韓國(guó)平考研串講之級(jí)數(shù)

1、CH10級(jí)數(shù)（810）一、重要概念、公式（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、絕對(duì)收斂，條件收斂注：收斂，則稱絕對(duì)收斂；收斂，發(fā)散，則稱條件收斂2、性質(zhì)：（1）若收斂，其和為為常數(shù)，則 也收斂，且其和為 （2）若級(jí)數(shù)分別收斂于 和 ，則也收斂，且收斂于注： 如一發(fā)散，一收斂，則其代數(shù)和發(fā)散； 如兩發(fā)散，則結(jié)論不一定（3）在級(jí)數(shù)前面增加、減少或改變有限項(xiàng)，并不影響其斂散性，但級(jí)數(shù)收斂時(shí)，僅可能改變其和（4）收斂級(jí)數(shù)的各項(xiàng)按原次序分組加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變注： 一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)收斂，并不能說(shuō)明原級(jí)數(shù)是否收斂； 但加括號(hào)發(fā)散，原級(jí)數(shù)一定發(fā)散（5）若級(jí)數(shù)收斂，則注：若，則發(fā)散3、定理及審斂法（1）正項(xiàng)

2、級(jí)數(shù)收斂 部分和數(shù)列 有界；（2）比較審斂法： 設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)：、若從某項(xiàng)起，有 且 收斂，則也收斂；、若從某項(xiàng)起，有且發(fā)散，則也發(fā)散 設(shè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則同斂散注：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)可利用等價(jià)無(wú)窮小代換，只能用在(正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng))級(jí)數(shù)（3）比值審斂法：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則： 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：含或的乘積形式（4）根值審斂法：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散注：含以為指數(shù)的因子（5）交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：； ，則該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值（6）絕對(duì)收斂定理：若收斂，則也收斂注： 改變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)項(xiàng)的次序所得的新級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且與原級(jí)數(shù)有相同的

3、和； 設(shè)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，它們的和分別為 和 ，則它們逐項(xiàng)相乘后，依任意方式排列所得級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且其積為 4、公式：（1）：時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；（2）：時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；（3）：時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、基本概念：（1）定義：（2）和函數(shù)：（3）冪級(jí)數(shù)：斂半徑，收斂區(qū)間（4）泰勒級(jí)數(shù)：如果存在各階導(dǎo)數(shù)，則稱為泰勒級(jí)數(shù)2、定理公式：（1）阿貝爾引理：若冪級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂，則對(duì)的，；當(dāng)發(fā)散，則對(duì)的，發(fā)散注：收斂點(diǎn)是連成一片的（2）設(shè)是冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，且： 當(dāng)時(shí)，；時(shí)，； 時(shí)，（3）冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為，則： 和函數(shù)在內(nèi)連續(xù)；和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且；和函數(shù)在內(nèi)任何區(qū)間上可積

4、，且注：逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分并不改變收斂半徑，但可改變端點(diǎn)的斂散性（4）幾個(gè)重要的麥克勞林展開(kāi)式： ； ； ； ；（5）泰勒定理：設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則在處的泰勒級(jí)數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂于的充要條件是：當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)余項(xiàng)注：在點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（三）付立葉級(jí)數(shù)1、基本概念（1）三角級(jí)數(shù)：形如 （2）正交：對(duì)于在上有定義，如果，則稱正交（3）付立葉系數(shù)：是周期為的周期函數(shù)：則，在上以為周期：，在上：，（4）付立葉級(jí)數(shù)：以付立葉系數(shù)構(gòu)成的三角級(jí)數(shù) 付立葉級(jí)數(shù)（4）正弦級(jí)數(shù)、余弦級(jí)數(shù)（奇偶延拓）只含正弦項(xiàng)的級(jí)數(shù) 正弦級(jí)數(shù)； 只含余弦項(xiàng)的級(jí)數(shù) 余弦級(jí)數(shù)注：奇延拓正弦 即：奇函數(shù)正弦偶延拓余弦

5、 偶函數(shù)余弦2、定理如在上滿足：（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）至多有有限個(gè)極值點(diǎn),則的付立葉級(jí)數(shù)在上收斂，且：為的連續(xù)點(diǎn)，為的間斷點(diǎn)，為的端點(diǎn)，,二、重要考點(diǎn)1、判定級(jí)數(shù)審斂法判定 不等于0 發(fā)散。判斷是否為正弦級(jí)數(shù)，是 按正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法。交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法及運(yùn)用性質(zhì)討論注：不具體一般用定義性質(zhì)討論。對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，常用臺(tái)勒展開(kāi)及等價(jià)無(wú)窮小代換討論。2 求極限：3、求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、收斂域、收斂半徑，其一般步驟為：（注：函數(shù)不具體一般考慮阿貝爾引理）（1） 由，解出x的取值范圍（a，b）。（2） 討論在端點(diǎn)的斂散性。（3） 給出結(jié)論。若的收斂域是,則 的收斂半徑是.4、求數(shù)

