第四章插值與擬合

1、插值法n插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時期定制歷法時就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。n插值理論卻是在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來的，Newton插值公式理論是當(dāng)時的重要成果。n由于計(jì)算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實(shí)踐上都得到進(jìn)一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。4.1 引言引言 問題的提出問題的提出函數(shù)解析式未知函數(shù)解析式未知,通過實(shí)驗(yàn)觀測得到的一組數(shù)據(jù)通過實(shí)驗(yàn)觀測得到的一組數(shù)據(jù), 即在即在某個區(qū)間某個區(qū)間a, b上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值 yi= f(xi)或者給出函數(shù)表或者給出函數(shù)表y=f(x)y=p

2、(x)xx0 x1x2xnyy0y1y2yn插值法的基本原理插值法的基本原理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 a, b 上上, , 是是 a, b 上取定的上取定的n+1個互異節(jié)點(diǎn)個互異節(jié)點(diǎn), ,且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值 為已知為已知 , ,即即 若存在一個若存在一個f(x)的近似函數(shù)的近似函數(shù) , ,滿足滿足則稱則稱 為為f( (x) )的一個的一個插值函數(shù)插值函數(shù), f( (x) )為為被插函數(shù)被插函數(shù), 點(diǎn)點(diǎn)xi為為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn), 稱稱( (4.1)4.1)式為式為插值條件插值條件, 而誤差函數(shù)而誤差函數(shù)R(x)= 稱為稱為插值余項(xiàng)插值余項(xiàng), 區(qū)間區(qū)間

3、 a, b 稱為稱為插值插值區(qū)間區(qū)間, 插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插內(nèi)插, 否則稱否則稱外插外插 nxxx,10)(,),(),(10nxfxfxf)(iixfy )(x), 2 , 1()()(nixfxii)(x( (4.1)4.1)()(xxf插值函數(shù)插值函數(shù) 在在n+1 個互異插值節(jié)點(diǎn)個互異插值節(jié)點(diǎn) ( (i=0,1,n )處與處與 相等相等, ,在其它點(diǎn)在其它點(diǎn)x就用就用 的值作為的值作為f( (x) ) 的近似值。這一過程稱為的近似值。這一過程稱為插值插值，點(diǎn)，點(diǎn)x稱為插值點(diǎn)。稱為插值點(diǎn)。換句話說換句話說, , 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表插值就是根據(jù)被

4、插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用所要點(diǎn)的函數(shù)值。用 的值作為的值作為f( (x) )的近似值的近似值, ,不僅不僅希希望望 能較好地逼近能較好地逼近 f( (x) ), ,而且還希望它計(jì)算簡單而且還希望它計(jì)算簡單 。由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個次數(shù)不超過所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個次數(shù)不超過n n次的次的多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。 )(xix)(ixf)(x)(x)(x0111)(axaxaxaxPnnnn0111)(axaxaxaxPnnnn滿足滿足 ), 2 , 1 , 0()

5、()(nixfxPii則稱則稱P(x)P(x)為為f(x)f(x)的的n n次插值多項(xiàng)式。這種插值法通常稱次插值多項(xiàng)式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示 y y=P(x) y=f(x) y1 yn x0 x1 xn x 定理定理1 n1 n次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的 證明證明: : 設(shè)設(shè)n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 0111)(axaxaxaxPnnnn是函數(shù)是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 a, ba, b上的上的n+1n+1個互異的節(jié)點(diǎn)個互異的節(jié)點(diǎn) ( (i=0,1,2,n )i=0,1,2,n )上的插值多項(xiàng)式上的插

6、值多項(xiàng)式, ,則求插值多項(xiàng)式則求插值多項(xiàng)式P(x)P(x)的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù)的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù) ( (i=0,1,2,n )i=0,1,2,n )。 )(xfy ixia由插值條件由插值條件: (: (i=0,1,2,n),i=0,1,2,n),可得可得 )()(iixfxp)()()(01111011111100011010nnnnnnnnnnnnnnnnxfaxaxaxaxfaxaxaxaxfaxaxaxa 這是一個關(guān)于待定參數(shù)這是一個關(guān)于待定參數(shù) 的的n+1階線性方階線性方程組程組, ,其系數(shù)矩陣行列式為其系數(shù)矩陣行列式為 naaa,10niijjinnnnnnxxxxxxx

7、xxxxV110212110200)(111為為VandermondeVandermonde（范德蒙）行列式，因范德蒙）行列式，因x xi ixxj j（當(dāng)當(dāng)ijij），），故故V0V0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆根據(jù)解線性方程組的克萊姆（GramerGramer）法則，方程組的解法則，方程組的解 存在惟一，從而存在惟一，從而P(x)P(x)被惟一確定。被惟一確定。 naaa,10惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示插值多項(xiàng)式形式來表示插值多項(xiàng)式, ,只要滿足插值條件只要滿足插值條件( (4.1)4.1)其結(jié)其結(jié)果都是相互恒等的。

