蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2223數(shù)學(xué)歸納法教案5篇

1、歸納推理一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：（1）體會(huì)歸納推理這種基本的分析問題法，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去。 （2）明確歸納推理的一般步驟，并把這些方法用于實(shí)際問題的解決中去。 過程與方法： （1）通過歌德巴赫猜想引入課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極 （2）通過師生合作做實(shí)驗(yàn)的過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性； （3）通過生活中的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)歸納推理的思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀： 正確認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。二、教學(xué)重點(diǎn)：理解歸納推理的思維過程與一般形式。三、教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用歸納推理得到一般性的結(jié)論。四

2、、教學(xué)方法與手段：多媒體演示，互動(dòng)實(shí)驗(yàn)。五、教學(xué)過程：情景一：歌德巴赫猜想問題1：同學(xué)們，你們有沒有聽說過一個(gè)世紀(jì)難題，歌德巴赫猜想，簡稱“1+1”？ _問題2：你們知道這個(gè)歌德巴赫猜想的具體內(nèi)容嗎 _問題3：你們想不想知道歌德巴赫是怎樣提出這個(gè)猜想的？ 1742年，歌德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)： 4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11， 由此，他猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和（簡稱“1+1”），可

3、是他既證明不了這個(gè)猜想，也否定不了這個(gè)猜想。于是，歌德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉在給他的回信中說，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的“每一個(gè)充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘

4、積之和”（簡稱“1+2”），這一結(jié)論十分接近歌德巴赫猜想的解，被國際上稱為“陳氏定理”。情景二：多面體的歐拉公式 雖然，歌德巴赫的猜想還不能證明，但他的這種猜想方法在定理發(fā)現(xiàn)中很有用。大數(shù)學(xué)家歐拉，也是通過觀察一些簡單的多面體，然后發(fā)現(xiàn)多面體的歐拉公式的。 下面請同學(xué)們數(shù)一數(shù)下列圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E，然后一起把表格填完整。多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐三棱柱五棱錐立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔問題4：歐拉從中發(fā)現(xiàn)了公式，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？ _ 情景三：生活中的猜想人們發(fā)現(xiàn)，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年莊稼就會(huì)獲得豐收，而沒有發(fā)現(xiàn)相反情況，于是，人

5、們作出了一個(gè)猜想：“瑞雪兆豐年”。這樣的猜想生活中還有很多，例如每次下大雨之前，都有螞蟻搬家的現(xiàn)象，于是，我們就據(jù)此作出一個(gè)猜想：“凡螞蟻搬家，天必下雨”問題5：在上面幾個(gè)例子中，大家有沒有發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)？ 它們都是從個(gè)別事實(shí)中推演出一般的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理，簡稱歸納法。歸納推理的思維過程大致如下：猜測一般性的結(jié)論概括、推廣實(shí)驗(yàn)、觀察 歸納推理的一般模式為： S1具有P， S2具有P， Sn具有P（S1，S2，Sn是A類事實(shí)的對象） 所以，A類事物都具有P?；?dòng)實(shí)驗(yàn)： 道具：兩袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一個(gè)黑的外其余都是白的） 過程：請兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)摸袋中的

6、棋子，一次摸一個(gè)，摸了三次后，請他們作出一個(gè)歸納推理。 目的：說明歸納推理得到的結(jié)論不都是正確的。問題6：為什么上面的實(shí)驗(yàn)可能會(huì)得到不正確的結(jié)論？ 因?yàn)闆]有全部摸出來，只檢查了幾個(gè)，就得出結(jié)論了。 像這樣只從幾個(gè)個(gè)別事例就推出結(jié)論的歸納法稱為不完全歸納法； 如果把全部情況都列舉出來的歸納法稱為完全歸納法。 完全歸納法考察的是某類事物的全部對象，所以它的結(jié)論一定是正確的。但它的運(yùn)用是有局限性的。如果某類事物的個(gè)別對象是無限的(如天體、原子)或者事實(shí)上是無法一一考察窮盡的，它就不能適用了。這時(shí)就只能運(yùn)用不完全歸納推理了。例如檢查一個(gè)大型生產(chǎn)廠的產(chǎn)品合格率。課堂研學(xué)：“漢諾塔”問題如圖有三根針和套在

