高中數(shù)學競賽預賽真題訓練一

1、高中數(shù)學競賽（預賽）訓練試題（一）姓名： 班級 ： 分數(shù) ： 一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）1方程的實數(shù)解為 2函數(shù)R的單調減區(qū)間是 .3在中，已知，則 .4函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐標系中，已知圓心在原點、半徑為的圓與的邊有公共點，其中、，則的取值范圍為 6設函數(shù)的定義域為R，若與都是關于的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上至少有 個零點. （第7題）7從正方體的條棱和條面對角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為 8圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種其中鍍金銀的概率是 9在三棱錐中，已知， ，且已知棱的長為，則此棱

2、錐的體積為 10設復數(shù)列滿足，且若對任意N* 都有，則的值是 二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）11直角坐標系中，設、是橢圓上的三點若，證明：線段的中點在橢圓上12已知整數(shù)列滿足，前項依次成等差數(shù)列，從第項起依次成等比數(shù)列 (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 求出所有的正整數(shù)，使得13如圖，圓內接五邊形中，是外接圓的直徑，垂足. 過點作平行于的直線，與直線、分別交于點、 證明： (1) 點、共圓； (2) 四邊形是矩形14求所有正整數(shù)，使得與都是完全平方數(shù)高中數(shù)學競賽（預賽）訓練試題（一）詳細解答一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）1方程的實數(shù)解為 提示與答案：x0無解; 當時，原

3、方程變形為32x+3x6=0，解得3x=2，x=log322函數(shù)R的單調減區(qū)間是 .提示與答案：與f(x)=y2=1+|sin2x|的單調減區(qū)間相同， Z 3在中，已知，則 .提示與答案：，得4函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ，最小值是 提示與答案：極小值4，端點函數(shù)值f(2)=0，f(0)=2，最小值4，最大值05在直角坐標系中，已知圓心在原點、半徑為的圓與的邊有公共點，其中、，則的取值范圍為 提示與答案：畫圖觀察，R最小時圓與直線段AC相切，R最大時圓過點B，106設函數(shù)的定義域為R，若與都是關于的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上至少有 個零點. 提示與答案：f(2k-1)=0，kZ. 又可作一個函數(shù)滿足問

4、題中的條件，且的一個零點恰為，kZ. 所以至少有50個零點. （第7題）7從正方體的條棱和條面對角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為 提示與答案：不能有公共端點，最多4條，圖上知4條可以8圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種其中鍍金銀的概率是 提示與答案：窮舉法，注意可翻轉，有6種情況，2金2銀有兩種，概率為 9在三棱錐中，已知， ，且已知棱的長為，則此棱錐的體積為 提示與答案：4面為全等的等腰三角形，由體積公式可求得三棱錐的體積為 144 10設復數(shù)列滿足，且若對任意N* 都有，則的值是 提示與答案：由，恒成立，即. 因為或，故，所

5、以二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）11直角坐標系中，設、是橢圓上的三點若，證明：線段的中點在橢圓上解：設A(x1，y1)，B (x2，y2)，則 y121，y221 由，得 M(x1x2，y1y2) 因為M是橢圓C上一點，所以 (y1y2)21， 6分 即 (y12)()2(y22)()2+2()()(y1y2)=1， 得 ()2()2+2()()(y1y2)1，故 y1y20 14分 又線段AB的中點的坐標為 (，)， 所以 2()2(y12)+(y22)+y1y21， 從而線段AB的中點(，)在橢圓2y21上 20分 12已知整數(shù)列滿足，前項依次成等差數(shù)列，從第項起依次成等比數(shù)列

6、 (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 求出所有的正整數(shù)，使得解：(1) 設數(shù)列前6項的公差為d，則a5=1+2d，a6=1+3d，d為整數(shù). 又a5，a6，a7成等比數(shù)列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 6分 當n6時，an =n4， 由此a5=1，a6=2，數(shù)列從第5項起構成的等比數(shù)列的公比為2， 所以，當n5時，an =2n-5. 故 an = 10分(2) 由（1）知，數(shù)列為：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 當m=1時等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 當m=3時等式成立，即 1+0+1=0； 當m=2、4時等式不成立； 15

7、分 當m5時，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=7×2m-5， 7×2m-523m-12， 所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或ABCDEFHGm=3 20分13如圖，圓內接五邊形中，是外接圓的直徑，垂足. 過點作平行于的直線，與直線、分別交于點、 證明： (1) 點、共圓； (2) 四邊形是矩形證明：(1) 由HGCE，得BHF=BEC， 又同弧的圓周角 BAF=BEC， BAF=BHF， 點 A、B、F、H共圓； 8分 (2) 由(1)的結論，得 BHA=BFA， BEAD，

8、 BFAC， 又AD是圓的直徑， CGAC， 14分 由A、B、C、D共圓及A、B、F、H共圓，BFG =DAB =BCG， B、G、C、F共圓. BGC=AFB=900, BGGC， 所以四邊形BFCG 是矩形 20分14求所有正整數(shù)，使得與都是完全平方數(shù)解：若x=y，則x2+3x是完全平方數(shù). x2x2+3xx2+4x+4= (x+2)2， x2+3x= (x+1)2， x=y =1. 5分 若xy，則x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2. x2+3y是完全平方數(shù)， x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇數(shù)，設y = 2k+1，則x=3k+1，k是正整數(shù). 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方數(shù)，且 (2k+2)2=4k2+8k+44k2+13k+44k2+