8、果都是相互恒等的。 4.2 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值插值 為了構(gòu)造滿足插值條件為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,n )的便于使用的插值多項(xiàng)式的便于使用的插值多項(xiàng)式 L(x),先考察幾種簡單情形先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。（然后再推廣到一般形式。（ 線性插值與拋物插值）線性插值與拋物插值）（1）線性插值）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個互異的點(diǎn)的值，在兩個互異的點(diǎn)的值，現(xiàn)要求用線性函數(shù)現(xiàn)要求用線性函數(shù) 近似地代替近似地代替 f(x)。選選擇參數(shù)擇參數(shù)a和和b, 使使 。稱這樣的

9、線性函。稱這樣的線性函數(shù)數(shù)L1(x) 為為 f(x) 的線性插值函數(shù)的線性插值函數(shù) 。( )( )iiL xf x0 x1x)(),(1100 xfyxfy1( )L xax b1( )( )(0,1)iiL xf xi線性插值的幾何意義線性插值的幾何意義: :用用通過點(diǎn)通過點(diǎn) 和和 的直線近似地代替曲線的直線近似地代替曲線 y=f(x)y=f(x)由解析幾何知道由解析幾何知道, ,這條直線用點(diǎn)斜式表示為這條直線用點(diǎn)斜式表示為 )(,(00 xfxA)(,(11xfxB1010010( )()yyL xyxxxx011010110( )xxxxL xyyxxxx01011010)(,)(xxx

10、xxlxxxxxl0)(, 1)(1000 xlxl1)(,0)(1101xlxl1)()(10 xlxl為了便于推廣，記為了便于推廣，記 這是一次函這是一次函數(shù)數(shù), ,且有性質(zhì)且有性質(zhì) y=f(x) L1(x)=ax+b A(x.0,f(x.0) B(x.1,f(x.1) )(0)(1)(kikixlkiik 與與 稱為線性插值基函數(shù)。且有稱為線性插值基函數(shù)。且有 )(0 xl)(1xl1 , 0,)(10kxxxxxlkjjjkjk于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合 10011( )( )( )L xl x yl x y例例4.1 已知

11、已知 求求 10100 11121 115y解解: 這里這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用線性插值利用線性插值 1121100( )1011100121121100 xxL x1115(115)10.714yL（2）拋物插值）拋物插值 拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知設(shè)已知f(x)在三個互異點(diǎn)在三個互異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式使?jié)M足二次插值條件：使?jié)M足二次插值條件：這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過這就是二次插

12、值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個點(diǎn)個點(diǎn) 的拋物線的拋物線 近似代替曲線近似代替曲線 , 如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。 22210( )Lxa xa xa2( )(0,1,2)iiL xyi),(),(),(221100yxyxyx2( )yL x)(xfy y y=L2(x) y0 y1 y1 y=f(x) O x0 x1 x2 x L L2 2(x)(x)的參數(shù)的參數(shù)直接由插值條件決定，直接由插值條件決定，即即 滿足下面滿足下面的代數(shù)方程組：的代數(shù)方程組： 210,aaa210,aaa222221012121100202010yxaxaayxaxaayx

13、axaa222211200111xxxxxx該三元一該三元一次方程組次方程組的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 的行列式是范德蒙行列式，當(dāng)?shù)男辛惺绞欠兜旅尚辛惺?，?dāng) 時，時，方程組的解唯一。方程組的解唯一。 210 xxx為了與下一節(jié)的為了與下一節(jié)的LagrangeLagrange插值公式比較插值公式比較, ,仿線性插值仿線性插值, ,用用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次插值基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次插值問題：問題： 求二次式求二次式 , ,使其滿足條件：使其滿足條件： )(0 xl0)(,0)(, 1)(201000 xlxlxl這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知這個問題

14、容易求解。由上式的后兩個條件知: : 是是 的兩個零點(diǎn)。于是的兩個零點(diǎn)。于是 21,xx)(0 xl)()(210 xxxxcxl再由另一條件再由另一條件 確定系數(shù)確定系數(shù) 1)(00 xl)(12010 xxxxc)()()(2010210 xxxxxxxxxl從而導(dǎo)出從而導(dǎo)出 類似地可以構(gòu)造出滿足條件：類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式 0)(, 0)(, 1)(210111xlxlxl)()()(2101201xxxxxxxxxl及滿足條件：及滿足條件： 的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式 0)(,0)(, 1)(120222xlxlxl)()()(1202102xxxxxxxxx

