圓錐曲線最值問題2教師版

1、 談圓錐曲線最值問題知識要點(diǎn)概述高考中，解析幾何內(nèi)容占總分的20%左右，而圓錐曲線又是解析幾何的主要內(nèi)容，占總分的15%左右，分值一直保持穩(wěn)定且題型多樣，方法靈活，綜合性強(qiáng)，常被安排在試卷的最后，作為把關(guān)題或壓軸題。而由于圓錐曲線的最值問題又是其重點(diǎn)出題之一，它涉及知識面廣，常用到函數(shù)知識、不等式及三角等重點(diǎn)知識，又因?yàn)槠潇`活多樣，故它能更好地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，要求較高，難度較大，一般學(xué)生不易解答完整。解題方法指導(dǎo)1. 解決圓錐曲線問題的方法l 幾何法：數(shù)形結(jié)合，借助圖形及圓錐曲線的定義、性質(zhì)及平面幾何的相關(guān)知識（如兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)到直線

2、的垂線段最短）進(jìn)行巧妙解題。l 代數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，?？蛇x用配方法、判別式法、不等式法、利用函數(shù)單調(diào)性以及參數(shù)法等。2運(yùn)用各種方法需注意的問題l 幾何法：凡涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)（或準(zhǔn)線）距離時，常聯(lián)想圓錐曲線的第二定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題，故應(yīng)畫出直觀圖象，分析代數(shù)式含義，把“數(shù)”與“形”進(jìn)行有機(jī)轉(zhuǎn)化，能達(dá)到事半功倍的效果。l 配方法：常與二次函數(shù)相結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)圖象及自變量范圍可求最值。若對稱軸位置不確定，要分類討論。判別式法：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程且方程有實(shí)根，故。不等式法：均值不等式可有效求得最值，但要注意條件“一正，二定，三相等”的條件。利用單調(diào)性：若

3、不是初等函數(shù)，可利用求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性，且精確得出自變量范圍，再求得最值。參數(shù)法：注意引入?yún)?shù)前后方程的等價性。范例剖析例1.若是雙曲線右支上的一個動點(diǎn)，是雙曲線右焦點(diǎn)，已知，求 的最小值。解：評：圓錐曲線的綜合問題常用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要思想方法。利用雙曲線的第二定義把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為兩線段的和，有平面幾何的知識得到最小值。例2.已知拋物線（1）若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)連線中點(diǎn)P的軌跡方程。（2）若是軸上的一個定點(diǎn)，是（1）所球軌跡上任一點(diǎn)，試問有無最小值？若有求出，若無說明理由。解：得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線（1）設(shè)，則，橢圓中心為，則

4、，設(shè)點(diǎn)B到的距離為，則，即，化簡得P點(diǎn)軌跡方程為：（2）設(shè)，則令當(dāng)當(dāng)評：第（2）問考查了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識建立曲線方程的能力。第（3）問主要考查了利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和分類討論的思想求函數(shù)最小值，字母常是引起分類討論的一個點(diǎn)。本題需要良好的分析問題和邏輯推理能力。例3.解：評：解題思路是聯(lián)立直線方程與曲線方程，求弦長及中點(diǎn)坐標(biāo)，再用一個變量表示另一個變量，使目標(biāo)關(guān)系式僅表示為一個變量的函數(shù)，達(dá)到消元目的，最后目標(biāo)函數(shù)變形轉(zhuǎn)化為可用基本不等式的形式，達(dá)到求最值目的。本題主要考查了拋物線、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和基本不等式等基礎(chǔ)知識，也考查了如何消元（參）及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)能力。例4解：例5.評：高考對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，要求全面又突出重點(diǎn)，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合，對重點(diǎn)知識的考查會保持較高的比例并達(dá)到必要的深度，因此對知識點(diǎn)綜合性較強(qiáng)的題型學(xué)生應(yīng)給予充分的重視。本題主要考查了圓錐曲線等差數(shù)列和函數(shù)等重要知識，只有對各部分知識牢固，靈巧掌握，才能精確得出自變量的范圍，最終求出這個一次遞增函數(shù)的最值。例6.解：評：本題主要考查了使用基本不等式應(yīng)注意的條件，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論的思想。此題因不知是否在范圍內(nèi)，因此不能使用基本不等式，考查了綜合分析問題解決問題的能力。例7.解：評：本題主要考查了直線和圓錐曲線的基本知識，思維的閃光點(diǎn)是聯(lián)立直線方程