大學(xué)物理學(xué)第8章作業(yè)題

1、8 6 一鐵心上繞有線圈100匝，鐵心中磁通量與時間的關(guān)系為52. 8.0 105sin100n Wb，求在t 1.0 10 2s時，線圈中的感應(yīng)電動勢.分析 由于線圈有N匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動勢等于各匝回路的感應(yīng)電動勢的代數(shù)dd山和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成E N,其中書N稱為磁dtdt鏈.解線圈中總的感應(yīng)電動勢dE N 2.51 cos100ntdt當(dāng) t 1.0 10 2 s 時，E 2.51V .8 7有兩根相距為d的無限長平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以dL的變化率增長假設(shè)有一邊長為 d的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所dt示.求線圈

2、中的感應(yīng)電動勢.題S -7圖-J分析 此題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律E-來求解.由于回路處在非均勻磁場中，磁dt通量就需用 B dS來計算其中B為兩無限長直電流單獨(dú)存在時產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1S與B2之和.為了積分的需要，建立如下圖的坐標(biāo)系.由于B僅與x有關(guān)，即B Bx，故取一個平行于長直導(dǎo)線的寬為d x、長為d的面元d S,如圖中陰影局部所示，貝U dS ddx，所以， 總磁通量可通過線積分求得假設(shè)取面元dS dxdy，那么上述積分實(shí)際上為二重積分.此題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式EmM 1求解.dt解1穿過面元d S的磁通量為d B dS B1 dS B2 dS 兇 ddx 衛(wèi) ddx

3、 2 n x d2 nx因此穿過線圈的磁通量為d2dgld2dgId ,gld,3-dx-dxInd 2 n x dd22 n4再由法拉第電磁感應(yīng)定律,有Ed座In3dldt2 n4dt解2當(dāng)兩長直導(dǎo)線有電流I通過時，穿過線圈的磁通量為門？2 n 4線圈與兩長直導(dǎo)線間的互感為gd3M InI2n 4當(dāng)電流以 蟲變化時，線圈中的互感電動勢為dtdlgd3 dlE MIndt2 n 4 dt試想：如線圈又以速率v沿水平向右運(yùn)動，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動勢呢？此時線圈中既有動生電動勢，又有感生電動勢設(shè)時刻t，線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為匕那么穿過回路的磁通量 B dS f 1, E,

4、它表現(xiàn)為變量I和 喲二元函數(shù)，將 代 S-J-JY入E即可求解，求解時應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意，其中一v，再令d即可dtdt求得圖示位置處回路中的總電動勢.最終結(jié)果為兩項(xiàng)， 其中一項(xiàng)為動生電動勢，另一項(xiàng)為感生電動勢.8 - 11長為L的銅棒，以距端點(diǎn)r處為支點(diǎn)，以角速率 3繞通過支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn) 動.設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢差.XX8分析 應(yīng)該注意棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢是兩個不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動勢的不同.在開路時，兩者大小相等，方向相反電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向.此題可直接用積分法求解棒上的電動勢，亦可

5、以將整個棒的電動勢看作是 OA棒與0B棒上電動勢的代數(shù)和，如圖b所示.而 EOA和EO B那么可以直接利用第8 2節(jié)例1給出的結(jié)果.解1如圖a所示，在棒上距點(diǎn) 0為1處取導(dǎo)體元dl，那么L-r1EabV B dl3Bdl-3B L 2rAB-r2因此棒兩端的電勢差為U abEab3B L2r當(dāng)L2>2r時，端點(diǎn)A處的電勢較咼解2將AB棒上的電動勢看作是 0A棒和0B棒上電動勢的代數(shù)和，如圖b所示.其中Eoa嚴(yán)2,EobEabEoaEob-wBL L 2r200 '軸以角速度3旋轉(zhuǎn),8 12如下圖，長為L的導(dǎo)體棒OP,處于均勻磁場中，并繞 棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為 0,磁感強(qiáng)度B與轉(zhuǎn)軸平

6、行.求0P棒在圖示位置處的電動勢.分析戊計算此時必須構(gòu)造一個包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路，如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO),也可用E |V B d|來計算由于對稱性，導(dǎo)體 OP旋轉(zhuǎn)至任何位置時產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的.解1由上分析，得EopopV B dlyBsi n90ocosalIlsin 0 出cos 90。0d|2 LcoBsin 0 Idl0-wB Lsin 022由矢量v B的方向可知端點(diǎn)P的電勢較高.解2設(shè)想導(dǎo)體0P為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO中的一局部，任一時刻穿過回路的磁通量 為零，那么回路的總電動勢E d dt° EOPEpq Eqo顯然，Eqo = 0，所以E

7、opEpqEqo由上可知，導(dǎo)體棒OP旋轉(zhuǎn)時，在單位時間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒 QP等效后者是垂 直切割的情況.N匝圖8 - 19截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖a所示，共有 中僅畫出少量幾匝，求該螺繞環(huán)的自感L.皿 S-19 圖分析 如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等有關(guān) 的量.求自感L的方法有兩種：1.設(shè)有電流I通過線圈，計算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式L T計算L. 2.讓回路中通以變化率的電流，測出回路中的感應(yīng)電動勢El，由公式LEl 計算l.式中El和 生 都較容易通過實(shí)驗(yàn)測定，所以此方法一般|dI /dt|dt適合于工程中.此外