15、l這樣構(gòu)造出來的這樣構(gòu)造出來的 稱為拋物插值的基函數(shù)稱為拋物插值的基函數(shù) )(),(),(210 xlxlxl取已知數(shù)據(jù)取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù)作為線性組合系數(shù), ,將基函數(shù)將基函數(shù) 線性組合可得線性組合可得 210,yyy)(),(),(210 xlxlxl0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxxxxxxxxx容易看出容易看出, ,P(x)P(x)滿足條件滿足條件 2()(0,1,2)iiLxyi4.2.1 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 兩個插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)

16、式兩個插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式, ,而三個插值點(diǎn)可而三個插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到n+1n+1個時個時, ,也就是通也就是通過過n+1n+1個不同的已知點(diǎn)個不同的已知點(diǎn) , ,來構(gòu)造一個次數(shù)來構(gòu)造一個次數(shù)為為n n的代數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)多項(xiàng)式L Ln n(x)(x)。與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似, ,先構(gòu)造一個特殊先構(gòu)造一個特殊n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 的插值問題的插值問題, ,使其在各節(jié)點(diǎn)使其在各節(jié)點(diǎn) 上滿足上滿足 ), 1 , 0)(,(niyxii)(xliix0)(, 0)(, 1)(, 0)(, 0)(110nkkkk

17、kkkkxlxlxlxlxl)(0)(1)(kikixlkiik即即 由條件由條件 ( ) ( )知知, , 都是都是n n次次 的零點(diǎn)的零點(diǎn), ,故可設(shè)故可設(shè) 0)(ikxlki nkkxxxxx,1110)(xlk)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 設(shè)設(shè).為為待待定定常常數(shù)數(shù)其其中中 A可可得得由由1)( iixl)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 0110110()()()()( )()()()()()(0,1,)(*)()iiniiiiiiinnjjijjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxx所以稱之為稱之為Lagrange插值基函數(shù)插值

18、基函數(shù).利用拉格朗日基函數(shù)利用拉格朗日基函數(shù),可以構(gòu)造多項(xiàng)式可以構(gòu)造多項(xiàng)式0 01 10( )( )( )( )( ) (4.2)nnn ni iiLxy lxy lxy lxy lx( ),(),.( )Lagrange.nniinLxnLxyLx為次數(shù)不超過 的多項(xiàng)式 且滿足插值條件故其為拉格朗日問題的解 稱為插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式為：插值多項(xiàng)式為：線性插值多項(xiàng)式：線性插值多項(xiàng)式：n=1010110101xxxxyxxxxyxL)(),(,)(101iyxLii滿滿足足y=f (x)xyx0 x1y=L1(x).),(),()(的的直直線線為為過過點(diǎn)點(diǎn)11001yxyxxLy 幾何意義：幾何

19、意義：拋物插值多項(xiàng)式：拋物插值多項(xiàng)式：n=2插值多項(xiàng)式為：插值多項(xiàng)式為：)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL),(,)(2102iyxLii滿滿足足xyy=L2 (x)x0y=f(x)x1x2.),(),(),()(的的一一條條拋拋物物線線和和為為過過點(diǎn)點(diǎn)2211002yxyxyxxLy 幾何意義：幾何意義：101 ( )()()() (4.3)nnxxxxxxx引入記號)()()()( 1101nkkkkkkknxxxxxxxxx 則則得得101( ) ( ) (4.4)()()nnnkkknkxL

20、xyxxx于是例例4.2處處的的近近似似值值。在在公公式式求求，利利用用插插值值，的的值值分分別別為為：，在在設(shè)設(shè)2007408180778801086070809048370300250150100. . . . ,. ,. .)(xxexexf解解： )()()()()()()()()()()()()()()()()(23130321033212023102312101320130201032103xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxL代代入入分分別別將將 .,.,.,.,. 3002501501002003210 xx

21、xxx81873002003.).( L可可得得. . .52001081873080相相比比，誤誤差差與與準(zhǔn)準(zhǔn)確確結(jié)結(jié)果果e定理定理4.14.1nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,2 ,1 ,0)(),(jixxji若插值節(jié)點(diǎn)則滿足插值條件則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式存在且唯一存在且唯一.反證：若不唯一，則除了反證：若不唯一，則除了Pn(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 Ln(x) 滿足滿足 Ln(xi) = yi ?？疾炜疾?則則 Qn 的階數(shù)的階數(shù), )()()(xLxPxQnnn n而而 Qn 有有 個不同的根個不同的根n + 1x0 xn注

