分塊矩陣及其應(yīng)用匯總

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分塊矩陣及其應(yīng)用 徐健,數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘 要：在高等代數(shù)中，分塊矩陣是矩陣內(nèi)容的推廣. 一般矩陣元素是數(shù)量，而分塊矩陣則是將大矩陣分割成小矩形矩陣，它的元素是每個(gè)矩陣塊.分塊矩陣的引進(jìn)使得矩陣工具的利用更加便利，解決相關(guān)問(wèn)題更加強(qiáng)有力，所以其應(yīng)用也更廣泛. 本文主要研究分塊矩陣及其應(yīng)用，主要應(yīng)用于計(jì)算行列式、解決線性方程組、求矩陣的逆、證明與矩陣秩有關(guān)的定理.關(guān)鍵詞：分塊矩陣；行列式；方程組；矩陣的秩 On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer

2、ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matr

3、ix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matri

4、x, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix1 引言我們?cè)诟叩却鷶?shù)中接觸到矩陣后，學(xué)習(xí)了矩陣的相關(guān)性質(zhì)，但是對(duì)于一些復(fù)雜高階矩陣，我們希望能將問(wèn)題簡(jiǎn)化. 考慮將矩陣分割為若干塊，并將矩陣的部分性質(zhì)平移至分塊矩陣中，這樣的處理往往會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化.定義1.1 分塊矩陣是把一個(gè)大矩陣分割成若干“矩陣的矩陣”，如把矩陣分割為如下形式的矩陣：特別地，對(duì)于單位矩陣分塊：顯然，這里我們認(rèn)識(shí)的矩陣元素不

5、再局限于數(shù)字，而是一個(gè)整體，這里的所代表的是大矩陣囊括的小矩陣，而小矩陣一般是我們熟知的常見矩陣.依照以上設(shè)想，有關(guān)矩陣性質(zhì)的一些問(wèn)題,我們可以考慮用分塊矩陣的思路來(lái)解決.2 分塊矩陣2.1矩陣的相關(guān)概念在矩陣的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)過(guò)一些最基本的概念，比如矩陣的行列式、矩陣的秩、矩陣的逆、初等變換、初等矩陣等等.事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)：分塊后的矩陣同樣用到這些概念.定義2.1.1 級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，這一定義又可寫成:.定義2.1.2 向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的的秩.所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣列向量組的秩. 定義2.

6、1.3 級(jí)方陣稱為可逆的，如果有級(jí)方陣，使得（這里是級(jí)單位矩陣），那么就稱為的逆矩陣，記為. 定義2.1.4對(duì)分塊矩陣施行下列三種初等變換：(1) 互換分塊矩陣的某兩行(列)；(2) 用一個(gè)非奇異陣左（右）乘分塊矩陣的某一行(列)；(3) 用一個(gè)非零陣左(右)乘分塊矩陣的某一行(列)加至另一行(列)上，分別稱上述三種初等行(列)變換為分塊矩陣的初等行(列)變換.定義2.1.5 對(duì)階單位矩陣作分塊，即=，然后對(duì)其作相應(yīng)的初等變換所得到的矩陣稱為分塊初等矩陣. 分塊矩陣具有以下形式：(1) 分塊初等對(duì)換陣；(2) 分塊初等倍乘陣，；(3) 分塊初等倍加陣，；其中,分別是階和階可逆方陣，且，為非零陣

7、.2.2矩陣的運(yùn)算性質(zhì)矩陣的運(yùn)算包括加法、乘法、數(shù)乘，這里主要討論矩陣的運(yùn)算性質(zhì)：定義2.2.1 矩陣加法：設(shè)， 是兩個(gè)同型矩陣，則矩陣=稱為和的和，記為.元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為，可簡(jiǎn)單記為,對(duì)于矩陣、，有:(1) (2) (3) (4) (5)定義2.2.2 矩陣乘法：設(shè)，是兩個(gè)不同型矩陣，那么矩陣，稱為矩陣與的乘積，其中：在乘積的定義中，我們要求第二個(gè)矩陣行數(shù)和第一個(gè)矩陣列數(shù)相等.特別地，矩陣的乘法和加法滿足以下性質(zhì)：(1) (2) (3) 定義2.2.3 矩陣數(shù)乘：稱為矩陣與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為，有以下性質(zhì)：(1) ；(2) ;(3) ;(4) ;(5) . 2.3分塊矩陣的初