8、，還可通過計算能量的方法求解.解 用方法1求解，設(shè)有電流I通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖b所示，由安培環(huán)路定理可求得在Ri v r v R2范圍內(nèi)的磁場分布為B M2 n由于線圈由N匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過自身回路的磁鏈為2r2 toNI葩N hl | R2書 N B dS N hdx0 In 2S冃 2*2nR那么2L tN竹門童I 2n R8 - 20如下圖，螺線管的管心是兩個套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為Si和S2 , 磁導(dǎo)率分別為pi和國，管長為I，匝數(shù)為N,求螺線管的自感設(shè)管的截面很小川詁I分析 此題求解時應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對磁場的影響.在無介質(zhì)時，通電螺線管內(nèi)的磁場是均勻

9、的，磁感強(qiáng)度為 Bo ,由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為p Bo和比Bo .通過線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為Si和S2的兩局部磁通量之和由自感的 定義可解得結(jié)果.解 設(shè)有電流I通過螺線管，那么管中兩介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為Bipnl沖丨,B2pnl通過N匝回路的磁鏈為NBiSiNB2S2那么自感1N2LLiL2-pSlpS2I I8 23 如下圖，一面積為4.0 cm2共50匝的小圓形線圈 A ,放在半徑為20 cm共i00匝 的大圓形線圈B的正中央，此兩線圈同心且同平面.設(shè)線圈 A內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是 相同的.求：i兩線圈的互感；2當(dāng)線圈B中電流的變化率為一50 Asi時

10、， 線圈A中感應(yīng)電動勢的大小和方向.分析設(shè)回路I中通有電流可設(shè)回路n通有電流雖然兩種途徑所得結(jié)果相同,ii ,穿過回路n的磁通量為|2，穿過回路I的磁通量為21，那么互感M = M21 =21|1 ；也12 ，貝U MM12但在很多情況下，不同途徑所涉及的計算難易程度會有很大的不同.以此題為例，如設(shè)線圈B中有電流I通過，那么在線圈A中心處的磁感強(qiáng)度很易求得,由于線圈A很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈的磁通量 BS反之,如設(shè)線圈A通有電流I，其周圍的磁場分布是變化的，且難以計算,因而穿過線圈B的磁通量也就很難求得，由此可見，計算互感一定要善于選擇方便的途徑.解 (1)設(shè)線圈B有電流

11、I通過,它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度BoNB境穿過小線圈A的磁鏈近似為NaboSaNaNb 錯 Sa那么兩線圈的互感為NaNb06.28 10 62Rpll(2) Ea Mdt互感電動勢的方向和線圈 B3.1410 4 V中的電流方向相同.8 - 24如下圖，兩同軸單匝線圈 A、C的半徑分別為R和r，兩線圈相距為d.假設(shè)r很小, 可認(rèn)為線圈A在線圈C處所產(chǎn)生的磁場是均勻的求兩線圈的互感假設(shè)線圈C的匝數(shù)為N匝，那么互感又為多少？解設(shè)線圈A中有電流感強(qiáng)度近似為穿過線圈C的磁通為那么兩線圈的互感為通過，它在線圈C所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁B m)ir22 R22 3/2d2也IR2222 3/2 n2

12、R2d22 2也n R22 3/22 R2d2假設(shè)線圈C的匝數(shù)為N匝,那么互感為上述值的 N倍.8 - 26 一個直徑為0.01m,長為0.10 m的長直密繞螺線管，共1 000匝線圈，總電阻電流穩(wěn)定后，線圈中所要使線圈儲存磁能為最為7.76 Q.求：1 如把線圈接到電動勢 E = 2.0 V的電池上,儲存的磁能有多少？磁能密度是多少？ * 2從接通電路時算起, 大儲存磁能的一半，需經(jīng)過多少時間?1如回路自感為L 分析 單一載流回路所具有的磁能，通?？捎脙煞N方法計算：1 2或很容易求得，那么該回路通有電流I時所儲存的磁能wmli 2，通常稱為自感磁能.22由于載流回路可在空間激發(fā)磁場，磁能實(shí)際

13、是儲存于磁場之中，因而載流回路所具有的能量 又可看作磁場能量，即 Wm vWmdV，式中Wm為磁場能量密度，積分普及磁場存在的空B的分B2間.由于Wm，因而采用這種方法時應(yīng)首先求載流回路在空間產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度2 口布上述兩種方法還為我們提供了計算自感的另一種途徑，即運(yùn)用1LI2V WmdV 求解 L .解 1密繞長直螺線管在忽略端部效應(yīng)時，其自感n2s電流穩(wěn)定后，線圈中電流I，那么線圈中所儲存的磁能為R1 2 Wm-LI2出 n2se22IR253.28 10 J在忽略端部效應(yīng)時，該電流回路所產(chǎn)生的磁場可近似認(rèn)為僅存在于螺線管(2)中，并為均勻磁場，故磁能密度 wm處處相等，wm Wm 4.17

