菲涅耳公式折反射定律

1、Chapter 1 理論基礎(chǔ)1.1介質(zhì)中的 Maxwell s equations及物質(zhì)方程vrBE=t rr rD微分形式H =J+rtgD =rgB=0（ 1-1）傳導(dǎo)電流密度 J 的單位為安培 / 米 2(A/m 2)，自由電荷密度的單位為庫侖 / 米 2(C/m2 )。同時有電磁場對材料介質(zhì)作用的關(guān)系式，即物質(zhì)方程（或稱本構(gòu)方程）rvvrD = E0 EPrrrrB=H0 ( HM )r v J= E（ 1-2）麥克斯韋方程組及物質(zhì)方程描寫了整個電磁場空間及全時間過程中電磁場的分布及變化情況。因此， 所有關(guān)于電磁波的產(chǎn)生及傳播問題， 均可歸結(jié)到在給定的初始條件和邊界條件下求解麥克斯韋方

2、程組的問題， 這也正是用以解決光波在各種介質(zhì)、 各種邊界條件下傳播問題的關(guān)鍵及核心。1.2積分形式及邊界條件v vv v由于兩介質(zhì)分界面上在某些情況下場矢量E 、 D、 B 、 H 發(fā)生躍變，因此這些量的導(dǎo)數(shù)往往不連續(xù)。這時不能在界面上直接應(yīng)用微分形式的Maxwell s equations，而必須由其積分形式出發(fā)導(dǎo)出界面上的邊界條件。vrdv urE dlB d S?LgdtSgvrrdvur積分形式 ?L H gdlIdtS Dgd SvurQD dSSgurur0SB d Sg（1-3）Word 文檔vvv0n(E2E1 )vvvurn(H 2H1)得邊界條件為vvvn (D2D1 )v

3、rvn (B2B1) 0（ 1-4）式（ 1-4）的具體解釋依次如下（具體過程詳見光學(xué)電磁理論P(yáng)20）：（1）電場強(qiáng)度矢量vvE 的切向分量連續(xù)，n 為界面的法向分量。ururv（2）為界面上的面?zhèn)鲗?dǎo)電流的線密度。當(dāng)界面上無傳導(dǎo)電流時，=0，此時 H 的切向分量連續(xù)。比如在絕緣介質(zhì)表面無自由電荷和傳導(dǎo)電流。（3）為界面上的自由電荷面密度。r（4）磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B 的法向分量在界面上連續(xù)。Chapter 2 電磁波在分層介質(zhì)中的傳播2.1反射定律和折射定律光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)時， 在界面上將產(chǎn)生反射和折射。 現(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、 透明、各向同性介質(zhì)，分界面為無窮大的平面，入社、反射和折射

4、光均為平面光波，其電場表達(dá)式為vrexpi (trr入射波 EEik gr )i0iirrexp i(r trr反射波 ErE0rkr gr )rrexp i (ttrr折射波 EtE0tkt gr )界面兩側(cè)的總電場為：rrrrrrrrrtrE1EiErE0i exp i ( i tkir )E0 r exp i (krr )rrrttrrE2EtE0t expi (ktr )由電場的邊界條件rrr0 ，有n(E2E )1rrr rrrr trrrrr rnE0i expi( itkir )nE0 r expi (krr )nE0t expi ( t tkt r )欲使上式對任意的時間rt

5、和界面上 r 均成立，則必然有：irt（ 1-5）Word 文檔rrrrrrkirkrrktr（1-6）可見，時間頻率 是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質(zhì)而異，也不會因折射或反射而變化。rrr0(krki )rrrr0（ 1-7）(ktki )rrrrrr由于 r可以在界面選取不同方向，上式實(shí)際上意味著矢量(krki ) 和 ( ktki ) 均與界面rrrrr的法線 n 平行，由此可以推知，ki 、 kr 、 kt 與 n 共面，該平面稱為 入射面 。由此可得出結(jié)論： 反射波和折射波均在入射面。上式是矢量形式的折、反射定律。將上式寫成標(biāo)量形式，并約掉共同的位置量，可得ki cos(i

