基本不等式的變形及應(yīng)用

1、基本不等式的變式及應(yīng)用不等式是課本中的一個(gè)定理，它是重要的基本不等式之一，對(duì)于它及它各種變式的掌握與熟練運(yùn)用是求解很多與不等式有關(guān)問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應(yīng)用1、十種變式； ； ； 若，則； 則若 若，則上述不等式中等號(hào)成立的充要條件均為：若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）2、應(yīng)用例1、若，且，求證：證法一：由變式得即同理：，因此由于三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，故評(píng)論：本解法應(yīng)用“”觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某一字母左邊是一次式，而右邊是二次式，顯然，這個(gè)變式具有升冪與降冪功能，本解法應(yīng)用的是升冪功能。證法二：由變式得同理： 故結(jié)論成立 評(píng)論：本解法應(yīng)

2、用“”，這個(gè)變式的功能是將“根式合并”，將“離散型”要根式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一根式，顯然，對(duì)問題的求解起到了十分重要的作用。證法三：由變式得故 即得結(jié)論評(píng)論：由基本不等式易產(chǎn)生，兩邊同時(shí)加上即得，于是便有了變式，本變式的功能可以將平方進(jìn)行“分拆”與“合并”。本解法是將平方進(jìn)行分拆，即由整體平方轉(zhuǎn)化為個(gè)整平方，從而有效的去掉了根號(hào)。例2、設(shè)，求證：證明：由變式得，三式相加即得：評(píng)論：本解法來至于“若，則”，這個(gè)變式將基本不等式轉(zhuǎn)化成更為靈活的形式，當(dāng)分式的分子與分母出現(xiàn)平方與一次的關(guān)系時(shí)，立即可以使用，方便快捷。例3、實(shí)數(shù)滿足，求的最大值與最小值解析：結(jié)合變式得因此即當(dāng)且僅當(dāng)、再結(jié)合條件得及時(shí)，分別獲得最

3、小值與最大值；評(píng)論：由再結(jié)合即得變式，這可是一個(gè)很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產(chǎn)生的一個(gè)特殊分式的關(guān)系，它的靈活應(yīng)用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們處理圓錐曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑。例4、已知，且，求的最小值解析：由變式上述兩不等式當(dāng)且僅當(dāng)、再結(jié)合得或時(shí)，取得最小值；評(píng)論：由結(jié)合兩邊同除以即得變式，本題兩次使用基本不等式，第一次應(yīng)用變式，第二次應(yīng)用基本不等式。值得注意的是兩次等號(hào)成立的條件必須一致，否則，最值是取不到的。例5、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值；解：由變式、得上述三個(gè)不等式中等號(hào)均在同一時(shí)刻時(shí)成立由故的最大值為；評(píng)論：由再結(jié)合即得變式；又由得結(jié)合，兩邊同除即得變式。本題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來之實(shí)在不易。首先這兩個(gè)變式不一定大家都熟悉，其次，三次使用變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，必須保證等號(hào)在同一時(shí)刻取得，可謂步履維艱?？梢钥闯觯翰坏仁降母鞣N變式及其靈活運(yùn)用給予我們帶來了