南京市屆第一次高三學(xué)情調(diào)研考試(數(shù)學(xué))

1、樣本數(shù)據(jù)X1, X2,6.如圖，它是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的k值為 第6題圖7. 如圖，它是函數(shù) f(x)= Asin( x+ )(A>0,> 0,0,2)圖象的一局部，那么f (0)的值為南京市2022屆高三學(xué)情調(diào)研考試數(shù) 學(xué)考前須知：1.本試卷共4頁(yè)，包括填空題第 1題第14題、解答題第15題第20題兩局部.本試 卷總分值為160分，考試時(shí)間為120分鐘.2 答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的、學(xué)校、班級(jí)寫在答題紙上試題的答案寫在答題.紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi).考試結(jié)束后，交答復(fù)題紙.參考公式1 n_1 nXn的方差S2=：刀(Xi X)2，其中X =刀Xi.n i= 1n i =11

2、錐體的體積公式：V= 1sh,其中S為錐體的底面積，h為錐體的高.3一、填空題本大題共14小題，每題5分，共70分不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙 的指定位置上1.集合 A= 1, 0, 1 , 2, B= x|x2 1 > 0，貝V AQ B=.2 .復(fù)數(shù)z滿足：z(1 i)= 2 + 4i，其中i為虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù) z的模為 .3 某射擊選手連續(xù)射擊 5槍命中的環(huán)數(shù)分別為：，那么這組數(shù)據(jù)的方差為 .4.從2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)白球中隨機(jī)取出兩個(gè)球，那么兩球顏色不同的概率是(2a + b)，那么實(shí)數(shù)m的值為_5 .向量 a = (1, 2), b = (m , 4),且 a

3、/8.雙曲線x2 y2a2 b2=1 (a> 0, b> 0)的一條漸近線的方程為2x y= 0,那么該雙曲線的離心率為9 .直三棱柱ABC A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為 2，E為棱CC的中點(diǎn)，那么三棱錐 Ai B1C1E的體積為 10. 對(duì)于直線I, m，平面a, m a,貝廠'l丄m是"I丄a成立的 條件.在"充分不必要“必要不充分、“充要、“既不充分又不必要中選填一個(gè)111. 函數(shù)f(x) = 3X3 + x2 2ax + 1,假設(shè)函數(shù)f(x)在(1,2)上有極值，貝y實(shí)數(shù)a的取值范圍為12. 平行四邊形 ABCD中，AD= 2，/ BAD= 60&

4、#176;假設(shè)E為DC中點(diǎn)，且AE BD = 1,那么BD BE的值為 .13 .等比數(shù)列an的公比q > 1，其前n項(xiàng)和為3 .假設(shè)2S> + 1,貝U S的最小值為.14 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A, B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P異于原點(diǎn)0為y軸上的一個(gè)定點(diǎn).假設(shè)以AB為直徑的圓與圓x2 + (y 2)2= 1相外切，且/ APB的大小恒為定值，那么線段 OP的長(zhǎng)、解答題本大題共6小題，共90分.解容許寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)15. 本小題總分值14分在厶ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,且acosB

5、= bcosA.1求-的值；a2假設(shè)sinA= 3，求sin(C?的值.16. 本小題總分值14分如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點(diǎn).1求證：PC /平面BDE2假設(shè) PC丄PA, PD= AD,求證：平面 BDE丄平面PAB.17. 本小題總分值14分某市對(duì)城市路網(wǎng)進(jìn)行改造，擬在原有 a個(gè)標(biāo)段注：一個(gè)標(biāo)段是指一定長(zhǎng)度的機(jī)動(dòng)車道的根底 上，新建x個(gè)標(biāo)段和n個(gè)道路交叉口，其中n與x滿足n= ax+ 5.新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)為 萬元，新建一個(gè)道路交叉口的造價(jià)是新建一個(gè)標(biāo)段的造價(jià)的k倍.1寫出新建道路交叉口的總造價(jià)y萬元與x的函數(shù)關(guān)系式；2設(shè)P是新建標(biāo)段的總造

