解析幾何中的定值問題

1、解析幾何中的定值問題1、（2014安徽高考）如圖，已知兩條拋物線，過點(diǎn)的三條直線、和. 與和分別交于兩點(diǎn),與和分別交于，與和分別交于. 記的面積分別為與，求證的值為定值.證明：設(shè)直線的方程分別為.把直線與拋物線聯(lián)立求解得：，.由三角形三頂點(diǎn)坐標(biāo)面積公式得：，所以為定值.注：（1）設(shè)ABC三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則;(2) 原解答包含一個(gè)重要結(jié)論，三邊對應(yīng)平行，進(jìn)而，2、（2007重慶）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明為定值，并求此定值. 證：引入橢圓的極坐標(biāo)方程，.其中e是橢圓的離心率，p是相應(yīng)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，是極徑與極軸的夾角.設(shè)，則, 為定值.例1、設(shè)是過橢圓右焦點(diǎn)的一

2、條弦，是橢圓上異于的任一點(diǎn)，直線分別交橢圓的右準(zhǔn)線于兩點(diǎn). 求證：兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，并求該定值.分析：此題若按常規(guī)方法設(shè)立坐標(biāo)求解，將會(huì)異常困難，不妨從平面幾何的角度考慮. 角平分線的性質(zhì)：如圖1，ABC中，若AM平分ABC，等價(jià)于, 同理若AN平分BAC的外角BAD，等價(jià)于 .圖1解：如圖2，延長交于，延長交于C，連FM，下證FM平分PFA的外角QFA，設(shè)A´, P´為A，P在上的射影，則，所以FM為PFA的外角平分線，即FM平分QFA，同理FN平分PFB的外角（即FN平分QFB），從而MFN=90º. 設(shè)交軸于K，則，從而為定值.圖22、A為橢圓上一個(gè)定

3、點(diǎn). 過A任作兩條互相垂直的弦AB，AC. 證明直線BC通過一個(gè)定點(diǎn).證：我們平移坐標(biāo)軸，使得A為原點(diǎn). 設(shè)過A的已知曲線方程為. (1)過原點(diǎn)A，所以沒有常數(shù)項(xiàng).設(shè)直線BC的方程為 .則過B，C兩點(diǎn)的直線AB，AC的方程是(2)的左邊是的二次齊次式，所以它表示兩條過原點(diǎn)A的直線. 而B，C的坐標(biāo)均適合(2)，所以(2)表示AB，AC). 因?yàn)锳B，AC互相垂直，所以(2)作為的方程，兩根之積為1，即，整理為 .比較(2)與(3)，得直線BC經(jīng)過定點(diǎn).3、如圖, 已知是圓O: 與x軸的兩個(gè)交點(diǎn), P為直線上的動(dòng)點(diǎn), 與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為. 證明: 直線MN過定點(diǎn), 并求出定點(diǎn).證: 設(shè).

4、則.設(shè).代入得.由韋達(dá)定理得代入(1)式并整理得 .當(dāng)或m=4(舍).當(dāng)時(shí), 直線MN即為AB.所以, 直線MN過點(diǎn)(1,0).另證: 設(shè)直線MN與軸的交點(diǎn)為K(m, 0), 因?yàn)镻的冪（關(guān)于O）K的冪（關(guān)于O）,.4、： 已知分別為橢圓的左右頂點(diǎn), P為橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn), 連接分別交橢圓于M , N兩點(diǎn), 求證: 直線MN恒過橢圓的右焦點(diǎn).證: 設(shè)MN所在直線為, 由.同理有,由,聯(lián)立直線MN與橢圓, 得,由韋達(dá)定理有, ,代入(3)得, . 所以直線MN恒過橢圓的右焦點(diǎn).例5：已知F為橢圓的右焦點(diǎn), 過F作兩條互相垂直的弦AB , CD , 設(shè)M, N分別為AB , CD的中點(diǎn), 求證: 直線MN恒過定點(diǎn), 求出定點(diǎn)坐標(biāo).證明: 設(shè)AB所在直線方程為: , 聯(lián)立求解得 當(dāng)斜率不存在時(shí), 直線MN即為x軸.令y=0, .直線MN恒過定點(diǎn).注: 此題不難, 難在最后想到令y=0, 因?yàn)楫?dāng)斜率不存在時(shí), 直線MN即為x軸.例6. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上, 坐標(biāo)原點(diǎn)O為的重心. 證明: 的面積為定值. 證法(一): 令. 則. 由點(diǎn)C在橢圓上, 代入得.另一方面 (定值).證法