定積分方法和應用(一)

1、例1解 先求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，令 ，則                            = 下面用另一種方法求解，令 ，當 時， ， 時， ，有=              &#

2、160;顯然，后一種方法比第一種方法更簡便，下面給出定積分的換元積分法。定理設函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，函數(shù) 滿足（1）；（2）在 （或 ）上單值單調，且有連續(xù)導數(shù)，則有 例2 解 令 則 ；當 時， ， 時，     ，于是原式= 換元公式也可反過來使用，由 引入新變量 ，                 看下例例3 解 令 ， ，當 時， ； 時，     

3、            注意：1. 用定積分換元法時,在變換積分變量的同時也要變積分限；但對應于不定積分中的第一類換元法（湊微分法），當代換沒有具體寫出新變量時，積分限不用變， 如     2. 使用換元法時要注意條件， 如   （ 令 ） 錯，因 時， 不是單值的。例4 設 在 上連續(xù)，證明：證明： 為偶函數(shù)時，  為奇函數(shù)時， 這個公

4、式要記住。如（1）=0  （2）在 上連續(xù)，且 ，       則 例5 計算 （為對稱區(qū)間，被積函數(shù)第一項為奇函數(shù)）解 原式         例6 設 是以 為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：證明：而      （）             

5、60;    所以 例7                   此題利用了周期性，的周期為 。例8 設 為連續(xù)函數(shù)，證明：證明：令，                     

6、;      和 取法同不定積分 例9 解 原式 例10 解    例11 解 原式         所以，原式 例12 設 ，證明： 。證明：設    例13 證明： ，其中 在所考慮的區(qū)間上連續(xù)。分析：所要證明的等式左端，其被積函數(shù)是一個變上限積分函數(shù) ，而 ，所以等式左端應用分部積分公式后就可化掉一個積分號。證明 用分部積分法有 所以 從上一章求曲邊梯形的面積及變速直線運

7、動物體的距離問題中看到，可利用定積分來計算幾何、物理等問題中的某些待求量。一般，設實際問題中的所求量 U 是一個與變量 的變化區(qū)間 有關的量，且量U 對區(qū)間 具有可加性，即 ，部分量 可表示成 ，則可考慮用定積分來求量 U 。具體做法是：（1）根據(jù)具體問題選取適當?shù)淖鴺撕头e分變量 ，并確定它的變化區(qū)間 ；（2）將 分割成若干個小區(qū)間，任取一個代表區(qū)間 ，求出這個區(qū)間上 U 的近似表達式：構造一個在 連續(xù)的函數(shù) 使  ，把 稱為 U 的元素記為： ；（3）所求量 U 等于

8、60;U 的元素在 上的積分 這種方法稱為元素法或微元法。1. 直角坐標情形 （1）由曲線 與 軸在區(qū)間 段所圍圖形的面積為 （2）設 在區(qū)間 連續(xù)，由曲線 、 與 所圍圖形的面積為 （3）設 在 上連續(xù)，由曲線 、 與 所圍圖形的面積為 （上面公式不用背，可用定積分的元素法推出）例1 計算由兩條拋物線： 所圍成的圖形的面積。解法一用定積分幾何意義（1）畫草圖，定出圖形的范圍。          （2）求曲線的交點。解 得選 為積分變量 （3）用定積分表達所求面積。所求面積等于兩曲邊梯形面積之差： 解法二 元素法 （1）作圖、求曲線交點（同上），取 為積分變量，（2）求面積元素 （3）積分 例2 求由曲線 及 所圍成的面積。解法一 作圖，求出兩曲線交點是（2，-