6、價(jià)與新建道路交叉口的總造價(jià)之比.假設(shè)新建的標(biāo)段數(shù)是原有標(biāo)段數(shù)1的20%,且k>3問：P能否大于戲，說明理由.18. 本小題總分值16分橢圓篤+ & 1(a>b>0)的離心率e = ；2, 條準(zhǔn)線方程為 x = 2 過橢圓的上頂點(diǎn) A作一條與 a b2x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P, P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 Q.1求橢圓的方程；2假設(shè)直線 AP, AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 m, n,求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù).19. 本小題總分值16分函數(shù) f(x)= ex, g(x) = x b, b R.1假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，求b的值；2

7、設(shè)T(x) = f(x) + ag(x), a R,求函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間；3設(shè) h(x) = |g(x)| f(x), bv 1 假設(shè)存在 禺，血 0, 1，使 | h(X1) h(x2)| > 1 成立，求 b 的取值范圍.20. 本小題總分值16分等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且2a5 a3= 13,16.1求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S ；n2設(shè)Tn = .!( 1)iai，假設(shè)對(duì)一切正整數(shù) n,不等式XTn< an+1+ ( 1)n+ 1an 2n 1恒成立，求實(shí)數(shù)入的取值范圍；3是否存在正整數(shù) m , n(n> m> 2)，使得S2, Sm 9, S Sn成等比數(shù)

8、列？假設(shè)存在，求出所 有的m, n;假設(shè)不存在，說明理由.南京市2022屆高三學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)附加題9考前須知：1附加題供選修物理的考生使用.2 .本試卷共40分，考試時(shí)間30分鐘.3.答題前，考生務(wù)必將自己的、 學(xué)校寫在答題紙上. 試題的答案寫在答.題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空 格內(nèi).考試結(jié)束后，交答復(fù)題紙.21. 【選做題】 在A、B、C、D四小題中只要選做 2題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域 內(nèi)作答.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A. 選修41 :幾何證明選講在圓O中，AB, CD是互相平行的兩條弦，直線 AE與圓O相切于點(diǎn)A,且與CD的延長(zhǎng)線交于 點(diǎn) E,求證：AD2

9、 = AB ED.B. 選修4 2 :矩陣與變換點(diǎn)P(3, 1)在矩陣A = a 2變換下得到點(diǎn)b 1P(5, 1).試求矩陣A和它的逆矩陣A1.C. 選修4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x=m+2cos a在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C的參數(shù)方程為a為參數(shù)，m為常數(shù).以原點(diǎn)0y=2sin a為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線I的極坐標(biāo)方程為 pcos( 0 n)= . 2 .假設(shè)直線I與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.D. 選修4 5 :不等式選講設(shè)實(shí)數(shù)x, y, z滿足x+ 5y+ z= 9，求x2 + y2+ z2的最小值.【必做題】 第22題、第23題，每題10分，共

10、計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖?題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答.解容許寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.22. 本小題總分值10分2假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為§.現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否那么就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完.設(shè)耗用子彈數(shù)為X,求：1X的概率分布；2數(shù)學(xué)期望日為.23. 本小題總分值10分如圖，正方形 ABCD和矩形ACEF中，AB=“2, CE= 1, CE!平面ABCD.EB1求異面直線DF與BE所成角的余弦值;2丨求二面角 A- DF- B的大小.南京市2022屆高三學(xué)情調(diào)研考試 數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2022.09說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法

11、與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分 標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)那么.2 對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)局部的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該局部正確解容許得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)局部的解答有 較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3 .解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù).一、填空題：本大題共 14小題，每題5分，共70分.1 . 22. - 103.4. 55. 26. 511.(2，4)12. 38. 丘9 .亨13. 2 ：3 + 314.：3、解答題：本大題共 6小題，共90 分.15.

12、解：1由 acosB= bcosA,得 sinAcosB= sinBcosA,即 sin(A B)= 0.因?yàn)?A, B (0, n,所以 A B ( n, n,所以 A B= 0,b所以a=b，即b =1.2因?yàn)閟inA= 3,且A為銳角，所以cosA= 3?所以 sinC= sin( n 2A)= sin2A= 2sinAcosA= 9 ,10分cosC= cos( n 2A)= cos2A= 1 + 2si n2A= 9 n n n 8+ 7寸? 所以 sin(C 4)= sinCbos cosCsin =佗 .12分14分16.證明：1連結(jié)AC,交BD于O,連結(jié)OE.因?yàn)锳BCD是平行