7、一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。 、每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；、較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測：把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動(dòng)多少次?231課堂練習(xí)：（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過計(jì)算的值，推測出的值。（2）已知：，。觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。課堂總結(jié)：問題7：通過以上學(xué)習(xí)，歸納推理具有什么特點(diǎn)？ （1）歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。 （2）由歸納得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)。因此，它不

8、能作為數(shù)學(xué)證明的工具。 （3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。數(shù)學(xué)歸納法(1)一、教學(xué)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法3能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問題的方法。難點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。三、教學(xué)過程：【創(chuàng)設(shè)情境】1華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”。 2“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”。問題：如何保證所摸的球都是紅球？多米諾骨牌全部倒下？處了利用完全歸納法全部枚舉之外，是否還有其它方法？數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)

9、學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)問題的有力工具?！咎剿餮芯俊?數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）2數(shù)學(xué)歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確?！纠}評析】例1：以知數(shù)列an的公差為d，求證：說明：歸納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。 數(shù)學(xué)歸納法證明的基本形式；（1）（

10、遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,32. 用數(shù)學(xué)歸納法證明例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN,n2)說明：注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。EX:1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊有_項(xiàng),右邊有_項(xiàng)；(2)當(dāng)n=k時(shí),左邊有_項(xiàng),右邊有_項(xiàng)；(3)當(dāng)n=k+1時(shí),左邊有_項(xiàng),右邊有_項(xiàng)；(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時(shí)有什么不同? 變題:

11、用數(shù)學(xué)歸納法證明 (nN+)例3：設(shè)f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)說明：注意分析f(k)和f(k+1)的關(guān)系?！菊n堂小結(jié)1數(shù)學(xué)歸納法公理：（1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。2. 注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系.【反饋練習(xí)】1用數(shù)學(xué)歸納法證明3kn3(n3,nN)第一步應(yīng)驗(yàn)證(

12、)A n=1B n=2 C n=3D n=42用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項(xiàng)數(shù)是( )A. B C D 3若n為大于1的自然數(shù)，求證 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí)，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即4用數(shù)學(xué)歸納法證明 【課外作業(yè)】 課標(biāo)檢測數(shù)學(xué)歸納法(2)一、教學(xué)目標(biāo)：1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題3能通過“歸納-猜想-證明”處理問題二、教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。難點(diǎn)：歸納猜想證明。三、教學(xué)過程：【創(chuàng)設(shè)情境】問題1：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想？ 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理

13、，它將一個(gè)無窮歸納（完全歸納）的過程，轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程。（遞推關(guān)系）問題2：數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？（1）遞推奠基：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；（2）遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題?！咎剿餮芯俊繂栴}：用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。法一：配湊遞推假設(shè)：法二：計(jì)算f(k+1)-f(k)，避免配湊。說明：歸

14、納證明時(shí)，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件，是解題的關(guān)鍵。 注意從“n=k到n=k+1”時(shí)項(xiàng)的變化?！纠}評析】例1：求證: 能被整除（nN+）。例2：數(shù)列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的常用方法：歸納猜想證明變題：（2002全國理科）設(shè)數(shù)列an滿足，nN+, (1)當(dāng)a1=2時(shí)，求，并猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)a13時(shí)，證明對所有的n1,有 ann+2 例3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點(diǎn)，問：這n條直線將平面分成多少部分？變題：平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交與兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，

15、求證：這n個(gè)圓把平面分成n2+n+2個(gè)部分。例4：設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(kN+)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù)；（）求f(x)的解析式；（）記Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),試比較n與n的大小?！菊n堂小結(jié)】1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法：歸納猜想證明。2.兩個(gè)注意： （1）是否用了歸納假設(shè)？ （2）從n=k到n=k+1時(shí)關(guān)注項(xiàng)的變化？【反饋練習(xí)】1 觀察下列式子 則可歸納出_ (nN*)1用數(shù)學(xué)歸納法證明 2已知數(shù)列計(jì)算根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。3.是否存在常數(shù)a、b、c，使等式對一切都

