第七章差分方程模型

1、第7章 差分方程模型7.1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型7.3 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型7.4 按年齡分組的種群增長(zhǎng)§7.1 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型例1 蛛網(wǎng)模型問(wèn)題問(wèn)題的提出 蛛網(wǎng)模型現(xiàn)象 供大于求 -> 價(jià)格下降 -> 減少產(chǎn)量 數(shù)量與價(jià)格在振蕩 增加產(chǎn)量 <- 價(jià)格上漲 <- 供不應(yīng)求 提出的問(wèn)題 1.描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律 2.商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 3.當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采 取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定模型分析與假設(shè)蛛網(wǎng)模型設(shè)第k時(shí)段商品數(shù)量；第k時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系 需求函數(shù) 減函數(shù)fxy0生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 供應(yīng)函數(shù) 增函數(shù)gx0y0

2、P0f與g的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)一旦xk=x0，則yk=y0xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 方程模型在P0點(diǎn)附近用直線(xiàn)近似曲線(xiàn) P0穩(wěn)定 P0不穩(wěn)定 方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 模型的求解考察 , 的含義xk第k時(shí)段商品數(shù)量；yk第k時(shí)段商品價(jià)格a 商品數(shù)量減少1單位, 價(jià)格上漲幅度b 價(jià)格上漲1單位, (下時(shí)段)供應(yīng)的增量a 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 a小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定b 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度 小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使盡量小，如=0 需求曲線(xiàn)變?yōu)樗?以行政手段控制價(jià)格不變2. 使盡量小，如 =0 供應(yīng)曲線(xiàn)變?yōu)樨Q

3、直 靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變 xy0x0gfxy0y0gf模型的推廣 生產(chǎn)者管理水平提高 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。 設(shè)供應(yīng)函數(shù)為 需求函數(shù)不變 二階線(xiàn)性常系數(shù)差分方程若x0為平衡點(diǎn) 研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即¥, xkx0的條件方程通解 (c1, c2由初始條件確定)l特征根，即方程 2*+ =0的根 平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即, xkx0的條件: 平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來(lái)的條件放寬了7.3 差分形式的阻滯增長(zhǎng)模型連續(xù)形式的阻滯增長(zhǎng)模型 (Logistic模型)x(t) 某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量(人口) , xN, x=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與r大小無(wú)關(guān))離散形式 yk 某種群第k代的數(shù)

4、量(人口)若yk=N, 則yk+1,yk+2,=Ny*=N 是平衡點(diǎn)討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即®¥, yk®N ？離散形式阻滯增長(zhǎng)模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 變量代換 一階(非線(xiàn)性)差分方程 (1) 的平衡點(diǎn)y*=N <-> (2)的平衡點(diǎn) 討論 x* 的穩(wěn)定性一階非線(xiàn)性差分方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性(1) 的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程 x=f(x)的根(1) 的近似線(xiàn)性方程 穩(wěn)定性判斷 x*也是(2)的平衡點(diǎn) x*是(2)和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn) x*是(2)和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) 另一平衡點(diǎn)為 x=0穩(wěn)定性 <-> <->

5、 x* 穩(wěn)定 不穩(wěn)定 <-> x* 不穩(wěn)定 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 Kb=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5500.20000.20000.20000.20000.200010.27200.41600.52800.55200.568020.33660.63170.8224 0.85320.871130.37960.60490.48200.43220.3987930.41180.61540.4794 0.44740.5405940.41180.61540.82360.85300.8817950.4118 0.61540.47940.43270.3703960.41180.6

6、1540.82360.84690.8278970.41180.61540.47940.44740.5060980.41180.61540.82360.85300.8874990.41180.61540.47940.43270.35481000.41180.61540.82360.84690.8127數(shù)值計(jì)算結(jié)果 初值 x0=0.2 b <3, xb=3.3, x兩個(gè)極限點(diǎn)b=3.45, x4個(gè)極限點(diǎn)b=3.55, x8個(gè)極限點(diǎn)倍周期收斂x*不穩(wěn)定情況的進(jìn)一步討論 單周期不收斂 2倍周期收斂 (*)的平衡點(diǎn) x*不穩(wěn)定，研究x1*, x2*的穩(wěn)定性倍周期收斂 的穩(wěn)定性 x1*x2*x*b=

7、3.4y=f(2)(x)y=xx0 倍周期收斂的進(jìn)一步討論 x1*, x2* (及x*)不穩(wěn)定出現(xiàn)4個(gè)收斂子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性需研究 時(shí)有4個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn) 4倍周期收斂2n倍周期收斂, n=1,2, bn 2n倍周期收斂的上界b0=3, b1=3.449, b2=3.544, ¥, bn3.57b>3.57, 不存在任何收斂子序列 混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象b7.4 按年齡分組的種群增長(zhǎng)不同年齡組的繁殖率和死亡率不同以雌性個(gè)體數(shù)量為對(duì)象建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長(zhǎng)規(guī)律假設(shè)與建模種群按年齡大小等分為n個(gè)年齡組，記i=1,2, , n時(shí)間離散為時(shí)段，長(zhǎng)度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,第i 年齡組1雌性個(gè)體在1時(shí)段內(nèi)的繁殖率為bi第i 年齡組在1時(shí)段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- dixi(k)時(shí)段k第i 年齡組的種群數(shù)量(設(shè)至少1個(gè)bi>0)Leslie矩陣(L矩陣)按年齡組的分布向量 預(yù)測(cè)任意時(shí)段種群按年齡組的分布數(shù)學(xué)知識(shí)的分析L矩陣存在正單特征根l1，特征向量 若L矩陣存在bi, bi+1>0, 則 且, c是由bi, si, x(0)決定的常數(shù)解釋 L對(duì)角化 P的第1列是x* 模型的求解穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群按年齡組的分布 種群按年齡