第五章利率理論

1、第五章 利率理論 本章概述本章主要介紹利率的有關(guān)理論，包括利率的期限結(jié)構(gòu)和債券理論。首先，我們結(jié)合零息票介紹了單利、復(fù)利、連續(xù)復(fù)利和利率的期限結(jié)構(gòu)曲線。利率的期限結(jié)構(gòu) 是現(xiàn)代金融理論中非常重要的一部分內(nèi)容，也是至今學(xué)術(shù)界仍然再研究的一個領(lǐng)域。根據(jù)利率期限結(jié)構(gòu)解釋理論中的預(yù)期理論，影響利率期限結(jié)構(gòu)的一個主要因素就 是短期利率未來的變化，因此本章還介紹了利率的跨時演進模型，以及如何在無套利均衡下，通過短期利率的變化構(gòu)造整個期限結(jié)構(gòu)曲線。最后，本章還介紹了債券 的定價，在介紹債券三種定價思路的基礎(chǔ)上，引進了債券的久期和凸度的概念。 第一節(jié) 利率的期限結(jié)構(gòu)1.1 零息票收益率和利率期限結(jié)構(gòu)曲線一、單利

2、、復(fù)利和連續(xù)復(fù)利在計算利率的時候，如果利息并不產(chǎn)生利息，也即前期的利息并不重新再投資，則可以得到單利，反之則得到復(fù)利。假設(shè)數(shù)額A以利率R投資了n年。如果一年計一次復(fù)利，則上述投資的終值為： 如果每年計m次復(fù)利，則終值為： 當(dāng)m趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復(fù)利（Continuous compounding），此時的終值為 其中，e約等于2.71828。表51顯示了提高復(fù)利頻率所帶來的效果。從表中可以看出，連續(xù)復(fù)利（精確到小數(shù)點后兩位）與每天計復(fù)利的效果一樣。因此，實際運用中通?？梢哉J為連續(xù)復(fù)利與每天計復(fù)利等價。表51復(fù)利頻率與終值提高計復(fù)利的頻率對100元在一年末終值的影響，利率為每年10% 復(fù)利頻

3、率100元在一年末的終值（單位:元，取兩位小數(shù)） 每一年（m=1） 每半年（m=2） 每季度（m=4） 每 月（m=12） 每 周（m=52） 每 天（m=365） 連續(xù)復(fù)利 110.00 110.25 110.38 110.47 110.51 110.52 110.52 假設(shè)是連續(xù)復(fù)利的利率，是與之等價的每年計m次復(fù)利的利率，從上式可得： 或 這意味著： 利用以上兩個式子，我們就可以實現(xiàn)每年計m次復(fù)利的利率與連續(xù)復(fù)利之間的轉(zhuǎn)換。 特別地，當(dāng)m=1時， 二、零息票收益率零息票是指到期日以前沒有利息的債券，這種債券面值和當(dāng)前價格的比值反映的收益率暗含了期限為到期日的復(fù)利大小。不同到期日零息票的收

4、益率和到期日之間的關(guān)系構(gòu)成了利率的期限結(jié)構(gòu)曲線。 三、利率期限結(jié)構(gòu)曲線的變化利率期限結(jié)構(gòu)是市場對未來短期利率變化的預(yù)期的反映，與短期利率有著密切的關(guān)系。由于短期利率的變化是多樣的，因此導(dǎo)致利率期限結(jié)構(gòu)隨著時間的演變也 是復(fù)雜的。經(jīng)過理論分析和實證研究發(fā)現(xiàn)，期限結(jié)構(gòu)的變化可以分解為以下幾種典型變化：平行移動，也即不同到期期限的利率全部增加或者減少相等的數(shù)值；陡緩 變化，也即短期利率變化和長期利率變化幅度不同，短期的幅度小，曲線變平緩，反之曲線變陡峭；蝶式變化，也即中期利率變化和長期短期利率變化幅度不同，像 蝴蝶扇動翅膀一樣；還有一種特殊變化，也即短期端變化，中長期利率不發(fā)生變動。四、幾種解釋理論

5、對于利率期限結(jié)構(gòu)的解釋，一直都是金融學(xué)爭論的重要領(lǐng)域。一般有三類解釋，分別是：預(yù)期理論、流動性偏好理論和期限偏好理論。預(yù)期理論又分為完全預(yù)期理論和有限預(yù)期理論。而期限偏好理論一般強調(diào)不同期限的債券形成了不同的分割市場，不同投資者在不同市場交易，從而形成相互之間沒有關(guān)系的短期、中期和長期利率。1.2 利率的跨時演變模型一、連續(xù)時間模型短期利率的跨時演變模型有Ho-Lee模型、Salomon Brothers模型、Black-Derman-Toy模型和Black-Karasinski模型。這些模型有連續(xù)時間版本和離散時間版本。經(jīng)過多年的實證研究，研究者發(fā)現(xiàn)均值回復(fù)過程能夠比較好的描述短期利率變動，

