旋轉(zhuǎn)軸在路面內(nèi)側(cè)邊緣保留在水平位置 ( 不考慮路線縱坡 ) 。首先在超高緩和段起點(diǎn)之時(shí) , 迅速將外側(cè)路肩橫坡變?yōu)槁饭皺M坡度。然后逐漸抬高外側(cè)路 面與路肩 , 使之達(dá)到與內(nèi)側(cè)路 拱坡度一致的單向橫坡。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)使整個(gè)斷面達(dá)到超高橫坡度為止。 ( 見(jiàn)圖一 )1. 2 繞路中線旋轉(zhuǎn) ( 簡(jiǎn)稱(chēng)中軸旋轉(zhuǎn) )它是使旋轉(zhuǎn)軸在路面中線保留在水平位置 ( 不考慮路線縱坡 ) 。首先在超高緩和段起點(diǎn)之時(shí) , 迅速將外側(cè)路肩橫坡度變?yōu)槁饭皺M坡

15、度。然后逐漸抬高外側(cè)路面與路肩 , 使之達(dá)到與內(nèi)側(cè)路拱坡度一致的單向橫坡。繼續(xù)旋轉(zhuǎn)使整個(gè)斷面達(dá)到超高橫坡度為止。 ( 見(jiàn)圖二 )2. 超高值計(jì)算 2.1 計(jì)算 X 0 它是與路拱同坡度的單向超高點(diǎn)至超高緩和段起點(diǎn)距離的計(jì)算 , 無(wú)論超高方式如何它都是由路拱坡度變?yōu)榕c路拱坡度一致的單向坡度。 2.2 計(jì)算超高值 ( 見(jiàn)附表 )在計(jì)算超高緩和段超高值時(shí)，分三種情況考慮：a. 當(dāng) i c <i g 時(shí)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 , 由外側(cè)路拱 -i g ( 相對(duì)內(nèi)側(cè) ) 逐漸抬高至 i g , 變化率為 2 i g , 這時(shí)超高橫坡未起作用 , 無(wú)論邊軸旋轉(zhuǎn)、中軸旋轉(zhuǎn) , 計(jì)算 hcx公式統(tǒng)為b. 當(dāng) i

16、c >i g 時(shí)這時(shí)超高旋轉(zhuǎn)已進(jìn)入超高橫坡 , 計(jì)算 hcx 公式為c. 當(dāng) i c =i g 時(shí)上述計(jì)算 hcx 公式都可采用 .例：江西省昌萬(wàn)公路某里程的緩和曲線為邊軸旋轉(zhuǎn)，已知： Lc=85 ， b=9,a=1.5,ig=2% ， ij=3%,ic=5%, 求 x=x0 處的單向橫坡的外側(cè)邊緣超高值 hcx 。 X Lc原計(jì)算公式： hcx=a(ij-ig)+aij+(a+b)ic =0.243現(xiàn)計(jì)算公式： 根據(jù)兩者計(jì)算公式和結(jié)果可知，只有在 Hy 處的 hc 相等外，其他任何處的 hcx 都有誤差。式圖中： b- 路面寬度 ( m );a- 路肩寬度 ( m );i g

17、 - 路拱橫坡 ;i j - 路肩橫坡 ;ic 超高橫坡；L c - 超高緩和段長(zhǎng)度 ( 或緩和曲線長(zhǎng)度 )( m );X 0 - 與路拱同坡度單向超高點(diǎn)至超高緩和起點(diǎn)距離 ( m );X - 超高緩和段上任一點(diǎn)至起點(diǎn)的距離 ( m );hc - 路基外緣最大超高值 (m);h c - 路中線最大超高值 ( m) ;h c - 路基內(nèi)緣最大降低值 (m);hcx - x 距離處路基外緣抬高值 (m);h cx - x 距離處路中線抬高值 (m);h cx - x 距離處路基內(nèi)緣降低值 (m);ZH- 第一緩和曲線起點(diǎn)（直緩）；HY- 第一緩和曲線終點(diǎn)（緩圓）；Bj- 路基加寬值 (m);Bjx

18、-x 距離處路基加寬值 (m).3. 結(jié)束語(yǔ) 正確分析、理解超高在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)情況 , 精確計(jì)算超高緩和段的超高值，是確保行車(chē)安全的關(guān)鍵。本文介紹了超高的旋轉(zhuǎn)過(guò)程及超高值的計(jì)算公式。如有 欠 妥之處 , 請(qǐng)讀者指正。曲線坐標(biāo)計(jì)算公式第一條緩和曲線部分：X=L- L 5/（40×R2×L 02）              Y=L3/(6×R×L 0)這是以ZH點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)測(cè)設(shè)到Y(jié)H點(diǎn)的計(jì)算公式圓曲線部分X=R×sin+m           Y=R×(1-cos)+p=( L i- L)×1800/(R×)+0m = L 0/2- L 03/(240×R2)P= L 02/(24×R)- L 04/(2688×R3)0= L 0×1800/(6×R×)0= L 0×1800/(2×R×)T=（R+P）×tg（