8、等變換性質(zhì)我們對(duì)于分塊矩陣，也有其運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)、是矩陣，若對(duì)它們有相同的劃分，也就有：加法：.乘法：, 其中：.數(shù)乘：.總結(jié)了矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，我們主要看看分塊矩陣初等變換性質(zhì)：定義2.3.1 由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.初等矩陣都是方陣，包括以下三種變換：(1) 互換矩陣的行與行的位置;(2) 用數(shù)域中的非零數(shù)乘的行;(3) 把矩陣的行的倍加到行.定義2.3.2 將單位矩陣分塊，并施行如下三種變換中的一種變換而得到的方陣稱為分塊初等矩陣:(1) 對(duì)調(diào)兩塊同階的塊所在的行或列;(2) 某一塊乘以同階的滿秩方陣;(3) 某一塊乘以一個(gè)矩陣后加到另一行上(假定這種運(yùn)算可以進(jìn)行)

9、.如：我們對(duì)分塊矩陣進(jìn)行相應(yīng)變換，只要應(yīng)用矩陣的計(jì)算性質(zhì)，左乘對(duì) 應(yīng)分塊矩陣：= 2.4矩陣的分塊技巧對(duì)矩陣的分塊不是唯一的，我們往往根據(jù)問(wèn)題的不同進(jìn)行不同的分塊，分塊的合適與否，都對(duì)問(wèn)題的解決至關(guān)重要，最常見的有四種分塊方法：(1) 列向量分法，即，其中為的列向量.(2) 行向量分法，即，其中為的行向量.(3) 分兩塊，即,其中,分別為的各若干列作成.或，其中，分別為的若干行作成.(4) 分四塊，即.我們?cè)谶M(jìn)行分塊時(shí)，希望分割的矩陣塊盡可能是我們所熟悉的簡(jiǎn)單矩陣，于是，我們有必要熟悉一些常見的矩陣.2.5常見的矩陣塊我們把高等代數(shù)中學(xué)習(xí)過(guò)的一些常見矩陣總結(jié)如下：（1）單位矩陣：對(duì)角線元素都為

10、，其余元素為的階方陣.（2）對(duì)角矩陣：對(duì)角線之外的元素都為的階方陣.（3）三角矩陣：對(duì)角線以上（或以下）元素全為的階方陣.（4）對(duì)稱矩陣：滿足矩陣的轉(zhuǎn)置和相等.（5）若爾丹（Jordan）塊：形如（6） 若爾丹形矩陣：由若干個(gè)若爾丹塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣, 其一般形狀形如：在復(fù)雜矩陣中，找到這些矩陣塊，會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)化.3分塊矩陣及其應(yīng)用3.1行列式計(jì)算的應(yīng)用定理3.1.1拉普拉斯（Laplace）定理:設(shè)在行列式中任意取定了個(gè)行.由這行元素所組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式 .事實(shí)上，行列式計(jì)算中的拉普拉斯定理就包括了矩陣分塊的思想，它通過(guò)取級(jí)子式的方法，提取出矩陣內(nèi)的矩陣塊.