22、：注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為為 n ，則插值多項(xiàng)式，則插值多項(xiàng)式不唯一不唯一。例如例如 也是一個插值多項(xiàng)也是一個插值多項(xiàng)式，其中式，其中 可以是任意多項(xiàng)式?？梢允侨我舛囗?xiàng)式。 niinxxxpxLxP0)()()()()(xp例例4.3 4.3 已知已知y=f(x)y=f(x)的函數(shù)表的函數(shù)表 求線性插值多項(xiàng)式求線性插值多項(xiàng)式, , 并計(jì)算并計(jì)算x=1.5 x=1.5 的值的值X 1 3 y 1 225.1)5.1()5.1()1(2121311313)(10100101pfxxxyxxxxyxxxxxp解解: : 由線性插值多項(xiàng)式公式得由線性插值多項(xiàng)式公式得例例4.4 4

23、.4 已知已知x=1, 4, 9 x=1, 4, 9 的平方根值的平方根值, , 用拋物插值用拋物插值公式公式, , 求求 (x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2L2(7) =x0=1, x1=4, x2=9y0=1, y1=2, y2=3 (14)(19)(74)(79)* 1 +(41)(49)(71)(79)* 2+(91)(94)(71)(74)* 3= 2.7L2(x) =7解解:例例4.5 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點(diǎn)插值多項(xiàng)式的三點(diǎn)插值多項(xiàng)式1

24、3) 12)(02 () 1)(0(2) 21)(01 () 2)(0(1) 20)(10 () 2)(1()(xxxxxxxxp解解:由由Lagrange 插值公式插值公式（給定的三個點(diǎn)在一條直線上）（給定的三個點(diǎn)在一條直線上）212021012101200201021)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP例例4.6 已知已知f (x)的觀測數(shù)據(jù)的觀測數(shù)據(jù) x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 構(gòu)造構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式解解 四個點(diǎn)可構(gòu)造三次四個點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: :基函數(shù)為基函數(shù)為

25、 1478781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230 xxxxxxxlxxxxxxxl38231)41)(21)(01 ()4)(2)(0()(231xxxxxxxl2324541)42)(12)(02()4)(1)(0()(xxxxxxxl12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(233Lagrange插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為 )()(303xlyxLkkk)(3)(23)(9)(3210 xlxlxlxl12144541123xxx為便于上機(jī)計(jì)算為便于上機(jī)計(jì)算, ,常將拉格朗日插值多項(xiàng)式常將拉格朗日插值多項(xiàng)式( (4.2)改寫成改寫成 nknkiiiki

26、knxxxxyxL00)(Lagrange插值法的流程圖插值法的流程圖x0 x1 xixi+1 xn-1 xny=f(x)y=Ln(x)ab在插值區(qū)間在插值區(qū)間 a, b 上用上用插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式Ln(x)近似代替近似代替f(x), 除了除了在插值節(jié)點(diǎn)在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。差的。若記若記 R (x) = f(x) - Ln(x) 則則 R(x) 就是用就是用 Ln(x) 近似代替近似代替 f(x) 時的截?cái)嗾`差時的截?cái)嗾`差, 或稱或稱插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來估計(jì)它的大小。插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來估計(jì)它的大小。

27、4.2.2 插值多項(xiàng)式的誤差插值多項(xiàng)式的誤差 定理定理4.2 設(shè)設(shè)f(x)在在 a, b 有有n+1階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)， x0, x1, xn 為為 a, b 上上n+1個互異的節(jié)點(diǎn)個互異的節(jié)點(diǎn), Ln(x)為滿足為滿足 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, , n) 的的n 次插值多項(xiàng)式，那么對于任何次插值多項(xiàng)式，那么對于任何x a, b 有有 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)其中其中a b 且依賴于且依賴于x1010( )()()()(),nnniixx xx xx xx xa b(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) /* Remainder

28、 */設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn))1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截?cái)嗾`差考察截?cái)嗾`差)()()(xLxfxRnn ,baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿足條件滿足條件 , Rolles Theorem: 若若 充分光滑，充分光滑， ，則，則存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10 xx ),(10 xx 0)( 推廣：推廣：若若0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( 0)()(0 nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()( nRn(x) 至少有至少有 個根個根n+1 niinxxxKxR0)()()

29、(任意固定任意固定 x xi (i = 0, , n), 考察考察 niixtxKtRnt0)()()()( (t)有有 n+2 個不同的根個不同的根 x0 xn x),(,0)()1(baxxn !)1()()()1(nxKRxnn 注意這里是對注意這里是對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( nfxKxn niixnnxxnfxR0)1()(!)1()()( 注：注： 若記若記 ，則插值余項(xiàng)為，則插值余項(xiàng)為 當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù)為任一個次數(shù) n 的的多項(xiàng)式多項(xiàng)式時，時， , 可可知知 ，即插值多項(xiàng)式對于次數(shù)，即插值多項(xiàng)式對于次數(shù)