16、成立？并證明你的結(jié)論.【課外作業(yè)】 課標(biāo)檢測數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，常常以觀察、試驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納提出合理的科學(xué)猜想，通過數(shù)學(xué)歸納法的證明可以保證猜想的合理性與正確性廣泛的用來證明等式、不等式、整除性問題等與自然數(shù)有關(guān)的命題下面舉例說明數(shù)學(xué)歸納法的幾種應(yīng)用一、等式問題例1已知，求證：證明：（1）當(dāng)時(shí)，等式左邊，右邊，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立即則當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，等式成立綜上，由（1）和（2）可知，對于任何，等式成立評注：本題在證明過程中突出了一個(gè)湊字，即“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由到時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系二、不等式問題例2求證：

17、證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即則當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)不等式也成立由（1）和（2）可知，原不等式對一切，均成立評注：本題在由到時(shí)的推證過程中應(yīng)用了“放縮”的技巧，使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一三、整除性問題例3利用數(shù)學(xué)歸納法證明能被9整除證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，（3×11）×112，能被9整除，所以命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即能被9整除那么當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除這就是說，當(dāng)時(shí)，命題也成立由（1）和（2）可知，對一切，都能被9整除評注：涉及整除問題，常利用提取公因式湊成假設(shè)、湊

18、出整除式等方法，其中等價(jià)變換的技巧性較強(qiáng)歸納 猜想 證明“歸納猜想證明”是一種重要的思維模式，也是數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的重點(diǎn)題型解這類問題，需從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其中解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，下面舉例說明例1是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式對一切成立？并證明你的結(jié)論分析：可先進(jìn)行計(jì)算，找到a、b、c的值，再歸納猜想，最后證明解：假設(shè)存在常數(shù)a、b、c使上式對均成立，則當(dāng)時(shí)上式顯然也成立，此時(shí)可得，解此方程組，可得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對一切均成立當(dāng)時(shí)，命題顯然成立假設(shè)時(shí)，命題成立即，那么當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，命題成立綜上所述，存在常數(shù)，使得等

19、式對一切均成立例2數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式分析：該題未給出猜想信息，可先創(chuàng)造條件得出結(jié)論，再證明解：，由變形整理，得，取正根，得，由及，得，變形整理，得，取正根，得同理，求得由此猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，上面已求出，結(jié)論成立 （2）假設(shè)當(dāng)，時(shí)，結(jié)論成立，即那么當(dāng)時(shí)，整理，得，取正根，得，故時(shí)，結(jié)論成立 由（1）和（2），可知對任何，成立例3已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的都滿足：，若，求證：分析：用歸納的思想方法，通過賦值、計(jì)算、猜想、證明四步完成證明：對任意都成立，對于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，猜想（）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)時(shí)，（）式成立（2）假設(shè)時(shí)

20、，（）式成立，即，當(dāng)時(shí)，時(shí)，（）式成立 由（1）和（2），可知對任何，成立所以要證明結(jié)論成立，只需證明，成立斐波那契級數(shù)1，1，2，3，5，8，13，21，34，在這些數(shù)中，從第3項(xiàng)開始，每一個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)的和，例如，等等，這就是著名的斐波那契級數(shù)斐波那契級數(shù)出現(xiàn)在意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，11741250）在1202年所著的算盤書中書中是這樣提出問題的：如果每對兔子每月能繁殖一對子兔，而子兔在出生后第二個(gè)月就有生殖能力，第三個(gè)月就生產(chǎn)一對兔子，以后每個(gè)月生產(chǎn)一對，假定每對兔子都是一雌一雄試問一對兔子一年能繁殖多少對兔子？由這個(gè)問題得出的序列就是上面列出的序列出人意料的

21、是，這個(gè)序列在許多場合都出現(xiàn)因此，我們需要對它作些探討序列中的每一個(gè)數(shù)叫做斐波那契數(shù)若第n個(gè)斐波那契數(shù)記為，則我們有，這個(gè)序列有下面的遞推關(guān)系 斐波那契數(shù)的通項(xiàng)公式是這個(gè)公式是法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）求出的我們用數(shù)學(xué)歸納法證明它斐波那契級數(shù)的構(gòu)造法告訴我們，從第3項(xiàng)開始，它的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，并且只有在給定了開頭的兩項(xiàng)之后，整個(gè)級數(shù)才能確定所以在使用數(shù)學(xué)歸納法證明公式時(shí)，需要對數(shù)學(xué)歸納法的基本程序作變動(dòng)：（1）公式對，這兩種情況都正確；（2）假定公式對一切都成立，證明它對也正確證明：（1）為了下面的證明，我們需要算出類似地，從而，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，這就證明了當(dāng)和時(shí)公式是正確的（4