13、四邊形，所以 OA= OC.因?yàn)镋為側(cè)棱PA的中點(diǎn)，所以 OE/ PC.因?yàn)镺E/ PC,所以 PA丄 OE.因?yàn)镻C丄 PAaa8分PC/平面BDE, OE 平面BDE,所以PC /平面BDE.因?yàn)镋為PA中點(diǎn)，PD= AD,所以PA丄DE.所以 P= mX =X一 =2一)=2yk(ax+ 5)ka2 + 5)k(a2 + 25)18.1 1=30« 20.方法二 依題意x= a.aaka2 + 5)= k(a2+ 25) 假設(shè)1P>20，得 ka2 20a + 25kv 0.因?yàn)?k> 3，所以= 100(4 k2) v 0，不等式 ka2 20a + 25kv 0

14、 無解.1答：p不可能大于20.c邁a2解：因?yàn)?，c = 2，所以 a= 2, c= 1,所以 b = _ a2 &=1. 故橢圓的方程為 與+ V2= 1.13分14分10分13分14分(2解法一 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(劉，y1),貝U Q點(diǎn)坐標(biāo)為(X1,-y1).因?yàn)閗AP= y0 = y，所以直線 AP的方程為y = - x+ 1 .X1 0X1X1X1令y = 0,解得m = . 8分y1 1V1 1V1 + 1V1 + 1因?yàn)閗AQ= -= ，所以直線 AQ的方程為y=x+ 1.X1 0X1X1人“小X1令 y= 0，解得 n=.y1 + 12 X1X1X1所以 mn =1 +7 =

15、2.y1 1 y1+ 11 y1x2 2X22又因?yàn)?X1, y1)在橢圓+y2 = 1上，所以+ yi2X1口 r所以 2 = 2，即mn = 2.1 -1 12分 14分22 X1=1,即卩1 y1=,所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2.16分解法二 設(shè)直線AP的斜率為k(kz 0)，那么AP的方程為y = kX +1,聯(lián)立方程組y = kX + 1,X22 + y2 =1,4k消去 y,得(1 + 2k2)/+ 4kx= 0,解得 Xa= 0, xp = i + 22,1 2k2所以 yp= k/p+ 1 = i + 2r2，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(一4k1 + 2k2,1 2k21 + 2k2 力1

16、0分所以kAQ =1 2 k22 11 + 2 k2_ 14k 2k,1 + 2k21故直線AQ的方程為y= x+ 1.2k令 y= 0，得 n= 2k, 14 分1所以 mn= ( ) ( 2k) = 2.所以mn為常數(shù)，常數(shù)為 2. 16分 19.解：(1)設(shè)切點(diǎn)為(t, et),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切,所以 et = 1,且 et = t b,解得b= 1. 2分2)T(x) = ex+ a(x b), T'(x) = ex + a.當(dāng)a>0時(shí)，T'(x)> 0恒成立. 4分當(dāng) av 0 時(shí)，由 T'(x)> 0，得 x&

17、gt; ln( a). 6 分所以，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為( 8,+ )；當(dāng)av 0時(shí)，函數(shù)T(x)的單調(diào)增區(qū)間為(In( a), + ). 8分3) h(x)=加1 f(x)= (囂豐.當(dāng) x>b 時(shí)，h'x)= (x b + 1) ex>0，所以 h(x)在(b,+ )上為增函數(shù)；當(dāng) x<b 時(shí)，h'x)= (x b + 1)ex,因?yàn)?b 1 v xv b 時(shí)，h 'x)= (x b+ 1) exv 0,所以 h(x)在(b 1, b)上是減函數(shù)； 因?yàn)?xv b 1 時(shí)，h 'x)= (x b + 1) ex>

18、; 0,所以 h(x)在(一, b 1)上是增函數(shù).10分當(dāng)b < 0時(shí)，h(x)在(0, 1)上為增函數(shù).所以 h(x)max= h(1)= (1 b)e, h(x)min = h(0) = b.由 h(x)max h(x)min > 1，得 b V 1，所以 b W 0 . 12 分e當(dāng)0v bv時(shí)，e + 1因?yàn)?bvxv 1 時(shí)，h'x)= (x b+ 1) ex>0，所以 h(x)在(b, 1)上是增函數(shù)， 因?yàn)?0vxv b 時(shí)，h'x)= (x b+ 1) exv 0,所以 h(x)在(0, b)上是減函數(shù). 所以 h(x)max= h(1)=