11、 然而，在行列式計(jì)算中，行列式按行或列的展開更為常用. 這里，我們最常用到的是取列向量分塊和行向量分塊.例3.1.1：（爪形行列式）計(jì)算行列式：,其中.解:設(shè),其中，.因?yàn)?，所?是可逆矩陣.又易知: .根據(jù)分塊矩陣乘法：則：故：原行列式=.例3.1.2：(對(duì)角行列式)計(jì)算行列式：.解：令，為階方陣. 由于,故為可逆方陣.又易知：故. 例3.1.3：設(shè)、都是階矩陣，證明當(dāng)時(shí)，可逆時(shí)，有證明：若可逆，,故：.注意到，這里計(jì)算分塊矩陣行列式和計(jì)算一般數(shù)字矩陣行列式有所區(qū)別，不是簡(jiǎn)單的，其矩陣塊限制條件有所加強(qiáng). 所以本例告訴我們，在矩陣分塊以后，并非所有一般矩陣性質(zhì)都可以應(yīng)用到分塊矩陣中. 3.2

12、線性方程組的應(yīng)用對(duì)于線性方程組，我們有以下四種表述：（1）標(biāo)準(zhǔn)型：;（2）矩陣型：令，方程組可以表述為：;（3）列向量型：令，則方程組又可以表述為：;（4）行向量型： .可見，矩陣分塊為我們解方程組提供了新的思路.事實(shí)上，在求齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩時(shí)，在判斷非齊次線性方程組是否有解時(shí)，行列向量組的合理應(yīng)用，使得問(wèn)題解決更加便捷、明了.例3.2.1：（齊次線性方程組）求解方程組：解：對(duì)系數(shù)矩陣施行行變換,并將結(jié)果用分塊矩陣表示： ，基礎(chǔ)解系含個(gè).而方程又滿足：,相應(yīng)的可以取：有通解：，其中，.例3.2.2：（非齊次線性方程組）求解方程組：解：我們分別對(duì)于方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣求秩：，而,

13、 故. 從而方程組無(wú)解.事實(shí)上，我們可以利用分塊矩陣敘述：經(jīng)對(duì)分塊矩陣進(jìn)行行列變換，都不能把最后一列變成,所以該方程組無(wú)解.例3.2.3：證明：階方陣的秩為，則首先證明此例需要利用的一個(gè)引理：引理：，則證明：對(duì)矩陣進(jìn)行列向量的分塊，,則有：，是的解. 而基礎(chǔ)解系有個(gè)解.故：再證明本例：因?yàn)?，則，至少有一個(gè)級(jí)子式不為零,.而：. 利用引理得：，故.得證. 3.3求矩陣逆的應(yīng)用我們?cè)谇缶仃嚹娴臅r(shí)候包括很多方法：利用定義求逆、利用伴隨矩陣求逆、利用初等變換求逆、混合采用初等行列變換求逆等等.這里我們統(tǒng)一用矩陣分塊的思路來(lái)求矩陣的逆.例3.3.1：設(shè)、是階方陣，若與可逆，試證明：可逆，并求其逆矩陣.

14、解：令，由假設(shè)知,.那么：.即可逆. 再令, 由，即：可得：將第一行和第二行相加、相減，得：解之得：,類似地：,.所以：. 例3.3.2：已知分塊形矩陣可逆，其中為塊，為塊，求證：與都可逆，并求. 解：由，則：,即證、都可逆.這里用分塊矩陣的廣義初等變換來(lái)求逆：故：.備注：本例和上例屬于同一個(gè)類型的問(wèn)題，但我們利用分塊矩陣，可以有兩種不同的方法來(lái)解決，待定系數(shù)法和廣義初等變換都是求逆的有效方法.值得注意的是，在題目沒(méi)有直接給出分塊矩陣的情況時(shí)，我們要學(xué)會(huì)自己構(gòu)造:例3.3.3：求矩陣的逆矩陣.解：構(gòu)造矩陣：.所以;.此方法在計(jì)算上并不簡(jiǎn)單，但是它把平常的單純的一種變換變成了兩種變換同時(shí)應(yīng)用，把

