分式的恒等變形

1、第二講分式的恒等變形分式的恒等變形是代數(shù)式恒等變形的一種。它以整式恒等變形為根底， 并結(jié)合分式自身的特點，因此更具有獨特的復(fù)雜性和技巧性， 在數(shù)學(xué)競賽中 常常出現(xiàn)有關(guān)這方面的命題。分式的恒等變形涉及到的主要內(nèi)容有：分式性質(zhì)、概念的靈活應(yīng)用，分 式的各種運算、化簡、求值及恒等證明等等。:根本知識1.分式的運算規(guī)律1加減法:空同分母c£_翌異分母be(2)乘法：a?cacbdbd(3)除法：acadbdbc(4)乘方：nn anc2.分式的根本性質(zhì)1aamJaa m (m 0)bbmbb m2分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不 變。4.倒數(shù)性質(zhì)1如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，

2、那么這兩個數(shù)的乘積為 1。2如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個數(shù)的同次幕仍互為倒數(shù)。3如果兩個正數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個正數(shù)的和不小于2二、有關(guān)分式的運算求值問題乘法公式是進行整式恒等變形的常用的重要的工具，我們通過下面的例題來說明在整式的恒等變形中，如何靈活巧妙的運用乘法公式。?例1.假設(shè)a、b、c均為非零常數(shù)，且滿足a b c a b c a b ccba又 x (a b)(b c)(c a)，且 x 0,求 x 的值 abc? 1 1 3,求 2X 3xy 2y 的值 x yx 2xy y? 例3.三個正數(shù)a、b、c滿足abc=1.aab abbc b 1c 的值ac c 1abcbc a2

3、ac b2 ab c2a(bc a2)2b(ac b2)20,例6.x+y+z=3a a 0,且x、y、z不全相等，求(X a)(y a) (y a)(z a) (z a)(x a)的值。(x a)2 (y a)2 (z a)2.2例b-2c2bca2 b22caa2 b22c2abn是自然數(shù),求(-2c2bc2a )2n 1a2 b2)2n 12ca2 ,2 2a b c )2n 12ab的值假設(shè)x a 1,求丄x3 x2 x 2的值2d 2十4，試求分式*的值例10.三個不全為零的數(shù)X、y、Z 滿足 4x 3y 6z 0 ,x 2y 7z 0。求手等等的值?例11.假設(shè)x、y、z為有理數(shù)，

4、且(y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z 2x)2 (z x 2y)2 (x y 2z)2求遲1)(zj 1)(xy 1)的值(x l)(y l)(z 1)? 例12.a、b、c互不相等，且滿足a+b+c=O,o2 .2 2求42z2c的值。2a bc 2b ac 2c aba b, a 0,b0, a b 0,x4aba b，x求x2a2a求(a b)(a c)(b c)的值。abc卩2,竺，竺都是整數(shù)， 且p 1,q1,求p q的值q p三、有關(guān)分式的化簡問題(a b)(b c)(c a)(a b)(b c)(c a)(x 丄)2 xx12x -2x - 3xX2X3XnXXi

5、(XiX2)X2 )( XiX2X3)(XiX2Xn 1)(X1X2Xn)a2 b2(a b c)2，并且 b2化簡ab(a c)2(b c)2mn2 m n20，化簡旦 aXmx n m?例21.化簡:(y x)(z x)(x 2y z)(x y 2z)(z y)(x y)(x y 2z)(z y 2x)(x z)(y z)(y z 2x)(x 2y z)a bcc ca三、有關(guān)分式的證明問題c 0且 匚 口 a bbe bb2c2正數(shù)、負數(shù)、還是零。，求證:a b c例24.有理數(shù)a、b、c滿足丄1 1a b ca b或 bc或 ca 。例25.假設(shè)n為自然數(shù)，且丄1 - 1一，求證:ab c a b c11 112n 1 a° 2n 12n 1bc2n 1 a 2n 12n 1bc?例26-證明：對于任意自然數(shù)n，分數(shù)器不可約a b c 0,且a、b、c都不等于0 ,求證：11 11 11a(bc)b(ac)c(;b)3 0 o?例28.證明:1 1a(a d) (a d)(a 2d)1a (n 2)da (n 1)dn 1aa (n 1)d?例29.設(shè)n為正整數(shù)，求證:1 1133 51 1。(2n 1)(2 n 1)2x y z 0,x y 0, y z 0, z x 0,Lbz丄,cx z