數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關(guān)性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目 錄數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關(guān)性質(zhì)摘要.01一、數(shù)列的上極限、下極限的定義.011. 用“數(shù)列的聚點(diǎn)”來定義.012. 用“數(shù)列的確界”來定義.023. 數(shù)列上、下極限定義的等價(jià)性.02二、數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)及定理. 04參考文獻(xiàn). 14英文摘要.15數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關(guān)性質(zhì)摘 要：數(shù)列的上、下極限的概念是極限概念的延伸，由于它們?cè)谡?xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法中的重要作用，又成為數(shù)學(xué)分析中重要的理論部分.本文主要討論了數(shù)列的上下極限的兩種定義方式及其等價(jià)證明和一些相關(guān)定理.關(guān)鍵詞：數(shù)列、上極限、下極限、聚點(diǎn)、函數(shù)一、數(shù)列的上極限、下極限的定義關(guān)于數(shù)列

2、的上極限、下極限的定義常見的有如下兩種形式：1. 用“數(shù)列的聚點(diǎn)”來定義定義 1 若在數(shù)a的任一鄰域內(nèi)都含有數(shù)列的無限多項(xiàng)，則稱為數(shù)列的一個(gè)聚點(diǎn).例1 數(shù)列有聚點(diǎn)與； 數(shù)列有和五個(gè)聚點(diǎn)； 數(shù)列只有一個(gè)聚點(diǎn)； 常數(shù)列只有一個(gè)聚點(diǎn).定義 2 有界數(shù)列的最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn)分別稱為數(shù)列的上極限和下極限，記作;.例2 2. 用“數(shù)列的確界”來定義定義3 任給數(shù)列，定義 ; （1）分別稱為數(shù)列的上極限和下極限.若定義1中的可允許是非正常點(diǎn)或，則：任一點(diǎn)列至少有一個(gè)聚點(diǎn)，且存在最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn).不難證明：正上（下）界點(diǎn)列的最大（小）聚點(diǎn)為.于是，無上（下）界點(diǎn)列有非正常上（下）極限.例3 3. 數(shù)列上、下

3、極限定義的等價(jià)性下面我們來證明一下數(shù)列上、下極限定義的等價(jià)性，即；.證明：如果，由于關(guān)于單調(diào)遞減，所以，.于是，可?。ㄗ匀粩?shù)）,又可取 所以，得到數(shù)列的子列.這就證明了為數(shù)列的聚點(diǎn)，且為最大聚點(diǎn).由此可得;如果，則或?qū)崝?shù).設(shè)數(shù)列的任一聚點(diǎn)，則必有的子列，. ,所以，數(shù)列的最大聚點(diǎn)滿足.另一方面， 易見，中最多含有數(shù)列中的有限多項(xiàng).因此，當(dāng)時(shí)，有，從而，當(dāng)時(shí)，有由此可得.令，推出.綜合上述，有.類似的可證明或應(yīng)用上式于可證得.如果，由于關(guān)于單調(diào)遞減，所以，對(duì).于是，可取自然數(shù)使得,又可取自然數(shù) 使得所以，得到數(shù)列的子列.這就證明了為數(shù)列的聚點(diǎn)，且為最小聚點(diǎn).由此可得;如果，則或?qū)崝?shù).設(shè)數(shù)列的任一

4、聚點(diǎn)，則必有的子列，.任意的n是自然數(shù)所以，數(shù)列的最小聚點(diǎn)滿足.另一方面，對(duì)任意的y易見，（-中最多含有數(shù)列中的有限多項(xiàng).因此，存在N是自然數(shù)當(dāng)時(shí)，有，從而，當(dāng)時(shí)，有，由此可得.令y，推出.綜合上述，有.下面進(jìn)一步給出和數(shù)列上，下極限定義有關(guān)的性質(zhì)及定理.二、數(shù)列的上、下極限的性質(zhì)及定理設(shè)有數(shù)列與數(shù)列，則數(shù)列的上、下極限有以下性質(zhì)性質(zhì) 1 ； （2） 性質(zhì) 2 例4 用上下極限理論證明：若是有界發(fā)散數(shù)列，則存在的兩個(gè)子列收斂于兩個(gè)不同的極限.證明：因?yàn)閿?shù)列發(fā)散的充要條件是，于是存在的兩個(gè)子列，使，即存在的兩個(gè)子列收斂于不同的極限.性質(zhì) 3 （保不等式性質(zhì)）設(shè)有界數(shù)列，滿足：存在,當(dāng)時(shí)有，則 ;

