線性規(guī)劃及其應(yīng)用

1、教師版平面區(qū)域與線性規(guī)劃【一】 基本內(nèi)容 (一)二元一次不等式表示的區(qū)域 對于直線(A>0) 當(dāng)B>0時,表示直線上方區(qū)域;表示直線的下方區(qū)域.當(dāng)B<0時,表示直線下方區(qū)域;表示直線的上方區(qū)域.（二）線性規(guī)劃(1)不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.z=Ax+By是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù).由于z=Ax+By又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù). 另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線

2、性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.例如：我們研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題.(3)那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（）和（）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解. 線性目標(biāo)函數(shù)的最值常在可行域的頂點(diǎn)處取得;而求最優(yōu)整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行(4)用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：1.首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）.2.設(shè)z=0

3、，畫出直線l0.3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解.4.最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.(5) 線性規(guī)劃的兩類重要實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù).然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解.最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解.【二】 例題解析題1：選擇題1.不等式組表示的平面區(qū)域是( )2已知x、y滿足約束條件，則(x+2)2+y2的最小值為 DAB2C8D5D4不等式組圍成的區(qū)域中，整數(shù)點(diǎn)的個數(shù)有（ ）AA6B7C8D95設(shè)二元一次不等式組

4、所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)yax(a0，a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9【解析】本題考查線性規(guī)劃與指數(shù)函數(shù)。如圖陰影部分為平面區(qū)域M， 顯然，只需要研究過、兩種情形。且即答案：C題2.選擇填空題1已知動點(diǎn)所在的區(qū)域是如圖所示的陰影部分（包括邊界），則目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值分別為（C）A.2，12B.2,4C.1,12 D.1,492已知x、y滿足約束條件的最小值為（ C）A7BC5D53.若,則的取值范圍是.2,64平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A. -5 B. 1 C. 2 D. 3【答

5、案】：D【解析】如圖可得黃色即為滿足的直線恒過（0，1），故看作直線繞點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a=-5時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當(dāng)a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當(dāng)a=3時，面積恰好為2，故選D.5.已知，求：（1）的最小值;（2）的范圍【解題思路】分別聯(lián)想距離公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)、（1）表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故的最小值是（2）表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn)連線斜率的兩倍；因?yàn)?，故的取值范圍為題3:某公司準(zhǔn)備進(jìn)行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資每份是由金融投資70萬元，房地產(chǎn)投資90萬元，電腦投資75萬

6、元組成；進(jìn)取型組合投資是由每份金融投資40萬元，房地產(chǎn)投資90萬元，電腦投資150萬元組成。已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利25萬元，每份進(jìn)取型投資每年可獲利30萬元。若可作投資用的資金中，金融投資不超過290萬元，房地產(chǎn)投資不超過450萬元，電腦投資不超過600萬元，那么這兩種組合投資應(yīng)各注入多少份，能使一年獲利總額最大？最大值是多少？題4.已知有三個居民小區(qū)A、B、C構(gòu)成ABC，AB700、BC800、AC300現(xiàn)計劃在與A、B、C三個小區(qū)距離相等處建造一個工廠，為不影響小區(qū)居民的正常生活和休息，需在廠房的四周安裝隔音窗或建造隔音墻據(jù)測算，從廠房發(fā)出的噪音是85分貝，而維持居民正常生活和休

7、息時的噪音不得超過50分貝每安裝一道隔音窗噪音降低3分貝，成本3萬元，隔音窗不能超過3道；每建造一堵隔音墻噪音降低15分貝，成本10萬元；距離廠房平均每25噪音均勻降低1分貝（1）求C的大小；（2）求加工廠與小區(qū)A的距離（精確到1）；（3）為了不影響小區(qū)居民的正常生活和休息且花費(fèi)成本最低，需要安裝幾道隔音窗，建造幾堵隔音墻?（計算時廠房和小區(qū)的大小忽略不計）解：（1）由余弦定理得cosC，C60º；3分（2）由題設(shè)知，所求距離為ABC外接圓半徑R，4分由正弦定理得R4046分答：加工廠與小區(qū)A的距離約為404；7分（3）設(shè)需要安裝x道隔音窗，建造y堵隔音墻，總成本為S萬元，由題意得：

8、即9分其中S3x10y，當(dāng)x2，y1時，S最小值為16萬元11分答：需安裝2道隔音窗，建造1堵隔音墻即可12分題5.某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價值的奧運(yùn)會標(biāo)志“中國印·舞動的北京”和奧運(yùn)會吉祥物“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運(yùn)會標(biāo)志每套可獲利700元，奧運(yùn)會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進(jìn)原料A、B的量分別為200盒和300盒.問該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大，最大利潤為多少？【解題思路】將

9、文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子建立線性規(guī)劃模型.解析:設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物分別為套，月利潤為元，由題意得（）目標(biāo)函數(shù)為作出可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)可變形為，當(dāng)通過圖中的點(diǎn)A時，最大，這時Z最大。解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（20,24），10分將點(diǎn)代入得元答:該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會標(biāo)志和奧運(yùn)會吉祥物分別為20，24套時月利潤最大，最大利潤為42800元.【規(guī)律總結(jié)】要注意到生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是整數(shù)這一隱含條件.題6.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電力、勞動力、獲得利潤及每天資源限額（最大供應(yīng)量）如下表所示： 產(chǎn)品 消耗量資源甲產(chǎn)品（每噸）乙產(chǎn)品（每噸）資源限額（每天）煤（t）94