19、(1 b)e, h(x)min = h(b) = 0.由 h(x) max 一 h (x) min > 1 ,ee1因?yàn)? V bV石，所以0V b V W14分e當(dāng)W b v 1時(shí)，e + 1同理可得，h(x)在(0, b)上是減函數(shù)，在(b, 1)上是增函數(shù). 所以 h(X)max= h(0)= b , h(x)min = h(b)= 0 .因?yàn)?b v 1,所以 h(x)max h(x)min > 1 不成立.e一 1綜上，b的取值范圍為(一g,).e16分20.解：設(shè)數(shù)列an的公差為d.因?yàn)?2a5- a3= 13, S4= 16,2(a1 + 4d) (a1 + 2d)

20、= 13, A ZB 所以 4(a1 + 6d=1；.)，解得 a1=1,d= 2,所以 an= 2n 1, Sn = n2.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n = 2k, k N* ,那么 T2k= (a2 a1) + (a4 a3) + + (a2k a2k-1) = 2k.+-4k代入不等式 Xnv an+1+ (- 1)n 1an 2n 1，得 X- 2kv 4k,從而 Xv以.4k4k+14k4k(3k 1)設(shè) f(k)=，貝U f(k+ 1) - f(k)= - - = 4(1.' 丿 2k'')、)2(k+1) 2k 2k(k +1)因?yàn)閗 N*，所以f(k+ 1)-f(

21、k) >0,所以f(k)是遞增的，所以f(k)min = 2,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n= 2k- 1, k N* ,那么 T2k-1= T2k ( 1)2ka2k= 2k- (4k 1) = 1 2k.代入不等式 XTnV an+1+ (- 1)n+ 1an 2n1，得X- (1- 2k) v (2k- 1)4k,從而X>- 4k.因?yàn)閗 N*，所以一4k的最大值為一4，所以X>- 4.綜上，入的取值范圍為一4v Xv 2.10分(3)假設(shè)存在正整數(shù) m, n(n> m> 2),使得S2, Sm- S2, Sn-Sm成等比數(shù)列，那么(Sm- S2)2= S (Sn Sm

22、),即(m2 -4)2 = 4(n2- m2),所以 4n2= (m2-2)2+ 12,即 4n2-(m2-2)2= 12 , 12 分即(2n m2+ 2)(2 n + m2-2) = 12.14分因?yàn)?n>m > 2,所以 n?4, m >3，所以 2n + m2 2> 15.因?yàn)?n - m2+ 2是整數(shù)，所以等式(2n-m2+ 2)(2n+ m2- 2) = 12不成立,16 分故不存在正整數(shù) m , n(n>m >2)，使得S>, Sm- S2, 3 Sm成等比數(shù)列.南京市2022屆高三學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2022.092

23、1.【選做題】 在A、B、C、D四小題中只能選做 2題，每題10分，共20 分.A. 選修41 :幾何證明選講 證明：連接BD,因?yàn)橹本€ AE與圓O相切，所以/ EAD=Z ABD.又因?yàn)?AB/ CD, 所以/ BAD=Z ADE, 所以DBA.-ED AD從而DD= BD，所以AD2= AB ED.10分B. 選修42 :矩陣與變換3a + 2a 2解：依題意得b 13a+ 2= 5, 所以“ dd3b 1 = 1,- 1 2 所以A=0 11 2因?yàn)?det(A) = 1 X ( 1) 0X 2 = 1,0 1“ 1 2所以A1 =.0 1解得3b 1 a= 1, b= 0.10分C. 選修44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：圓C的普通方程為(x m)2 + y2 = 4.sin 0) = . 2,直線l的極坐標(biāo)方程化為p("2cos 0+即2+今丫=1 2,化簡(jiǎn)得 x+ y 2 = 0.因?yàn)閳AC的圓心為 qm , 0),半徑為2,圓心C到直線l的距離d=| m-2 | ,V2所以d=»2,10解得 2-2 2vmV2+2 2.D.選修45 :不等式選講解：由柯西不等式得(x2 + y2 + z2)(12+ 52+ 12)> (1