6、項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，其步驟為：（1） 構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，求出其收斂域（2） 利用冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)，求出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)（3） 代值計(jì)算注：整理逐項(xiàng)求導(dǎo)，整理逐項(xiàng)積分，5將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)的一般步驟：（1） 作代換；（2） 利用求導(dǎo)、積分、代換整理化簡(jiǎn)將展開(kāi)為u的冪級(jí)數(shù)；（3） 將代入即得。6求其步驟（1） 求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（2） 由的系數(shù)，7函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，其步驟：（1） 判定f(x)的周期性、奇偶性（2） 計(jì)算付立葉系數(shù)（3） 寫(xiě)出付立葉級(jí)數(shù)，并由狄利克雷定理寫(xiě)出其和函數(shù)S(x)（4） 如要求某個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，則在s(x)中令x取某個(gè)特殊值。微分方程（812）一、重要概念、公式1、如果、是二階線

7、性齊次方程：的兩個(gè)解，則也是它的解，其中是任意常數(shù)；2、如果是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則就是該方程的通解；3、如果是二階非齊次線性方程：的一個(gè)特解，而是它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則是該非齊次方程的通解；4、如果是的解，是的解，則的解二、重要考點(diǎn)1、一階微分方程，其步驟：（1）確定類型（代換整理）（2）代公式求解注：含一般都可通過(guò)變量代換化為基本形式。具體為：可分離變量：齊次方程：轉(zhuǎn)化為可分離變量 則一階線性微分方程：公式：貝努利方程：令，則全微分方程：，則為全微分方程：通解1.已知在上有定義,對(duì)于任意的恒有,求.解：由令則有從而原方程可以化為當(dāng)時(shí),對(duì)上式取極限,于是有 即從而由可知C=0即2.求微分

8、方程的通解解：方程是齊次方程,令,代入得.整理得 當(dāng)u(1+3u)0時(shí),分離變量并積分,有即 +=-,作恒等變形,得通解：由于常數(shù)c取零時(shí),已經(jīng)將解u=0即y=0包含在公式內(nèi),而上述通解外方程還有解1+3u=0即x+3y=0.2、可降階的高階微分方程，其步驟：（1） 確定類型（2） 代相應(yīng)公式求解（注：在求特解時(shí)，應(yīng)邊運(yùn)算邊代值）1求滿足條件的特解解：令則由得c=0即： 由2求滿足的特解。解：令即：由得c=0即： 由 知 由3、解的結(jié)構(gòu)已知的三個(gè)特解,則該方程的通解可以表示為 A4、求二階常系數(shù)線性微分方程的通解，其步驟：求的通解由，求由的不同情況，寫(xiě)出通解不等實(shí)根，通解； ；（2）求的特解由

9、與的根的關(guān)系設(shè)出特解形式a不是根 設(shè)a是單根 設(shè)a是重根 設(shè)（3）求代入定出特解，寫(xiě)出通解求微分方程 ,當(dāng)時(shí)為有界的特解.解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為于是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為由非齊次項(xiàng) 知不是特征根,故可設(shè)原方程的一個(gè)特解為帶入原方程,比較系數(shù)得于是原方程有特解因此,原方程的通解為即為使有界,必有故滿足題設(shè)的特解為5、歐拉方程6、應(yīng)用問(wèn)題幾何的應(yīng)用（面積、體積、弧長(zhǎng)、導(dǎo)數(shù)）牛頓定律、胡克定理液體的濃度（用分析法，通過(guò)改變量建立方程）CH1行列式(46)一、重要概念、公式行與列互換，其值不變；行列式的兩行或兩列互換，行列式改變符號(hào)；行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一個(gè)數(shù)乘行列式

10、等于用該數(shù)乘行列式的任意一行（列）；行列式中若有兩行（列）成比例，則該行列式為零；若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩行列式之和：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變3、幾個(gè)公式：（1）范得蒙行列式：特點(diǎn)：從第一行至第行按升冪排列；項(xiàng)積；（2）設(shè)為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣，則：，；，但；，為元素的代數(shù)余子式；， (注意符號(hào))余子式：二、考題類型：解題技巧（規(guī)律）例題分析1、利用行列式定義的計(jì)算證明問(wèn)題注：（1）取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積（2）項(xiàng)2、關(guān)于代數(shù)余子式的計(jì)算證明注（1）余子式與代數(shù)余子式的定義。（2）對(duì)應(yīng)