14、 J m 3SL自感為L ,電阻為R的線圈接到電動勢為E的電源上，其電流變化規(guī)律Et1 e L，當(dāng)電流穩(wěn)定后，其最大值RIm12 1122 EE芒按題意1 LILIm ,那么1將其代入11 e L中，得2 2 22 RRtLl n 12丄ln 2.21.5610 4sR2R8 - 13 如圖(a)所示，金屬桿AB以勻速v 2.0m1平行于一長直導(dǎo)線移動，此導(dǎo)線通有電流I(b)分析 此題可用兩種方法求解.1用公式E v B dl求解，建立圖a所示的1坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元dl dx，該處的磁感強(qiáng)度B.2用法拉第電磁感應(yīng)定律求2 n解，需構(gòu)造一個包含桿 AB在內(nèi)的閉合回路.為此可設(shè)想桿AB在一個靜止的

15、形導(dǎo)軌上滑動，如圖b所示.設(shè)時刻t，桿AB距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式 B dS求得穿S-J過該回路的磁通量，再代入公式E-，即可求得回路的電動勢，亦即此題桿中的電動dt勢.解1根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動勢為Eabv B dl dxl-JtIvlnil3.84 10 5 V 式中負(fù)號表示AB0.1m 2 n2 n電動勢方向由B指向A,故點(diǎn)A電勢較高.解2設(shè)順時針方向?yàn)榛芈?ABCD的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x處，取寬為d X、長為y的面元d S,那么穿過面元的磁通量為d B dS訕ydx2n(穿過回路的磁誦量為也lyd ydx0 ln11S°.1m 2n<2n回路的電動勢

16、為ed也1ln11-也ly53.84 10 Vdt2 ndt2n由于靜止的形導(dǎo)軌上電動勢為零，所以Eab E 3.84 10 5 V式中負(fù)號說明回路電動勢方向?yàn)槟鏁r針，對AB導(dǎo)體來說，電動勢方向應(yīng)由B指向A,故點(diǎn)A電勢較高.8 - 17半徑為R = 2.0 cm的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外-b磁場可近似看作零假設(shè)通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B隨時間的變化率 竺為常量，且dt-Bdt為正值，試求：1管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)的感生電場分布；2如 0.010T s 1求距螺線管中心軸r = 5. 0 cm處感生電場的大小和方向.分析 變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的

17、空間分布與場源變化的磁場dBb包括磁場的空間分布以及磁場的變化率等密切相關(guān)，即EkdldS .在dtSS t一般情況下，求解感生電場的分布是困難的.但對于此題這種特殊情況，那么可以利用場的對稱性進(jìn)行求解.可以設(shè)想，無限長直螺線管內(nèi)磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示由其激發(fā)的感生電場也一定有相應(yīng)的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而此題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓.同一圓周上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度Ek的大小相等，方向沿圓周的切線方向. 圖中虛線表示r v R和r > R兩個區(qū)dB域的電場線.電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)0時，電

18、場線dtdB繞向與B方向滿足右螺旋關(guān)系；當(dāng) 匹 0時，電場線繞向與前者相反.dt解 如下圖，分別在r v R和r > R的兩個區(qū)域內(nèi)任取一電場線為閉合回路1半徑為r的圓，依照右手定那么，不妨設(shè)順時針方向?yàn)榛芈氛?(1)r v R, E!Ek dl Ek 2 nd BdS2dBndtEkr dB2 dtr > R,E! Ek dlEk 2 ndtBdSnR2?EkR2 dB2r dt由于(2)dB 0，故電場線的繞向?yàn)槟鏁r針.dt由于r > R,所求點(diǎn)在螺線管外，因此RdB2r dtdB將r、R、的數(shù)值代入，可得 Ek 4.0 10 5 V m 1，式中負(fù)號表示Ek的方向是逆

19、時針dt的.8 - 21有兩根半徑均為a的平行長直導(dǎo)線，它們中心距離為d .試求長為I的一對導(dǎo)線的自感導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計.O1d/Ifd1r1分析 兩平行長直導(dǎo)線可以看成無限長但寬為d的矩形回路的一局部.設(shè)在矩形回路中通有 逆時針方向電流I，然后計算圖中陰影局部寬為 d、長為I的磁通量該區(qū)域內(nèi)磁場可以 看成兩無限長直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加.解 在如下圖的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I時，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為B由12 n(J2ndr穿過圖中陰影局部的磁通量為B dSdaBldr(l i n d aSana那么長為1的一對導(dǎo)線的自感為L(l ln daIna如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，那么一對導(dǎo)線的自感為L L1 2L2. L1稱為外自感，即此題已求出的L, L2稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感長為 I的導(dǎo)線的內(nèi)自感 L2 區(qū)，有興趣的讀者可8 n自行求解.8 - 25如下圖，螺繞環(huán)A中充滿了鐵磁質(zhì)，管的截面積S為2.0 cm2，沿環(huán)每厘米繞有100