6、也即： 在無套利均衡條件下，不同到期期限的零息票和短期利率之間滿足以下仿射關(guān)系： 二、離散時間模型與多步二叉樹一般我們用多步的二叉樹模型來描述利率的跨時演變。如下圖： 假設(shè)每一步演變有兩種情況，記第n+1期的T期利率相對第n期T期利率的上漲比率和下跌比率分別為：U(T)和D(T)， U(T)D(T)=1；T=1時，即為第n+1期的短期利率相對第n期短期利率的變化比率，記U(1)=U和D(1)=D。三、利率期限結(jié)構(gòu)曲線和利率的跨時演變記第n期還剩T期的零息票價格為：，該債券在第n+1期還剩T-1期，價格為：。假設(shè)未來兩種情況，未來價格相對當(dāng)前價格上漲比率u(T-1)和下跌比率d(T-1)分別滿足

7、： 則 根據(jù)多步二叉樹的構(gòu)造方法，我們知道第n期還剩T期到期的零息票到第n+2期的價格可以經(jīng)過上漲再下跌或者下跌再上漲得到，這兩條路徑的結(jié)果應(yīng)該一樣，也即 由 化簡得到邊界條件：u(T-2)d(T-1)u(1)=d(T-2)u(T-1)d(1)。 用某種資產(chǎn)對沖風(fēng)險，n期和n+1期價格分別為：。無套利條件為： 記對沖資產(chǎn)上漲價格和下跌價格分別為：Su和Sd。 由（1）得： 代入（2）得： 如果風(fēng)險對沖資產(chǎn)為還剩T+1期的零息債券，價格上漲比率和下跌比率分別為：u(T)和d(T)，則和，代入（3）可得 u(T)-d(T)=1-d(T)u(T -1)+u(T)-1d(T -1)該式和邊界條件給出了

8、u(T)和d(T)的迭代關(guān)系，也即在無套利條件下，給定短期利率未來的變化（即u(1)和d(1)或者U(1)和D(1)），迭代以上差分方程，就可以得到各個不同到期期限利率的跨時演變。四、利率期限結(jié)構(gòu)曲線和遠期利率、利率預(yù)期如果風(fēng)險對沖資產(chǎn)為利率遠期協(xié)議，即當(dāng)前（第n期）簽訂的協(xié)議，約定第n+1期還剩T-1期的零息票的價格為。該協(xié)議當(dāng)前價值為S=0，未來的損益為： 代入（3）可得： 將結(jié)論推廣可以得到，當(dāng)前t，T時刻利率r，T*時刻利率r*，T*T，當(dāng)前 T*到T之間的遠期利率為，則單利情形有： 連續(xù)復(fù)利情形有： 即有，故 第二節(jié) 債券定價理論2.1 債券定價一、定價根據(jù)第四章的資產(chǎn)定價理論，我們

9、知道債券定價有三種思路。第一種思路，將未來各期的利息逐期貼現(xiàn)，因為未來的貼現(xiàn)率是不確定的，因此需要求期望值；第二種思路，將用未來各期的利息按照當(dāng)前相應(yīng)期限的利率進行貼現(xiàn)。也即， 和 其中，表示第j-1期至第j期的短期利率，表示當(dāng)前的i期利率。 第三種思路見到期收益率部分。二、到期收益率換個角度分析，假如債券未來的現(xiàn)金流重新再投資，由于當(dāng)前并不知道未來再投資能夠獲得的收益率，我們假設(shè)未來各期現(xiàn)金流再投資的收益率相等，這個收益率為y，那么債券未來現(xiàn)金流的到期價值為， 當(dāng)前購買債券的現(xiàn)金流按照同樣的收益率一直到期，得到的到期價值為， 這兩個到期價值應(yīng)該相等，因此可以得到 收益率y就稱為債券的到期收益

10、率，或者債券的內(nèi)部收益率。三、浮動利息債券定價由于浮動利息債券未來的現(xiàn)金流不確定，不能用前面的定價公式。由于浮動利息債券的票面利率通常在重新設(shè)定日時定為市場利率，因此浮動利息債券在重新設(shè) 定日，價格和面值相等，否則會出現(xiàn)套利機會。在重新設(shè)定日，除了面值以外，浮動利息債券還將獲得上一期的浮動利息，所以浮動利息債券當(dāng)前價格應(yīng)該等于面值 與上一期利息之和按照市場利率貼現(xiàn)得到，也即 其中，L表示浮動利息債券的面值，表示上一期設(shè)定的浮動利息，為到下一重新設(shè)定日的市場利率，連續(xù)復(fù)利的形式。四、信用價差對于企業(yè)債券等非主權(quán)債券的到期收益率相對于國債的到期收益率有一個差額，用來補償企業(yè)債券的違約風(fēng)險，這個風(fēng)險

11、溢價稱為信用價差。五、解鞋帶法由于市場上多數(shù)債券是附息債券，零息票一般只是短期國債或者票據(jù)，因此并沒有直接的利率收益率曲線。我們通過解鞋帶法（Bootstrap）可以將市場上附息債券的價格生成利率收益率曲線。 比如，有五只附息債券，有關(guān)信息如下：債券本金 到期期限年息票債券價格1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6記、和分別為到期期限為三個月、半年、一年、一年半和兩年的利率。從例子中可以看出， 以上三式可以解得、和。代入下式， 可以解得。、和代入下式， 可以解得。以此類推可以求得整個利率期限結(jié)構(gòu)曲線。2.2 久期和凸度一、久期可以從兩個方面去理解久期。第一，久期表示債券價格變動百分比相對于到期收益率變動的比率，也即， 從這個方面理解，久期度量了債券價格相對于到期收益率這個風(fēng)險