10、360電力（kw·h）45200勞力（個）310300利潤（萬元）612 問：每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，獲得利潤總額最大？解：設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸y噸，獲得利潤z萬元1分依題意可得約束條件：5分（圖2分） 利潤目標(biāo)函數(shù)8分如圖，作出可行域，作直線向右上方平移至l1位置，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時取最大值。10分解方程組12分所以生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20t，乙種產(chǎn)品24t，才能使此工廠獲得最大利潤。14分線性規(guī)劃練習(xí)一、選擇題1不在 3x+2y<6 表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個點(diǎn)是 （ ）A（0，0）B（1，1）C（0，2）D（2，0）2已知點(diǎn)（3，1

11、）和點(diǎn)（4，6）在直線 3x2y+m=0 的兩側(cè)，則 （ ）Am7或m24 B7m24 Cm7或m24 D7m 243若，則目標(biāo)函數(shù) z = x + 2 y 的取值范圍是 （ ）A2 ，6B 2，5C 3，6D 3，54不等式表示的平面區(qū)域是一個（ ）A三角形B直角三角形C梯形D矩形5在ABC中，三頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2 ，4），B（1，2），C（1 ，0 ）， 點(diǎn)P（x，y）在ABC內(nèi)部及邊界運(yùn)動，則 z= x y 的最大值和最小值分別是 （ ）A3，1B1，3C1，3D3，16在直角坐標(biāo)系中，滿足不等式 xy20 的點(diǎn)（x，y）的集合（用陰影部分來表示）的是 （ ） A B C D7不等式表示的

12、平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為（ ）A 13個 B 10個C 14個 D 17個8不等式表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)和點(diǎn)則的取值范圍是（ ）ABCD oxy9已知平面區(qū)域如右圖所示，在平面區(qū)域內(nèi)取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則的值為 （ ）ABCD不存在10如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是（ ）ABCD二、填空題（本題共4小題，每小題6分，共24分）11已知x，y滿足約束條件 ，則的最小值為_12已知約束條件，目標(biāo)函數(shù)z=3x+y，某學(xué)生求得x=， y=時，zmax=， 這顯然不合要求，正確答案應(yīng)為x=; y=; zmax=.13某電腦用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元，70元的單片

13、軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要軟件至少買3件，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有_種.14已知x，y滿足，則的最大值為_，最小值為_三、解答題（本大題共6題，共76分）15由圍成的幾何圖形的面積是多少?（12分）16已知當(dāng)a為何值時，直線及坐標(biāo)軸圍成的平面區(qū)域的面積最??？（12分）方式種類輪船飛機(jī)小麥 300噸150噸大米250噸100噸17有兩種農(nóng)作物（大米和小麥），可用輪船和飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)運(yùn)輸效果如下:在一天內(nèi)如何安排才能合理完成運(yùn)輸2000噸小麥和1500噸大米的任務(wù)？（12分）18設(shè)，式中變量滿足條件，求z的最小值和最大值（12分）19某家俱公司生產(chǎn)甲、乙兩種型號

14、的組合柜，每種柜的制造白坯時間、油漆時間及有關(guān)數(shù)據(jù)如下：工藝要求產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙生產(chǎn)能力/（臺/天）制白坯時間/天612120油漆時間/天8464單位利潤/元2024 問該公司如何安排甲、乙二種柜的日產(chǎn)量可獲最大利潤，并且最大利潤是多少？（14分）20某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少送180t支援物資的任務(wù).該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員；每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次；每輛卡車每天往返的成本費(fèi)A型車為320元，B型車為504元.請你們?yōu)樵摴景才乓幌聭?yīng)該如何調(diào)配車輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？若只調(diào)配A型或B型卡

15、車，所花的成本費(fèi)分別是多少？（14分）參考答案一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號12345678910答案DBACCBAAAC二填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11 123，2，11 13 7 14 2，0三、解答題（本大題共6題，共76分）xyOCBDE15（12分）解析：如下圖由圍成的幾何圖形就是其陰影部分，且.（2，2）（2，2）y=xy=x+1（1,2）（1，2）y=xy=x+116（12分）解析： 如圖，由題意知及坐標(biāo)軸圍成的平面區(qū)域?yàn)锳COD，17（12分）解析：設(shè)輪船為x艘、飛機(jī)為y架，則可得，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，作出可行域，利用圖解法可得點(diǎn)A（，0）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+y最小，但它不是整點(diǎn)，調(diào)整為B（7，0）AxyOC-11B（1,1)2答：在一天內(nèi)可派輪船7艘，不派飛機(jī)能完成運(yùn)輸任務(wù)18（12分）解析： 作出滿足不等式的可行域，如右圖所示.作直線19（14分）解析：設(shè)x，y分別為甲、乙二種柜的日產(chǎn)量，可將此題歸納為求如下線性目標(biāo)函數(shù)Z=20x+24y的最大值.其中線性約束條件為 ，由圖及下表（x，y）Z=20x+24y（0，10）240（0，0）0（8，0）160（4，8）272Zmax=272答：該公司安排甲、乙二種柜的日產(chǎn)量分別為4臺和8臺可獲最大利潤272元.A型車B型車物