高考數學(文數)一輪復習練習題：7.2《空間幾何體的表面積與體積》（教師版）

1、第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積【選題明細表】知識點、方法題號空間幾何體的側面積與表面積2,5,7,9空間幾何體的體積1,3,11,13與球有關的問題6,10,12,14折疊與展開問題4綜合應用8,15基礎鞏固(時間:30分鐘)1.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為(D)(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:由三視圖知,該三棱錐的高為4,底面是直角邊長為3和5的直角三角形,所以V=4=10.選D.2.如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是(A)(A)17(B)18 (C)20(D)28解析:因為R3=,所

2、以R=2.S=4R2+3R2=17,故選A.3.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為(C)(A)8 (B)6 (C)8 (D)8解析:如圖,連接AC1,BC1,AC.因為AB平面BB1C1C,所以AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角,所以AC1B=30.又AB=BC=2,在RtABC1中,AC1=4,在RtACC1中,CC1=2,所以V長方體=ABBCCC1=222=8.故選C.4.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在

3、此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為(B)(A)2 (B)2 (C)3 (D)2解析:先畫出圓柱的直觀圖,根據題圖的三視圖可知點M,N的位置如圖所示.圓柱的側面展開圖及M,N的位置(N位于OP的四等分點)如圖所示,連接MN,則圖中MN即為M到N的最短路徑.ON=16=4,OM=2,所以MN=2.故選B.5.如圖,一個幾何體的三視圖分別為兩個等腰直角三角形和一個邊長為2的正方形(含一條對角線),則該幾何體的側面積為(B)(A)8(1+)(B)4(1+) (C)2(1+)(D)1+解析:由已知中的三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示.底面為正方形,AB=AD=2,棱錐的高為SA=2.SB

4、=SD=2,CDSD,CBSB,所以S側=SSAB+SSAD+SSCB+SSCD=2SSAB+2SSCB=222+222=4+4.故選B.6.已知三棱錐D-ABC中,AB=BC=1,AD=2,BD=, AC=,BCAD,則該三棱錐的外接球的表面積為(B)(A)(B)6 (C)5(D)8解析:由勾股定理易知ABBC,因為DABC,所以BC平面DAB.所以CD=.所以AC2+AD2=CD2.所以DAAC.取CD的中點O,由直角三角形的性質知O到點A,B,C,D的距離均為,其即為三棱錐的外接球球心.故三棱錐的外接球的表面積為4 ()2=6.7.已知圓錐的母線長為2,高為,則該圓錐的側面積是.解析:由

5、圓錐的性質知其底面圓的半徑為=1,所以圓錐的側面積為S側=rl=12=2.答案:28.我國古代數學名著數書九章中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;一尺等于 十寸)解析:因為圓臺的軸截面為等腰梯形,上底為2.8尺,下底為1.2尺,所以中位線為=2,所以盆中積水的上底面半徑為1尺,所以盆中積水為V=h(S上+S下+)=0.9(0.62+12+)=0.31.96=0.588.又盆口面積為S=1.42=1.96 .所以平地降水量為=0.3

6、尺=3寸.答案:3能力提升(時間:15分鐘)9.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(B)(A)18+36(B)54+18 (C)90 (D)81解析:由三視圖知此多面體是一個斜四棱柱,其表面積S=2(33+36+33)=54+18.故選B.10.底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐.如圖,半球內有一內接正四棱錐S-ABCD,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為(A)(A)(B) (C)(D)解析:設所給半球的半徑為R,則棱錐的高h=R,底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R,所以其體積R3=,則R3=2,于是球的體積為V=

7、 R3=,則半球的體積為V=.11.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為(A)(A)(B) (C)(D)解析:該幾何體可以看成是在一個半球上疊加一個圓錐,然后挖掉一個相同的圓錐,所以該幾何體的體積和半球的體積相等.由題圖可知,球的半徑為2,則V=r3=.故選A.12.設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,ABC為等邊三角形且其面積為9,則三棱錐DABC體積的最大值為(B)(A)12(B)18(C)24(D)54解析:由等邊ABC的面積為9可得AB2=9,所以AB=6,所以等邊ABC的外接圓的半徑為r=AB=2.設球的半徑為R,球心到等邊

8、ABC的外接圓圓心的距離為d,則d=2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2+4=6,所以三棱錐D-ABC體積的最大值為96=18.故選B.13.已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30,若SAB的面積為8,則該圓錐的體積為.解析:在RtSAB中,SA=SB,SSAB=SA2=8,解得SA=4.設圓錐的底面圓心為O,底面半徑為r,高為h,在RtSAO中,SAO=30,所以r=2,h=2,所以圓錐的體積為r2h=(2)22=8.答案:814.已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為.解析:O為球心,SBC,SAC為等腰直角三角形,SAC=SBC=90.AOSC.BOSC.所以AOB為二面角A-SC-B的平面角,又因為平面SCA平面SCB,所以AOB=90,且SC平面AOB,設球的半徑為r,SAOB=r2,=+VC-AOB=2=2SAOBSO=2r2r=,所以=9,所以r=3.所以球的表面積為S球=4r2=36.答案:3615.已知正三角形ABC三個頂點都在半徑為2的球面上,球心O到平面AB