30、 n 的的多項(xiàng)式是多項(xiàng)式是精精確確的。的。(若是代數(shù)插值若是代數(shù)插值,其插值函數(shù)就是其插值函數(shù)就是f(x) )0)()1( xfn0)( xRn定義定義：00min,max.iii ni nxx 稱插值節(jié)點(diǎn)所界定的范圍為基本插值區(qū)間當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)x位于基本插值區(qū)間內(nèi)時位于基本插值區(qū)間內(nèi)時,插值過程稱為插值過程稱為內(nèi)插內(nèi)插,否則稱為否則稱為外推外推.1)1()( nnMxf)()!(xnMnn111 通常不能確定通常不能確定 , 而是估計(jì)而是估計(jì) , x (a,b) 于是將于是將 作為誤差估計(jì)上限。作為誤差估計(jì)上限。 niinxxx01)()( . )()!()()()(xnfxRnnn111 外推比

31、內(nèi)插效果差。外推比內(nèi)插效果差。 對于線性插值，其誤差為對于線性插值，其誤差為對于拋物插值（二次插值），其誤差為對于拋物插值（二次插值），其誤差為011( )( )( )( )()(),2R xf xP xfx xx xa bbaxxxxxxfxPxfxR,)( )()(61)()()(210 (1)11n 1max |( )|, |( )|( )|, (1)!nna x bnnfxMMR xxn 若則例例4.7 已知已知 =100, =121, 用線性插值估計(jì)用線性插值估計(jì) 在在x=115時的時的截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差xxf)(0 x1x解解: 由插值余項(xiàng)公式知由插值余項(xiàng)公式知 )()(21)(1x

32、fxR 2341)( xxf)(81)(10231xxxxxR因?yàn)橐驗(yàn)?)121115)(100115(81)115(231R23121,100max)121115)(100115(81)121115)(100115(1081301125. 010615813例例4.8 已知已知x0=100, x1=121, x2=144,當(dāng)用拋物插值求當(dāng)用拋物插值求 在在x=115時的近似值，估計(jì)其的截?cái)嗾`差時的近似值，估計(jì)其的截?cái)嗾`差 ( )f xx解解0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()115(115) 10.772756x x x xx x

33、 x xx x x xp xyyyxx xxxx xxxx xxp=0017. 010)144115)(121115)(100115(161)115()144)(121)(100(161)()()()(61)(52252210) 3(2RxxxxxRxxxxxxfxR2583)( xxf例例4.9 設(shè)設(shè)f(x)=x4, 用余項(xiàng)定理寫出節(jié)點(diǎn)用余項(xiàng)定理寫出節(jié)點(diǎn) -1, 0, 1, 2的三次插值多項(xiàng)式的三次插值多項(xiàng)式 解解: 根據(jù)余項(xiàng)定理根據(jù)余項(xiàng)定理(4)0123432( )( )( )()()()()4!( )( 1 )( 1 )( 2)( ) 22ff x pxx x x x x x x xx

34、px xxxxpxx xx 例4.10 已知 sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，分別用一、二次Lagrange插值計(jì)算 sin0.3367的值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。（1）解3403203403203203403203401.sin.sin.)( xxxL3403203403203367032034032034033670336701.sin.sin.).( L3303650. 得).)(.(sin)(34032021 xxxR 510920 .)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 由于是|.|.|sin|

35、 ).(|34033670320336702336701 R3400000918920003300167023334870. （2）3603403603403403603403601.sin.sin.)( xxxL3603403603403367034036034036033670336701.sin.sin.).( L3303870. 得).)(.(sin)(36034021 xxxR )()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111 由于是|.|.|sin| ).(|36033670340336702336701 R700001354310023300033023522740

36、. 700001354310023300033023522740. 510351 .由此可知 稍好于 ).(336701L).(336701L（3）3603403603203603403203403603403203403603203203603203403203603402.sin).)(.().)(.(.sin).)(.().)(.(.sin).)(.().)(.()( xxxxxxxL3303740336702.).( L因?yàn)?.)(.)(.(!)()()(360340320332 xxxfxR )(xL1)(xL1則|.|.|.|!|cos| ).(|3603403203336702

37、xxxR 0233000330016703320.!.cos 7101780 .oxyxsin)(xL2例例4.11：已知：已知233sin,214sin,216sin 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 解：解：0 x1x2x185500 n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610 xx利用利用21646214641/)( xxxL這里這里),(,sin)(,sin)()(462 fxxf而而)(!)()(,sin)(462222121 xxfxR00762.