11、關(guān)系3、行列式的計(jì)算其步驟：（1） 觀察行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，注意高、低階。 利用性質(zhì)，化簡(jiǎn)整理。（2） 代公式。常用方法：利用性質(zhì)化為階梯形，按行列展開(kāi)，常用在零比較多的情況，遞推法，定義設(shè)是三階方陣,且求解 由可知A的特征值：由特征值性質(zhì)可知由重要公式可知的特征值為,即 于是 的特征值：故 CH2矩陣(812)一、重要概念、公式1、矩陣的運(yùn)算：（1）加減同型：；（2）乘法：2、矩陣的逆運(yùn)算：相等；3、伴隨矩陣：對(duì)稱陣、反對(duì)稱陣；4、矩陣的初等變換，矩陣的秩：等價(jià)矩陣：，互逆（同型號(hào), 秩等）5、分塊矩陣及運(yùn)算；6、常用公式：（1）；（2），；（3）；（4），；（5），；（6）7、分塊矩陣：（1

12、）已知為分塊對(duì)角矩陣，為可逆方陣，則；（2）若，則；（3）若且，則；（4）若A=，則8、為同階方陣，則；若為可逆矩陣，則，注：（1）；（2）分塊矩陣的運(yùn)算：加法減法：分法一致，對(duì)應(yīng)塊加減；乘法：當(dāng)?shù)牧蟹址ㄅc的行分法一致時(shí)才能相乘若，則，9、初等變換不改變矩陣的秩：，二、考題類型：解題技巧（規(guī)律）例題分析1、 矩陣的運(yùn)算：2、矩陣的逆的計(jì)算、證明：（1） 用初等變換求逆矩陣（2） 利用分塊矩陣求矩陣的逆（3） 利用伴隨矩陣求矩陣的逆只適用于階數(shù)比較低的矩陣代數(shù)余子式（4） 利用逆矩陣定義求逆矩陣3、求矩陣方程：解矩陣方程：已知 求A的一般步驟：化簡(jiǎn)整理：利用矩陣的運(yùn)算求出結(jié)果4、求矩陣的秩：（1

13、） 利用初等變換將矩陣化為階梯形,非零行向量的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩（2） 利用矩陣秩的定義通過(guò)逐階考查子行列式的值而得到矩陣的秩。已知矩陣解：求矩陣的秩常用初等變換：由于秩A=2即：CH3向量一、重要概念、公式1、向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)；2、向量組的極大無(wú)關(guān)組，向量組的秩：如果向量組中有個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，而中任意個(gè)向量（如果有）相關(guān)，則稱為極大無(wú)關(guān)組，秩；3、如和互相線性表示，則稱與等價(jià)；4、向量組的秩和矩陣的秩：矩陣的秩等于向量組的秩也等于列向量組的秩；5、向量空間、子空間、基底、維數(shù)及坐標(biāo)的概念：設(shè)是維向量的集合，非空，且對(duì)于加法及數(shù)乘封閉；6、維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換，過(guò)渡矩陣：設(shè)和是

14、維向量空間的兩個(gè)基，且，則稱上式為基變換公式，為從基到的過(guò)渡矩陣；如果在的坐標(biāo)為，在的坐標(biāo)為，則；7、向量的內(nèi)積；8、線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化，標(biāo)準(zhǔn)正交基（階正交矩陣的個(gè)行（列）向量）施密特：若線性無(wú)關(guān)，則，9、正交矩陣及其性質(zhì)：10、基本定理：（1）向量組線性相關(guān)的充要條件是：其中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示；（2）如向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由線性表示，且表示法唯一；（3）若向量組線性相關(guān)，則也相關(guān)；（4）向量組線性相關(guān)，向量組線性無(wú)關(guān)；（5）若向量組線性無(wú)關(guān)，則將其每個(gè)向量添加分量后所組成的向量組也線性無(wú)關(guān)；（6）設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)且可由向量組線性表示，則。任意兩個(gè)線

15、性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組所含向量個(gè)數(shù)相等。正交向量組，必線性無(wú)關(guān)。（7）向量組的秩與該向量組所構(gòu)成的矩陣的秩相等；（8）矩陣的行秩與列秩相等，都等于矩陣的秩；（9）；（10）；（11）如果、為可逆矩陣，則；（12）；（13）注：個(gè)維向量必線性相關(guān)；個(gè)維向量線性無(wú)關(guān)二、考題類型、解題規(guī)律技巧、例題分析：1、向量組線性相關(guān)性的命題：判斷向量組的線性相關(guān)性的方法主要有：（1） 向量的個(gè)數(shù)維數(shù)相等，用行列式來(lái)判斷，行列式為0，相關(guān)否則無(wú)關(guān)。（2） 個(gè)數(shù)與維數(shù)不等。個(gè)數(shù)>維數(shù) 相關(guān)個(gè)數(shù)<維數(shù)A、用定義由判斷是否存在不全為0的數(shù)使此式成立。B、根據(jù)性質(zhì)C、用向量組與矩陣的秩的關(guān)系1：設(shè)向量組試問(wèn)：當(dāng)

