復變函數(shù)與GIS

1、河北聯(lián)合大學輕工學院復變函數(shù)與積分變換課程應用報告河北聯(lián)合大學輕工學院復變函數(shù)與積分變換實驗報告課程名稱： 復變函數(shù)與積分變換 研究內(nèi)容： 復變函數(shù)在GIS上的運用與地位 系 別： 自動化 專 業(yè)： 2011 級 班姓 名： 學 號： 開課時間： 2012 年 下學期指導教師： 趙文靜一報告目的該論文主要研究復變函數(shù)在GIS專業(yè)上的作用和地位，通過復變函數(shù)發(fā)展簡介和內(nèi)容，我們認識到復變函數(shù)的發(fā)展史和學術地位，因為它運用廣泛，作為當代大學生，我們應該明白它在學習中起到舉足輕重的作用，從學習中的地位延伸到專業(yè)中的地位，從而了解他在GIS的運用，借助復變函數(shù)推出柯西黎曼曲面，進而導出復球面的緊性，得

2、出擴充復平面是緊的，得出結論，體會，心德和認識，最后對結論進行推導和運用。二所利用到的工具Matlab軟件,地理信息系統(tǒng)三主要內(nèi)容（一） 復變函數(shù)的發(fā)展簡況與內(nèi)容復變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程。復變函數(shù)理論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。為復變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學科的先驅。后來為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學家維爾斯特拉斯。復變函數(shù)理論

3、不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數(shù)學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。復變函數(shù)理論主要包括解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、積分和級數(shù)、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。復變函數(shù)理論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應用。留數(shù)理論是復變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復

4、雜。應用留數(shù)理論對于復變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數(shù)定積分，可以化為復變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點上求留數(shù)的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。把單值解析函數(shù)的一些條件適當?shù)馗淖兒脱a充，以滿足實際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)的應用范圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。（二） 復變函數(shù)在學習中的地位 在我們已經(jīng)學習過的高等

5、數(shù)學課程中，研究的主要對象是實變函數(shù)。理論的探討和生產(chǎn)實踐的發(fā)展，又提出了對復變數(shù)的研究，而研究復變數(shù)之間的相互依賴關系，就是復變函數(shù)這門課程的主要任務。 由于我們是只上了大二，所以我們接觸的專業(yè)課的知識并不是太多，并不太了解復變函數(shù)究竟在我們以后的學習中起到什么樣的決定性作用，盡管如此，但我相信，學習此門課程在專業(yè)中一定起著舉足輕重的作用，學習了復變函數(shù)，不但開拓了我們的視野，同時也助長了我們見解。從中我們能了解實數(shù)不一定能解決的問題，也許我們能在復數(shù)域茅塞頓開，復數(shù)中的定理和定義能解決一些復雜的函數(shù)。通過課程的學習，我們可以了解到，復數(shù)可以應用的現(xiàn)實中的數(shù)學建模，其在很多運算中都有者不可思

6、議的性質(zhì)和規(guī)律。復數(shù)的引入為人們解決實數(shù)域和物理科學提供了許多新的途徑，打開了很多原本無法暢通的道路，無論是神奇的留數(shù)，還是保角映射，都為人類在解決非復領域上的問題提供了全新的思路與方便。復變函數(shù)中的許多概念理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)領域內(nèi)的推廣和發(fā)展，因而他們有許多相似之處，我們在學習中，要勤奮思考，善于比較，既要注意共同點，又要弄清不同點。這樣，才能抓住本質(zhì)，融會貫通。學到心，用到表，充分體現(xiàn)復變函數(shù)在學習中的主導地位。（三） 復變函數(shù)在GIS上的運用復變函數(shù)論在應用方面，涉及的面很廣，在數(shù)學、自然科學和工程技術有著廣泛的運用，是解決流體力、學電磁學熱、測繪學、學彈性理論中的平面問題的有力

7、工具，有很多復雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的；在地理信息中，我們可以用他來解決一些復雜計算和估算，空間數(shù)據(jù)大多都繁瑣難算，大多用到復變函數(shù)來處理。比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用復變函數(shù)論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。再比如，地球是橢圓并且非常的大，在我們研究地球的時候，就能用到復變函數(shù)來解決橢球面的問題。怎么樣把復變函數(shù)運用到GIS上呢？現(xiàn)在我依柯西-黎曼曲面為論來探討復變函數(shù)在地理信息系統(tǒng)中的運用，根據(jù)我們大一的時