6、)kr cos(2r )kt cos(t )（ 1-8）22又由于 kin/ c ， krn/ c ， kn/ c ，得11t2i r (反射角等于入射角 )（1-9）n1 sin in2 sin （t折射定律）2.2菲涅耳公式折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波 傳播方向 之間的關(guān)系。 而反射波、 折射波和入射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系由Fresnel 公式來描述。r電場 E 是矢量，可將其分解為一對正交的電場分量，一個振動方向垂直于入射面，稱為s分量，另外一個振動方向在（或者說平行于）入射面，稱為p分量。首先 研究入射波僅含 s分量和僅含 p分量這兩種特殊情況。當(dāng)兩種分量同時存在時，

7、則只要分別先計算由單個分量成分的折射、反射電場； 然后 根據(jù)矢量疊加原理進(jìn)行矢量相加即可得到結(jié)果。（1）單獨(dú)存在 s 分量的情形首先規(guī)定 ：電場和磁場的 s 分量垂直于紙面，向外為正，向?yàn)樨?fù)。在界面上電場切向分量連續(xù)：rrr0n (E2E1 )另外由式（1-5）、（ 1-6），可得E0isE0 rsE0ts（ 2-1）在界面上磁場的切向分量連續(xù)：Word 文檔rrr0n(H 2H 1)r1rr注意 HkE ，如圖所示。所以同理有H 0ip cos iH0 rp cos rH 0tp cos trr非磁性各向同性介質(zhì)中E 、 H 的數(shù)值之間的關(guān)系：HBn E00cr rE H那么式（ 2-1）整

8、理為n1 E0is cos in1E0 rs cos rn2 E0ts cos t聯(lián)立式（ 2-1）（ 2-3）可得rsE0 rsn1 cos in2 cos tE0 isn1 cos in2 cos ttsE0ts2n1 cos iE0isn1 cos in2 cos t（2）單獨(dú)存在p 分量的情形首先 規(guī)定 ： p 分量按照其在界面上的投影方向，向右為正，向左為負(fù)。rr根據(jù) E 、 H 的邊界條件得：H 0isH 0rsH 0tsE0 ip cos iE0rp cos rE0tp cos trr再利用 E 、 H 的數(shù)值關(guān)系以及正交性，得到E0 rpn cosin costr p21n2

9、cos in1 cos tE0ipE0tp2n1 cos it pn2cos in1 cos tE0ip綜上所述， S 波及 P 波的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表達(dá)式為：（ 2-2）（ 2-3）Word 文檔E0rsn1 cos in2cos trssin(it )rsn1 cos in2cos tsin(t )E0isiE0rpn2 cosin1 costr ptan(it )r pn cosn costan()E0ipitit21E0ts2n1 cos its2cosisinttsn1 cos in2 cos tsin(t )E0isiE0tp2n1 cos it p2cosi sintt pn

10、2 cos in1 cos tsin( it )cos(t )E0ipi上面左邊的式子就是著名的 Fresnel 公式。 利用折射定律， Fresnel 公式還可以寫成右邊的形式。2.3反射波和透射波的性質(zhì)n1n2 的情況這種情形即由 光密媒質(zhì) 入射到 光疏媒質(zhì) 的情形。由折射定律可知，it把 to所對應(yīng)的入射角稱為 全反射臨界角 ，用c 表示。即 sincn290n1。因此分ic 和 ic 兩種情況來討論。（1）當(dāng)ic 時此時 t90o ，可以直接用 Fresnel 公式來討論反射波和折射波的性質(zhì)，分析方法和n1n2 還是 n1n2 的情形，布儒斯特定律都成立。t s 和 t p 均大于 1