16、滿足什么條件時(shí),(1)可由線性表出,且表示惟一？(2)不能由線性表出？(3)可由線性表出,但表示不惟一？并求出一般表達(dá)式.解：設(shè)有一組數(shù),使得即 該方程組的系數(shù)行列式(1)當(dāng)時(shí),行列式,方程組有惟一解,可由線性表出,且表示惟一.(2)當(dāng)時(shí),對(duì)增廣矩陣作初等行變換,有若則秩秩,方程組無(wú)解,不能由線性表出.(3)當(dāng),且時(shí),秩秩方程組有無(wú)窮多組解,可由線性表出,但表示不惟一,解方程組,得(C為任意常數(shù)).因此有2、求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組的一般步驟：（1） 由向量組寫(xiě)出矩陣。（2） 對(duì)矩陣施行初等行（列）變換，使之變成階梯陣。（3） 結(jié)論。1已知向量組 與向量組具有相同的秩，

17、且可由線性表示，求解：無(wú)關(guān) 又可由線性表示即表示線性相關(guān)，于是CH4方程組一、重要概念、公式1、齊次線性方程組有非0解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件：（1）（2）2、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間基礎(chǔ)解系(1)通解 3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)不一定為。僅當(dāng)非齊次通解=齊次通解+非齊次的一個(gè)特解二、考題類型、解題規(guī)律技巧、例題分析1、討論齊次線性方程組解的問(wèn)題（1） 求通解（2） 已知解的情況，求待定系數(shù)，步驟如下：先對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，得到一個(gè)階梯形矩陣，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的同解方程組（只能做行變換）；確定自由未知量（其個(gè)數(shù)）；自由未知量取組線性無(wú)關(guān)的值，得到方程組組線性無(wú)關(guān)的

18、解，構(gòu)成了方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則通解為1設(shè)與是階方陣,齊次線性方程組有相同的基礎(chǔ)解系則下列方程組中以為基礎(chǔ)解系的是 D(A).(B).(C).(D).2. 設(shè)向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即.試證明：向量組線性無(wú)關(guān)。證明 設(shè)有一組數(shù)，使得即 上式兩邊同時(shí)左乘矩陣A，有。因?yàn)?。故 (1)從而有 又為的基礎(chǔ)解系，必線性無(wú)關(guān)，故 (2)代入式(1)得，由定義知，線性無(wú)關(guān).2、討論非齊次線性方程組解的問(wèn)題：（1） 求通解（2） 已知解的情況，求待定常數(shù).對(duì)增廣矩陣做初等行變換，得到一個(gè)階梯陣，并寫(xiě)出一個(gè)對(duì)應(yīng)的同解方程組利用階梯陣，求出和，給出有解、無(wú)解的結(jié)論、 無(wú)解、

19、有解（1） 有唯一解，由下到上逐步求解（2） 有無(wú)窮多解求出齊次的基礎(chǔ)解系求出一特解：對(duì)同解方程組令自由未知量全為零邊得特解寫(xiě)出通解寫(xiě)出增廣矩陣并對(duì)其做初等行變換（列變換僅限交換兩列），得到一個(gè)階梯陣，重點(diǎn)討論拐角處的元素與零的關(guān)系CH5特征值和特征向量(1012)一、重要概念、公式1、特征值、特征向量的定義：設(shè)為階矩陣，如果存在數(shù)和維非零列向量，使，則稱為的特征值，稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量2、特征方程：3、相似矩陣：對(duì)于、，如果存在可逆陣，使，則稱和相似4、矩陣的相似對(duì)角化：對(duì)階方陣，求相似變換，使，為對(duì)角陣的過(guò)程稱為的相似對(duì)角化合同：若，則稱合同，可逆5、主要定理：（1） 階方陣有個(gè)特

20、征值，它們的和等于的主對(duì)角線元素之和，它們的乘積等于的行列式；（2） 如果是方陣的特征值，是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則互不相等時(shí)，線性無(wú)關(guān)；（3） 如果階方陣與相似，則與有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，有相同的跡；（4） 如果階方陣與對(duì)角陣相似，則的主對(duì)角線元素就是的個(gè)特征值；（5）可相似對(duì)角化的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；（6） 如果階方陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似，即可相似對(duì)角化；（7） 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù)；（8） 實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；（9） 對(duì)階實(shí)對(duì)稱矩陳，必存在正交陣，使，其中為以的個(gè)特征值為主對(duì)角線元素的對(duì)角陣；（10）如為的特征值，則為的特征值注：相似矩陣有相同的特征值；跡同；相似，合同，等價(jià)矩陣的秩相等二、考題類型、