38、0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.01010.01013,421 xx利用利用00660.018500538.01 R內(nèi)插內(nèi)插 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.005960.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的端點(diǎn)，所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。插值效果較好。sin 50 = 0.76008, )(1851 Ln = 22321214363463464363646342)()()()()()()( xxxxxxxL)185(50sin

39、20 L0.76543232134632 cos;)()(!cos)(xxxxR00077.018500044.02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實(shí)際誤差次插值的實(shí)際誤差 0.000610.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對不是次數(shù)越高但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿就越好，嘿嘿4.3 均差與均差與牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式 拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)對稱，使用方便。，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個增加一個節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)時，所有的基函數(shù)必須全部時，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)

40、算重新計(jì)算，不具，不具備備承襲性承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有去構(gòu)造一種具有承襲性承襲性的插值多項(xiàng)式來克服這個的插值多項(xiàng)式來克服這個缺點(diǎn)缺點(diǎn)，也就是說，每增加一個節(jié)點(diǎn)時，只需增加，也就是說，每增加一個節(jié)點(diǎn)時，只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可。這就是相應(yīng)的一項(xiàng)即可。這就是牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式。 由線性代數(shù)知由線性代數(shù)知,任何一個不高于任何一個不高于n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式, 都可以都可以表示成函數(shù)表示成函數(shù))()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx的線性組合的線性組合, 也就是說也就是說, 可以把滿足插值條件可以把滿足

41、插值條件p(xi)=yi (i=0,1,n)的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式, 寫成如下形式寫成如下形式)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa其中其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)為待定系數(shù),這種形式的插值多項(xiàng)這種形式的插值多項(xiàng)式稱為式稱為Newton插值多項(xiàng)式。我們把它記為插值多項(xiàng)式。我們把它記為Nn(x)即即)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN（4.5） 可見，牛頓插值多項(xiàng)式可見，牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)是是插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式Pn(x)的另一種表示形式的另一種表示形式, 與與Lagrange多項(xiàng)式多項(xiàng)式相比

42、它不僅克相比它不僅克服了服了“增加一個節(jié)點(diǎn)時整個計(jì)算工作重新開始增加一個節(jié)點(diǎn)時整個計(jì)算工作重新開始”的缺的缺點(diǎn)點(diǎn), 且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù)且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù), 同時在同時在Newton插值多插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系方面有密切的關(guān)系.它滿足它滿足其中其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)，形如（為待定系數(shù)，形如（4.5）的）的插值多項(xiàng)式稱為插值多項(xiàng)式稱為牛頓牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式。 )()()()(1101nnnnxxxxxxaxNxN1 1、差商的定義、差商的定義稱000 x

43、xxfxfxxfkkk )()(,為 關(guān)于點(diǎn) 的一階差商一階差商。)(xfkxx ,0稱110010 xxxxfxxfxxxfkkk ,為 關(guān)于點(diǎn) 的二階差商二階差商。)(xfkxxx,104.3.1 差商及其性質(zhì)差商及其性質(zhì)一般，稱111021010 kkkkkkxxxxxfxxxxfxxxf,為 于點(diǎn) 的 k 階差商階差商。)(xfkxxx,102 2、差商的計(jì)算、差商的計(jì)算010110 xxxfxfxxf )()(,232332xxxfxfxxf )()(,021021210 xxxxfxxfxxxf ,243243432xxxxfxxfxxxf ,143214324321xxxxxfx

44、xxfxxxxf ,043210432143210 xxxxxxfxxxxfxxxxxf ,xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2 ,xi+200283275125621640208 1923827 493527125 9156125216 503419 10251949 14364991 105510 1261014 例例4.12 求求 f(xi)= x3在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) x=0, 2, 3, 5, 6上的各階差商值上的各階差商值解解: 計(jì)算得如下表計(jì)算得如下表nknkkkkkkkknkiiikknkkknxxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxf011

45、100010)()()()()()()()(,其中這個性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用這個性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用Lagrange插值插值多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系數(shù)來得到）多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系數(shù)來得到）性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)函數(shù) f(x) 的的 n 階差商階差商 f x0, x1 , , xn 可由可由 函數(shù)值函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), , f (xn ) 的線性組的線性組 合表示合表示, 且且差商的性質(zhì)差商的性質(zhì)mmjjmjjjjjjjmmmjmjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010111010 )()()()(, )()()()(, ,

46、,1和即命題成立時設(shè)1102001, mmmmmmxxxxfxxxfxxfm知階差商定義和上面兩式由. , ,1 . :011100010110命題成立時當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法證明xxxfxxxfxxxfxfxxfk121011120201211011)()()( 1)()()( 1)()()(11)( mmmmmmmmmmmmmjmmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxf. . )()()()(0110歸納法完成時命題成立于是，當(dāng)mkxxxxxxxxxfmjmjjjjjjjfx0 , x1=fx1 , x0f(x1)- f(x0)x1 x0f(x0)-

