量子力學(xué)導(dǎo)論習(xí)題答案曾謹(jǐn)言

1、第九章 力學(xué)量本征值問(wèn)題的代數(shù)解法91） 在8.2節(jié)式（21）中給出了自旋（）與軌跡角動(dòng)量（）耦合成總角動(dòng)量的波函數(shù)，這相當(dāng)于的耦合。試由8.2節(jié)中式（21）寫(xiě)出表9.1（a）中的CG系數(shù) 解：8.2節(jié)式（21a）（21b）: （21a） （21b）此二式中的相當(dāng)于CG系數(shù)中的 ，而,。因此，（21a）式可重寫(xiě)為 （21a）對(duì)照CG系數(shù)表，可知：當(dāng),時(shí) ，而時(shí)，對(duì)于的（21b）式，有 92）設(shè)兩個(gè)全同粒子角動(dòng)量，耦合成總角動(dòng)量， （1）利用系數(shù)的對(duì)稱性，證明由此證明，無(wú)論是Bose子或Fermi子，都必須取偶數(shù)證：由式（1），把, 利用系數(shù)的對(duì)稱性 (2) 對(duì)于Fermi子，半奇數(shù)，奇數(shù)，但要

2、求，即要求，所以必須為偶數(shù)。，（情況，只能構(gòu)成交換對(duì)稱態(tài)，為什么？）因此可驗(yàn)證：態(tài)的總數(shù)為。 。對(duì)于Bose子，整數(shù)，偶數(shù)，但要求即 ，故也必須為偶數(shù)93）設(shè)原子中有兩個(gè)價(jià)電子，處于能級(jí)上，按耦合方案，（總角動(dòng)量）證明： （a）必為偶數(shù)；（b）。當(dāng)時(shí)，（偶）； 時(shí)，可以為奇，也可以為偶。證： 自旋的耦合：，軌跡角動(dòng)量的耦合：，其中偶是對(duì)稱態(tài)，奇是反對(duì)稱態(tài)，總的波函數(shù)（對(duì)于交換全部坐標(biāo)，包括自旋）要求反對(duì)稱，所以時(shí)，時(shí)，在兩種情況下，都為偶數(shù)，但對(duì)于，偶；，?？梢詾槠妫部梢詾榕加懻摫绢}結(jié)論與題92有無(wú)矛盾？（按耦合方案，似乎必為偶數(shù)）。提示：在本題中，若用耦合來(lái)分析，？是否只有一個(gè)值？?jī)煞N耦合

3、方案得出的態(tài)數(shù)是否相等？94）大小相等的兩個(gè)角動(dòng)量耦合成角動(dòng)量為的態(tài)， 證明的幾率卻相等，即。提示：利用 （P235，式（23）證：Dirac符號(hào)表示，有 ， （1）在本題的情況下，。則（1）成為 （2）其中即為耦合表象中的態(tài)用無(wú)耦合表象基矢展開(kāi)時(shí)的展開(kāi)式系數(shù)CG 系數(shù)，其模即表示體系處于態(tài)時(shí)，測(cè)得取值（同時(shí)取值，取各可能值）的幾率。由提示， （3） （4）即，對(duì)于給定的所合成的態(tài)，的幾率與的具體取值無(wú)關(guān)，皆為。95）設(shè)，在態(tài)下，證明（取），證：（參剖析，8.68等）96）在表象(以為基矢)中，的子空間的維數(shù)為3，求在此三維空間中的矩陣表示，再利用矩陣方法求出的本征值和本征態(tài)解：在表象中，的子空間中的基矢為，。由于。對(duì)于本題，以上方式中，不難求得。 在此三維空間中的矩陣表示為表象 （1）設(shè)的本征值為，本征矢為，則本征方程為 （2）此方程有非平庸解的條件為系數(shù)行列式等于零，由此可解得本征值：. （