22、）設(shè)n是任意自然數(shù)，并假定公式對一切都成立，證明它對正確根據(jù)斐波那契數(shù)的定義，我們有由，得，原命題得證斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在許多場合在花的花瓣中存在斐波那契模式幾乎所有的花，其花瓣都是斐波那契數(shù)例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；許多翠雀屬植物有8瓣；萬壽菊的花有13瓣；紫菀屬的植物有21瓣；大多數(shù)雛菊有34、55、89瓣在向日葵的花盤內(nèi)葵花子的螺旋模式中也可以發(fā)現(xiàn)斐波那契級數(shù)數(shù)學(xué)歸納法證明的幾種常用方法用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，第二步是十分關(guān)鍵的步驟怎樣才能從順利地過渡到呢？下面介紹幾種常用方法一、恰當(dāng)放縮例已知n是大于1的自然數(shù)，求證：分析：由已知可看

23、到的形式很繁鎖，并且要證結(jié)論為不等式，則可聯(lián)想不等式的性質(zhì)對其適當(dāng)放縮，從而證得原命題證明：（1）當(dāng)時(shí)，所以不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，有。所以當(dāng)時(shí)原不等式也成立由（1）和（2），可知原不等式對任何大于1的自然數(shù)n都成立二、起點(diǎn)后移例2已知，求證：分析：可結(jié)合不等式關(guān)系：來證明，但注意要將奠基的起點(diǎn)后移，即在第一步證明中，不僅要證明時(shí)原不等式成立，還要證明當(dāng)時(shí)，原不等式也成立證明：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立當(dāng)時(shí)，不等式左邊，右邊，則左邊右邊，當(dāng)時(shí)，原不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則時(shí)，所以當(dāng)時(shí)原不等式也成立由（1）和（2），可知原不等式對任何都成立三、增加跨度例3試證：

24、任何一個(gè)正方形都可以分割成5個(gè)以上的任意多個(gè)正方形分析：一個(gè)正方形分割成4個(gè)正方形是很容易的由此猜想：若能把一個(gè)正方形分割成k個(gè)正方形，則必能分割成個(gè)正方形故第一步應(yīng)對的情形加以驗(yàn)證第二步，則只需從k遞推到k+3證明：（1）當(dāng)時(shí)，由以下各圖所示的分割方法知，命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即一個(gè)正方形必能分割成k個(gè)正方形那么，只要把其中任意一個(gè)正方形兩組對邊的中點(diǎn)分別連結(jié)起來，即把該正方形再分割成4個(gè)小正方形，則正方形的個(gè)數(shù)就增加了3個(gè)因而原正方形就分割成了個(gè)正方形，即當(dāng)時(shí)命題也成立因?yàn)槿魏我粋€(gè)大于5的自然數(shù)n都可以表示成中的一種形式，所以根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何大于5的自然數(shù)n都成

25、立四、強(qiáng)化命題例4已知，定義，且試證明：對一切，都有分析：顯然有，但若假設(shè)，則很難由遞推公式推得為此，必須知道小于什么數(shù)值才行其實(shí)，要使，即，只須所以本題可轉(zhuǎn)化為證明如下更強(qiáng)的不等式證明：（1）當(dāng)時(shí)，顯然有又因?yàn)?，所以?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則有，所以，即當(dāng)時(shí)不等式也成立由（1）和（2），可知對任何，不等式都成立，從而原命題獲證注意：除了上述四種常用方法外，還有拆項(xiàng)添項(xiàng)、作差（作商）等方法同學(xué)們在證明過程中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用蘇教選修（2-2）2.3數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)一、數(shù)學(xué)歸納法的原理及其概念如果（1）當(dāng)n取第一個(gè)值（例如等）時(shí)結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確；那么，命題對于從開始的所有正整數(shù)n都成立這就是數(shù)學(xué)歸納法公理，它是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的依據(jù)補(bǔ)充說明：（1）數(shù)學(xué)歸納法適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題，常用來證明用不完全歸納得到的結(jié)論要有強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)之間的對應(yīng)意識，做到看到有關(guān)正整數(shù)的證明問題，馬上想到是否可以用數(shù)學(xué)