5、 ;特別，若為常數(shù)，又存在，當(dāng)時(shí)有，則性質(zhì) 4 設(shè)，則 （3） （4）例5 證明：若收斂，則對(duì)任意，有證明：分三種情況討論1、 若，則中有無窮多項(xiàng)大于零，作新序列 則，且，對(duì)應(yīng)用（4）有因收斂，所以 ，故上式表明 但 所以 2、 若，在限制條件下，因此充分大時(shí)有，這時(shí)等式明顯成立.3、 若，可取充分大的正常數(shù),使得，如此應(yīng)用1、的結(jié)果， 再根據(jù)（3），此即 從而 ，證畢.性質(zhì) 5 在不發(fā)生情況下，有如下不等式成立：1、2、3、事實(shí)上，這里的等號(hào)可以不發(fā)生，如對(duì)；，這時(shí)例6 證明：若收斂，則對(duì)任意，有證：我們已有注意收斂，因此，所以上式即為 即成立.例7 證明：（1） （2） 證： 先證： （1

6、） 設(shè)，則依上極限定義，數(shù)列中至多只有項(xiàng)大于，而有窮項(xiàng)小于，即對(duì)，至多有項(xiàng)小于，而有窮項(xiàng)大于，所以依下極限定義，有 ，即. 設(shè) ，用反證法，設(shè)，依下極限定義，,當(dāng)時(shí)，有不妨設(shè) ，則當(dāng)時(shí)， 又有 ，依下極限定義，則當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，由此推出矛盾，故，即，又令，則.于是，由于 ，所以 （2） 以及分別代替題（1）中的與，有，由 得 ，即 ，當(dāng)；時(shí)，題（1）（2）中僅不等號(hào)成立.性質(zhì) 6 ; ; 性質(zhì) 7 若 ，則 ; （7）例7 證：若且，則數(shù)列收斂. 證明：若，則子列，于是有，這與相矛盾，這樣應(yīng)當(dāng)有，然后用上下極限等價(jià)定義來證明.性質(zhì)8 當(dāng) ，且，則下式右端有意義（不是型）時(shí)，有 ; . 證明：以第

7、二式為例給出證明首先設(shè) ，其中為有限數(shù)或.令 則 ; .由得，即，也就是，代回到就得到.其次設(shè) （為有限數(shù)）只要用代替（其中），就可得證.最后 ，這時(shí)即，且（否則出現(xiàn)型），顯然.下面定理指出，對(duì)一切數(shù)列的上、下極限必存在（包括）.定理 1（1）有界數(shù)列至少有一個(gè)聚點(diǎn),存在最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn),且這兩個(gè)聚點(diǎn)都為實(shí)數(shù),它們分別為上極限與下極限;（2）如果數(shù)列無上界,則,此時(shí)為數(shù)列的最大聚點(diǎn);如果數(shù)列有上界 若中含有數(shù)列的有限項(xiàng),則,此時(shí); 若中含有數(shù)列的無限項(xiàng),則數(shù)列以實(shí)數(shù)為最大聚點(diǎn),它就是;（3） 如果數(shù)列無下界,則,此時(shí)為數(shù)列的最小聚點(diǎn);如果數(shù)列有下界 若中含有數(shù)列的有限項(xiàng),則,此時(shí); 若中含有

8、數(shù)列的無限項(xiàng),則數(shù)列以實(shí)數(shù)為最小聚點(diǎn),它就是.證明: (1) 因數(shù)列有界,令將兩等分,則必有一等分含數(shù)列的無限多項(xiàng),記此區(qū)間為,則,且 ；再將兩等分, 則必有一等分含數(shù)列的無限多項(xiàng),記此區(qū)間為,則,且；如此下去得到一個(gè)遞降閉區(qū)間套:；，且每個(gè)閉區(qū)間都含有數(shù)列的無限多項(xiàng).由閉區(qū)間套定理知，對(duì)的任何開領(lǐng)域， ，則，當(dāng)時(shí)，從而中含有數(shù)列的無限多項(xiàng)，所以為數(shù)列的聚點(diǎn).至于最大聚點(diǎn)的存在性，只需在上述證明過程中，當(dāng)每次將區(qū)間等分為兩個(gè)區(qū)間時(shí)，若右邊一個(gè)含數(shù)列的無限多項(xiàng)，將它取為；若右邊一個(gè)含數(shù)列的有限項(xiàng)，則取左邊的子區(qū)間為.于是，所選都含有數(shù)列的無限多項(xiàng)，同時(shí)在的右邊都至多含有數(shù)列的有限項(xiàng)，其中 再根據(jù)