15、已知的可逆矩陣置于含單位矩陣的分塊矩陣中，以此求逆矩陣，有時(shí)比較簡(jiǎn)單.3.4矩陣秩基本不等式矩陣?yán)碚撝校?矩陣的秩是一個(gè)重要的概念，而矩陣經(jīng)過(guò)運(yùn)算后所得新矩陣的秩往往與原矩陣的秩有一定關(guān)系. 現(xiàn)把高等代數(shù)書中有關(guān)矩陣秩最基本的不等式總結(jié)如下：（1）矩陣和的秩不超過(guò)兩矩陣秩的和.即：設(shè)、均為矩陣，則：.（2）矩陣乘積的秩不超過(guò)各因子的秩.即：設(shè)是矩陣 ,是矩陣，則：.（3）.（4）.再來(lái)介紹由分塊矩陣證明導(dǎo)出的兩個(gè)基本不等式例3.4.1：（薛爾弗斯特不等式）設(shè)，證明：證明：由分塊矩陣的乘積 知：.但,.故：得證.備注：在矩陣秩不等式的證明過(guò)程中，我們往往會(huì)構(gòu)造如下的分塊矩陣：(1) 矩陣不等式中

16、含兩個(gè)不同矩陣：構(gòu)造;(2) 矩陣不等式中含有兩個(gè)不同矩陣及階數(shù)：構(gòu)造或者.具體分塊矩陣的元素則要看題目所給的條件.例3.4.2：（Frobenius不等式）設(shè)、是任意個(gè)矩陣，乘積有意義，證明： 證明：設(shè)是矩陣，那么存在階可逆陣，階可逆陣，使.把、適當(dāng)分塊：, 由上式有：.故： .得證.3.5矩陣秩不等式證明的應(yīng)用矩陣基本不等式的證明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例題是對(duì)矩陣秩不等式的推廣及其應(yīng)用：例3.5.1：設(shè)為矩陣，為矩陣，則證明：證明：先證明右邊的不等式，由：;,可得：;.再證左邊的不等式.注意到下列事實(shí)：則：于是：從而: .這里也是用到構(gòu)造矩陣的方法.例3.5.2：設(shè)階矩陣、

17、可交換，證明：解：利用分塊初等變換，有：,因?yàn)?，所以?于是，有：.即：.得證.例3.5.3：設(shè)是階方陣，且,證明：對(duì)任意自然數(shù),有證：構(gòu)造分塊矩陣，由Frobenius不等式：.由：所以，.故：.由此可推得：.故：對(duì)任意自然數(shù), 有：.3.6綜合應(yīng)用在掌握了分塊矩陣的技巧之后，可以由其導(dǎo)出的一個(gè)重要的定理：特征多項(xiàng)式的降階定理，以下主要討論該定理及其結(jié)論的應(yīng)用.例3.6.1：（特征多項(xiàng)式的降階定理）設(shè)是矩陣，是矩陣. 證明:的特征多項(xiàng)式與的特征多項(xiàng)式有如下的關(guān)系：.證：先要把上式改寫為：.用構(gòu)造法，設(shè)，令：.對(duì)兩邊取行列式得：.再對(duì)兩邊取行列式得：.故：.上述等式是假設(shè)了，但是兩邊均為的次多

18、項(xiàng)式，有無(wú)窮多個(gè)值使它們成立，從而一定是恒等式，即證.這個(gè)等式也稱為薛爾弗斯特（Sylvester）公式. 以下例題是定理的應(yīng)用. 例3.6.2：設(shè)為矩陣，為矩陣，證明：與有相同的非零特征值.證：由定理：.設(shè),其中，即有個(gè)非零特征值：, 由上面兩式,那么有：即證也只有個(gè)非零特征值：. 例3.6.3：設(shè)、分別是和矩陣，證明： .解：由上例知，若其中.則的全部特征值為,且：.即的全部特征值為:.從而 .可見，在一些問(wèn)題中，直接利用特征多項(xiàng)式的降階定理會(huì)更加方便處理，這里則要求我們對(duì)分塊矩陣的了解更加深刻.結(jié)論本文主要通過(guò)“分塊矩陣、分塊矩陣及其應(yīng)用”兩個(gè)部分，分別簡(jiǎn)單介紹了分塊矩陣的性質(zhì)概念、導(dǎo)出的定理結(jié)論和相關(guān)應(yīng)用.主要是將分塊矩陣的技巧和推