47、 f(x1)x0 x1=性質(zhì)性質(zhì)2 2 差商具有對稱性差商具有對稱性, ,即在即在k k階差商中階差商中 任意交換兩個節(jié)點(diǎn)任意交換兩個節(jié)點(diǎn) 和和 的次序的次序, ,其值不變。其值不變。 例如例如kxxxf,10ixjx0110,xxfxxf120021210,xxxfxxxfxxxf性質(zhì)性質(zhì)3 k階差商階差商 和和k階導(dǎo)數(shù)之間有下階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系列關(guān)系 這個性質(zhì)可直接用羅爾（這個性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明（或以定理證明（或以下方法即余項(xiàng)方法）下方法即余項(xiàng)方法）kxxxf,10)max,min(!)(,00)(10iniinikkxxkfxxxf性質(zhì)性質(zhì)4 若若fx, x0,

48、x1 , , xk 是是 x 的的 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 則則 fx, x0, x1 , xk , xk+1是是 x 的的 m-1 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式證：由差商定義證：由差商定義 右端分子為右端分子為 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 且當(dāng)且當(dāng) x = xk+1 時時, 分子為分子為0 ,故分子含有因子故分子含有因子 xk+1 x，與分母相消后，右端與分母相消后，右端為為m-1 次多項(xiàng)式。次多項(xiàng)式。xxxxxxfxxxxfxxxxxfkkkkkk110110110,性質(zhì)性質(zhì)5 若若 f(x)是是n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 則則f x, x0, x1 , , xn 恒為恒為0 證：證： f (x)是是n次多項(xiàng)式

49、，則次多項(xiàng)式，則f x, x0 是是 n-1次多次多 項(xiàng)式項(xiàng)式, f x, x0, x1 是是 n-2 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 依次遞推依次遞推 ， f x, x0, x1 , , xn-1 是零次多項(xiàng)式，所以是零次多項(xiàng)式，所以 fx,x0,x1 ,xn 04.3.2 牛頓牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 )()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN 的系數(shù)的系數(shù) 可根據(jù)插值條件推出可根據(jù)插值條件推出, 即由即由 有有 naaa,10nixfxNiin, 1 , 0)()()()(000 xfaxNn)()()(101101xfxxaaxNn)()()(

50、)(21202201102xfxxxxaxxaaxNn )()()()()(1100110nnnnnnnnxfxxxxxxaxxaaxN這是關(guān)于這是關(guān)于 的下三角方程組的下三角方程組, ,可以求得可以求得 naaa,10)(00 xfa 10010101011,)()()()()(xxfxxxfxfxxaxfa2101210201202021022,)(,)()()()(xxxfxxxxfxxfxxxxxxaxfxfa一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明 ), 1 , 0(,10nkxxxfakk所以所以n n次牛頓次牛頓( (Newton)Newton)插值公式為插值公式為 )(

51、)(,)(,)()(110100100nnnxxxxxxxxxfxxxxfxfxN其余項(xiàng)其余項(xiàng) 0101( ),()()()nnnRxf xxxxxxxxxx為牛頓插值多項(xiàng)式的誤差。由插值多項(xiàng)式的存在為牛頓插值多項(xiàng)式的誤差。由插值多項(xiàng)式的存在惟一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日惟一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式P(x)與牛頓插值多項(xiàng)式與牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)實(shí)際上是實(shí)際上是同一個多項(xiàng)式，僅是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)同一個多項(xiàng)式，僅是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式而已，因此得到牛頓插值多項(xiàng)式的誤差與拉形式而已，因此得到牛頓插值多項(xiàng)式的誤差與拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤

52、差也完全相等。故有格朗日插值多項(xiàng)式的誤差也完全相等。故有(1)0100( )( ),()()(1)!nnnnniiiifR xf x xx xxxxxn)!1()(,) 1(10nfxxxxfnn0101( ),()()()nnnR xf xxxxxxxxxx)!()(,.,)(10nfxxxfnn由由（性質(zhì)（性質(zhì)3）建起了差商和）建起了差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)代替牛頓插值多項(xiàng)式中的差商，有導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)代替牛頓插值多項(xiàng)式中的差商，有勒公式時，上式就是常用的泰都趨于當(dāng)010110)(102010,)()(!)()(! 2)()()()(xxxxxxxxxxnfxxxxfxxfxfxpnnnn