8、候所學的測繪學概論，我才明白柯西-黎曼曲面是涉及大地測量、地理信息系統(tǒng)的一個基本問題，應用范圍非常廣泛。黎曼曲面理論是復變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。近來，關于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質(zhì)?，F(xiàn)在在三維空直角坐標系上做一個單位球面：x2+y2+z2=1,且稱此單位球面或Riemann（黎曼）球面，在空間直角坐標系上，將Oxy平面看成復平面，將復數(shù)球面上的點(0,0,1)稱為（北）極點N.復平面上的任一點x+iy與極點N切丁的直線與復球面有唯一的交點。讓此交點與復平面上的點之間建立一一對應，成為

9、球極平面投影。這是一個拓撲映照，即雙方連續(xù)的映照，故有復球面的緊性，得出擴充復平面的是緊的。我們來推導浮球面上的點（X,Y,Z）與對應的復平面上的點x+iy坐標間的對應關系式。因極點（0,0,1)和復平面上的點x+iy所確定的直線的參數(shù)方程為 (1-t)x,(1-t)y,t;-<t<為求直線與復球面的叫交點，將此參數(shù)方程代入球面方程，有(1-t)2x2+（1-t)2y2+t2=1得.這樣我們得到的交點坐標為 , , 本題始終用表示復平面上的兩點z,z、在復球面上對應的兩點在R3度量下的距離。設在福球面上對應點為,則有, , 又 )因為 所以即稱為球極平面投影距離公式。同理可得由球極

10、平面投影距離公式，不難直接看出對任兩個非零復數(shù)z和w,有, 這樣在擴充平面上按公式引入了二元實函數(shù)。滿足度量條件，故它又被稱為球極量度。下面驗證關于度量的三角不等式。，由球極投影，依次對應球面上三點,則 在這個度量下，（成為度量空間。由度量所引起的開集系統(tǒng)與C做為拓撲空間在前面所引入的開集系統(tǒng)相一致。在本次研討中，我們始終用B（a,r）表示在復平面上的以a為中心以r為半徑的圓盤;用表示在擴充復平面C上以a為中心以r為球極半徑的開球，即。由定義易得，故為在擴充復平面上的一個領域。結論：2 若且r>0，則存在正數(shù)使得；3 若且>0，則存在r>0,使得；4 若給定>0，則存在

11、一個緊集,使得;5 設緊集，則存在正數(shù)，使得K.總之，Riemann球面C在球面度量下是連通的完備的緊致的度量空間。對于地理信息系統(tǒng)來言，我們研究的范圍大多都是虛擬的，是以空間為載體，用空間數(shù)據(jù)來體現(xiàn)的。如我們生活的家園地球，當我們研究其空間時，我們可以把他看作是一個球體，因為他所包括的范圍是巨大的，我們不可能用簡單的測量儀器就能得出其空間數(shù)據(jù)，除了儀器外，我們還需要其他輔助工具，而柯西-黎曼曲面為我們解決這一難題提供了理論依據(jù)，通過它我們能更精確的測量出空間數(shù)據(jù)，因此對學習地理信息系統(tǒng)的同學來說，它為我們更深層的探測空間信息提供了科學依據(jù)。四研究意義通過對上述課題的研究，讓我理解到復變函數(shù)的

12、內(nèi)涵，復變函數(shù)促進我們更多的了解和認識地理信息系統(tǒng)，從而更多的了解到他在專業(yè)中的作用，雖然我們現(xiàn)在并沒接觸到專業(yè)課，但我已經(jīng)大致明白復變函數(shù)也許貫穿了我們整個學科，我從課研中發(fā)現(xiàn)，從小學初中高中到大學，我們時時刻刻都在和數(shù)打交道，從高等數(shù)學，概率論，線性代數(shù)到現(xiàn)在的復變函數(shù)，他們都會成為我們生活中的一部分，做我一個地理信息系統(tǒng)專業(yè)的學生，我更應該明白數(shù)對我們的作用，我相信復變函數(shù)能在我們專業(yè)起到舉足輕重的作用，因為它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程?，F(xiàn)在，復變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應用。人類在發(fā)展，中國在進步，在人類進步的同時，更需要先進的科學技術，而地理信息系統(tǒng)是一個高端科技，未來的幾十年里，他也許會登上更高的臺階，為中國的建設創(chuàng)造巨大價值。五參考文獻與書