11、，且隨著i 的增大而增大， 但是這不意味著透射率T 大于 1 以及 T 必然隨 i的增大而增大。Tsn2 cost|t s |2n1 cosiTpn2 cost|t p |2n1 cosi（2）當(dāng)ic 時sincn2ic 時，會出現(xiàn) sin in2因?yàn)槿瓷渑R界角滿足n1。由該式可見，當(dāng)n1的現(xiàn)象，這顯然是不合理的。此時折射定律n1 sin in2 sin t不再成立。但是為了能夠?qū)⒎颇接糜谌瓷涞那闆r，在形式上仍然要利用關(guān)系式sintn1 sini 。n2由于t 在實(shí)數(shù)圍不存在， 可以將有關(guān)參量擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。而i 始終是實(shí)參量， 為此應(yīng)將cost 寫成如下的虛數(shù)形式：cost1sin

12、 2tisin 2t1i( n1 sini ) 21n2有關(guān) cos 2 取虛數(shù)的物理意義及其取正號的原因，留在后面說明。將上式代入菲涅耳公式，得到復(fù)反射系數(shù)r%scoscosiiisin 2in2rs )isin 2| r%s| exp(iin2%n2cosiisin 2in2%| exp(i rp )rsn2cosisin 2n2| rpiiWord 文檔并且有% %|1| rs | | r ptan rsn2 tan r psin 2in222cosi式中，n n2/ n1，是二介質(zhì)的相對折射率；| rs |、ps分量、p分%| r%| 為反射光與入射光的量光場振幅大小之比。rs 、 r

13、p 為全反射時，反射光中的s 分量、 p 分量光場相對入射光的相位變化。 由上式可見， 發(fā)生全反射時， 反射光強(qiáng)等于入射光強(qiáng)， 而反射光的相位變化較復(fù)雜。他們之間的相位差由下式?jīng)Q定：cosi sin 2i n2rsrp2arctansin 2i因此，在 n 一定的情況下，適當(dāng)?shù)乜刂迫肷浣?，即可改變相位差，從而改變反射光的偏振狀態(tài)。比如菲涅耳棱鏡的原理。當(dāng)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并在界面上發(fā)生全反射時，投射光強(qiáng)為零。 這就有一個問題：此時在光疏介質(zhì)中有無光場呢？當(dāng)把 ts、t p 的 Fresnel 公式推廣到復(fù)數(shù)域進(jìn)行計算，將會發(fā)現(xiàn) t s、t p 都不等于零，亦即光疏媒質(zhì)有折射光波。在發(fā)生

14、全反射時，光波場將透入到第二個介質(zhì)很薄的一層（約為光波波長）圍，這個波叫倏逝波?，F(xiàn)假設(shè)介質(zhì)界面為xOy 平面，入射面為xOz 平面，則在一般情況下可將透射波場表示為rri (ttrgrri(ttkt xsin t kt zcos t )EtE0 t expktr )E0 t exp上式可改寫為rrexpi(tkxsinikz( n1sin)21)EE0tttitttn2rrk z( n1 sin)21expi(tkx n1 sin)EE expt0ttnittn2i2這是一個沿著 z 方向振幅衰減，沿著界面x 方向傳播的非均勻波，也就是全反射的倏逝波。由此可以說明前面討論的正確性：只有cos

15、t 取虛數(shù)形式，并且取正號，才可以得到客觀上存在的倏逝波。倏逝波在入射波剛剛達(dá)到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波電磁場外，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿著界面 處傳播， 不進(jìn)入第二媒質(zhì)部。 因而全反射時 Rs=1、t s0和 Rp=1、 t p0并不違反能量守恒定律。具體性質(zhì)參看物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)P382.4 Stocks 倒逆關(guān)系Stokes reversible relation可以導(dǎo)出不同介質(zhì)兩側(cè)折射系數(shù)、反射系數(shù)的關(guān)系。Word 文檔如上左圖所示，假設(shè)入射光束的振幅為A，相應(yīng)反射光束與折射光束為Ar，At。再設(shè)一束振幅為 Ar 的光束逆向傳播（上右圖中藍(lán)色光束Ar）相應(yīng)反射和折