9、閉區(qū)間套定理知，.下證為數(shù)列的最大聚點(diǎn).（反證） 若不然，設(shè)另有數(shù)列的聚點(diǎn)令則有 內(nèi)都含有數(shù)列的無限多項(xiàng)，但當(dāng)充分大時(shí)，完全落在的右邊，這與上述的右邊都至多含有數(shù)列的有限項(xiàng)矛盾.類似可證最小聚點(diǎn)的存在性，或用代替.（2） 如果數(shù)列無上界,則必有子列,因此, 為數(shù)列的最大聚點(diǎn),從而.如果數(shù)列有上界 若中含有數(shù)列的有限項(xiàng),則根據(jù)極限為的定義可知, ； 若中含有數(shù)列的無限項(xiàng),由(1)的結(jié)果, 數(shù)列有最大聚點(diǎn),顯然它也是數(shù)列的最大聚點(diǎn),即為； (3) 類似(2)可證明,或用代替.定理 2 .證明： 設(shè)，則對(duì)的任一鄰域，當(dāng)時(shí)， ，從而為數(shù)列的一個(gè)聚點(diǎn).， 則存在的開鄰域，的開鄰域， . 由于，故，當(dāng)時(shí)，

10、所以，從而中至多含有數(shù)列的有限項(xiàng)（如）因此，不為數(shù)列的聚點(diǎn).綜上可知，為數(shù)列的唯一聚點(diǎn)，所以.或者，因，故的任何子列也必有.因此，數(shù)列有唯一的聚點(diǎn)，從而. 設(shè)，則數(shù)列只有一個(gè)聚點(diǎn)，因此，對(duì)的任一開鄰域，在外只含有數(shù)列的有限多項(xiàng)（否則數(shù)列在外還有異于的聚點(diǎn)，這與數(shù)列只有一個(gè)聚點(diǎn)相矛盾）.于是，當(dāng)時(shí)，有，這就證明了.定理 3 設(shè)為有界數(shù)列，則下列結(jié)論等價(jià)：(1) 為數(shù)列的上極限；(2) 當(dāng)時(shí),有;且存在子列, ；(3) 數(shù)列中大于的項(xiàng)至多有限個(gè); 數(shù)列中大于的項(xiàng)有無限多個(gè).證明：:因?yàn)閿?shù)列的聚點(diǎn),故在內(nèi)含有數(shù)列的無限多項(xiàng)，則有.又因?yàn)閿?shù)列的最大聚點(diǎn)，故在的右邊至多只含有數(shù)列的有限多項(xiàng)（否則必有數(shù)列

11、的聚點(diǎn)，這與為數(shù)列的最大聚點(diǎn)相矛盾）.設(shè)此有限項(xiàng)的最大指標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)，有.: 令，由（2）知，當(dāng)時(shí)，有 .故數(shù)列中大于的項(xiàng)至多有限個(gè).，令，由（2）知，存在數(shù)列的子列， ，故數(shù)列中大于的項(xiàng)有無限多個(gè).:設(shè)為的任一開鄰域，則由于，根據(jù)（3），中大于有無限多項(xiàng).因此 中含有數(shù)列的無限項(xiàng)，從而中含有數(shù)列的無限項(xiàng)，這就證明了為數(shù)列的一個(gè)聚點(diǎn).另一方面，記.由（3）知，數(shù)列中大于的項(xiàng)至多有限個(gè).故不為數(shù)列的一個(gè)聚點(diǎn)，這就證明了為數(shù)列的最大聚點(diǎn)，即為數(shù)列的上極限.定理 4 設(shè)為有界數(shù)列，則下列結(jié)論等價(jià)：(1) 為數(shù)列的下極限；(2) 當(dāng)時(shí),有;且存在子列, ；(3) ， 數(shù)列中小于的項(xiàng)至多有限個(gè);， 數(shù)列

12、中小于的項(xiàng)有無限多個(gè).證明：類似定理3證明,或用代替.從一些性質(zhì)和定理的證明可以看出有些步驟用到數(shù)列上，下極限定義方面的證明過程.此外，關(guān)于不同對(duì)象的上、下極限的定義，本質(zhì)上都起源于數(shù)列的上、下極限定義，比如，集合列的上，下限極等，在此就不做介紹了.參考文獻(xiàn):1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）.北京:高等教育出版社，2001 2 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋等編.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）.北京:高等教育出版，1979 3 李成章,黃玉民編. 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）.科學(xué)出版社，1998 4 程其蘘.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)M .2版.北京：高等教育出版社，2003 5 朱成熹.近世實(shí)分析基礎(chǔ)M.天津:南開大學(xué)

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14、jiao 2007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematics professions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be