幾何與代數(shù)5-2特征值與特征向量

1、說明說明., 0. 1言言的的特特征征值值問問題題是是對對方方陣陣而而特特征征向向量量 x .0,0-,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩陣陣的的即即滿滿足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值階階方方陣陣AAExAEAn ., , 1的特征向量的特征向量的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值稱為稱為量量非零向非零向的特征值的特征值稱為方陣稱為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和和如果數(shù)如果數(shù)階矩陣階矩陣是是設(shè)設(shè)定義定義 AxAxAxxnnA 0. 3 AE 0212222111211 nnnnnnaaaaa

2、aaaa .0n 的的特特征征方方程程為為矩矩陣陣次次方方程程為為未未知知數(shù)數(shù)的的一一元元稱稱以以AAE .n,)( 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為方方陣陣次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，稱稱其其的的它它是是記記AAEf 則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè),. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為A3113 132 )2)(4(862 . 4, 221 的的特特征征值值為為所所以以A,00321132,2211 xx對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)

3、. 0, 02121xxxx 即即,21xx 解解得得.11 1 p取取為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可可,001111,00341134,421212 xxxx即即由由時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .11 ,221 pxx取為取為所以對應(yīng)的特征向量可所以對應(yīng)的特征向量可解得解得例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1)(2(201034011 2 AEA的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為. 1, 2321 的的特特征征值值為為所所以以A由由解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)2(,21 xAE ,0000100010010140132 AE,1001 p 得基礎(chǔ)解系得

4、基礎(chǔ)解系.2)0(11的的全全部部特特征征值值是是對對應(yīng)應(yīng)于于所所以以 kpk由由解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0)(,132 xAE ,000210101101024012 AE,1212 p 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系.1)0(322的全部特征值的全部特征值是對應(yīng)于是對應(yīng)于所以所以 kpk例例 設(shè)設(shè),314020112 A求求A的特征值與特征向量的特征值與特征向量解解314020112 AE ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值為的特征值為得得A 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 0-,11 xAE ,000010101414030111 AE,1011 p得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系的的全

5、全體體特特征征向向量量為為故故對對應(yīng)應(yīng)于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng). 02,232 xAE ,0000001141140001142 AE得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：,401p ,04132 p:232的的全全部部特特征征向向量量為為所所以以對對應(yīng)應(yīng)于于 ).0,(323322不不同同時(shí)時(shí)為為kk pkpk 定理定理1：若：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .kkAk)1(是是任任意意常常數(shù)數(shù)的的特特征征值值是是 ）的特征值；）的特征值；（）是）是（則則）（）（設(shè)設(shè)AEaAaAaAaaammmmmmmm 01

6、1011)3( .A,A)4(11的特征值的特征值是是可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng) .mA)2(mm是是任任意意常常數(shù)數(shù)的的特特征征值值是是 .)5(*的特征向量的特征向量的對應(yīng)于的對應(yīng)于且仍是且仍是的特征值，的特征值，的伴隨矩陣的伴隨矩陣是是可逆時(shí)，可逆時(shí)，當(dāng)當(dāng) AAxAAAA.,., 221212121線性無關(guān)線性無關(guān)則則各不相等各不相等如果如果向量向量依次是與之對應(yīng)的特征依次是與之對應(yīng)的特征個(gè)特征值個(gè)特征值的的是方陣是方陣設(shè)設(shè)定理定理mmmmppppppmA 注意注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量

7、的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值 即即有有的的特特征征向向量量的的的的屬屬于于特特征征值值同同時(shí)時(shí)是是如如果果設(shè)設(shè)因因?yàn)闉?2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟：; . 1AEA 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式計(jì)計(jì)算算;,0