53、差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系也可用羅爾定理證出，余項(xiàng)差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系也可用羅爾定理證出，余項(xiàng)R(x) =f(x)- P(x)R(xi) =f(xi)- P(xi)=0 i=0,1, ,n Rn(n)(x) =f (n)(x)- Pn(n)(x)=f (n)(x)- f(x0)+(x-x0) fx0, x1+(x-x0)(x-x1) fx0, x1 , x2+(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)fx0,x1,xn(n)=f (n)(x)- n! fx0,x1,xnRn(xi)=0 (i=0,1,.,n)Rn( i)=0 (i=0,1,.,n-1)Rn(n)( )=0 (x0,x1,xn)Rn(n)( )

54、=0=f (n)( )- n! fx0,x1,xn)!()(,.,)(10nfxxxfnn 即即R(x)R(x)在在xx0 0, x, xn n 有有n+1n+1個零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理個零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理R R(n)(n)(x)(x)在在xx0 0, x, xn n 有有1 1個零點(diǎn)，設(shè)為個零點(diǎn)，設(shè)為 ，即有即有 Rn(n)( )=0)!()(,.,)(10nfxxxfnn 增加新節(jié)點(diǎn)增加新節(jié)點(diǎn)x，并且并且f(x)為為(n+1)階可導(dǎo)時，有階可導(dǎo)時，有(x0,x1,xn)!1()(,.,)1(10 nfxxxxfnn (x0,x1,xn,x),.,).()()(1010 xxxxfxxxxxxx

55、Rnnn ).()()!1()(10)1(nnxxxxxxnf (1)0( )()(1)!nniifxxn|f(x)(n+1)| Mn+110|( )|()|(1)!nnniiMR xxxn 可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一個插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而一個插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而Nn(x)的的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律. . )()()()(1101nnnnxxxxxxaxNxN000,xxxfxfxxf fx0,x(x- x0) = f(x) - f(x0)f(x)+ fx0,x(x- x0)=f(x0)1

56、01001,xxxxfxxfxxxf fx1,x0,x(x-x1)=fx0,x-fx1,x0fx0,x+ fx1,x0,x(x-x1)= fx1,x0f(x)+ (x- x0) fx1,x0=f(x0)+ (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x牛頓插值公式牛頓插值公式(另一種推導(dǎo)方法）另一種推導(dǎo)方法）f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0+(x- x0)(x-x1)fx1,x0,x201201012,xxxxxfxxxfxxxxf fx1,x0,x = (x-x2) fx2,x1,x0,x +fx2,x1,x0f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0 + (x- x0

57、)(x-x1)fx2,x1,x0 + (x- x0)(x-x1)(x-x2) fx2,x1,x0,x,.,).()(,.,).()(.,)(,)()()(011001110012100100 xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxfnnnnnn Nn(x)Rn(x)如當(dāng)如當(dāng)n=1時，時，f(x) = f(x0) + (x- x0)fx1,x0 + (x- x0)(x-x1) fx1,x0,xNn(x)= f(x0) + (x- x0)fx1,x0()010001yyyxxxx 其中其中Nn(x)稱為稱為牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式 Rn(x)稱為稱為牛頓插值

58、余項(xiàng)牛頓插值余項(xiàng)xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2 ,x3,.,).()(.,)(,)()()(01110012100100 xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNnnnn 例例4.13 已知已知 x=0, 2, 3, 5 對應(yīng)的函數(shù)值為對應(yīng)的函數(shù)值為 y=1, 3, 2, 5 , 作三次作三次Newton插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 xi f(xi) 一階差商一階差商 二階差商二階差商 三階差

59、商三階差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 所求的三次所求的三次Newton插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為3001001201(),(),()()231(2)(2)(3)310Nf xf x xxxf x x xxxxxxx xx xx例例4.14 已知已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求求 f 20, 21, 27 及及 f 20, 21, 27, 28 分析：本題分析：本題 f(x)是一個多項(xiàng)式是一個多項(xiàng)式, 故應(yīng)利用差商的性質(zhì)故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解解: 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 ()01(7 )(8 )(7 )017

60、(8 )01781,()!( )7 !,( )0()7 !2 , 2 , 217 !7 !()02 , 2 , 2 , 208!8!nnfxxxfnfxfxffff 及知例例4.15 求求 ，并估計(jì)其誤差，并估計(jì)其誤差的的值值7解：作函數(shù)解：作函數(shù) f(x) =x取取 x0=4, x1=9, x2=6.25 , 建立差商表建立差商表N2(7)= 2+ (7-4)*0.2+ (7-4)*(7-9)*(-0.00808)= 2.648482.56.253924 fxi,xi+1,xi+2 f xi,xi+1, f(x) x2 . 04923 18182. 0925. 635 . 2 00808.