哈工大現(xiàn)代控制理論復習習題

1、歡迎閱讀頁腳內(nèi)容現(xiàn)代控制理論復習題 1一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號里打， 反之打X。(，)1.由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù)。(X ) 2.若一個對象的連續(xù)時間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離散化狀態(tài)空間模型也一定是能控的。(x ) 3.對一個給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也一定是輸出能控的。(V )4.對系統(tǒng)x = Ax,其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣A的特征值都具有負實部是一致 的。I / _.二、(15分)考慮由下式確定的系統(tǒng)：G(s)= 2 s+3試求其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標準s2 3s 2型、能觀標準型

2、和對角線標準型，并畫出能控標準型的狀態(tài)變量圖。解：能控標準形為能觀測標準形為對角標準形為三、(10分)在線性控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣起著很重要的作用。對系統(tǒng) 求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：解法1。容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個特征值是% = -1,九2 = -2 ,它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對角化。矩陣A對應于特征值% = -1,九2 = -2的特征向量是取變換矩陣T = L1 v2H = f2 1則t1 112-1 -11-1 -2因此，D=TAT=10一0-2._ I - 一 ；從而，解法2。拉普拉斯方法 由于-t e-t c 2一 e 2e9 -t _2t:(t)eAt

3、=L(sI -A)=_t 2e42e?解法3。凱萊-哈密爾頓方法將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成eAt =a0(t)I , a1(t)A系統(tǒng)矩陣的特征值是-1 和-2,故e* =a0(t)-a1(t)e3 = a0(t) -2al(t)解以上線性方程組，可得a0(t) = 2e-t -eza1(t) =e-t _e2t_2t_t_2t因此，6(t) =e =a0 1 +aiA= | t 2t t 2t，2e-+2e-e- +2e-四、(15分)已知對象的X態(tài)空間模型 x=Ax+Bu,y=Cx,是完全能觀的，請畫出觀測器設(shè)計的框圖，并據(jù)此給出觀測器方程，觀測器設(shè)計方法。解 觀測器設(shè)計的框圖：觀測器方程：其中：

4、是觀測器的維狀態(tài)，L是一個n冷維的待定觀測器增益矩陣。觀測器設(shè)計方法：由于det I -(A - LC) -det I -(A -LC)T -det I - (AT -CTLT)I / _.因此，可以利用極點配置的方法來確定矩陣L,使彳導AT -CTLT具有給定的觀測器極點。具體的方法有：直接法、變換法。五、(15分)對于一個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定性定理，并舉一個二階系統(tǒng)例子說明該定理的應用。解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：線性時不變系統(tǒng)x = Ax在平衡點xe =0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q,李雅普諾夫矩陣方程ATP +

5、PA = -Q有惟一的對稱正定解P。 在具體問題分析中，可以選取 Q = I?？紤]二階線性時不變系統(tǒng):原點是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程AT P + PA= -1y| I； |其中的未知對稱矩陣pJ1 p12Jp12 p22 1將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得進一步可得聯(lián)立方程組I 從上式解出P11、P12和P22,從而可得矩陣P/1加1|3/2 1/21_Pl2 P22.111/21根據(jù)塞爾維斯特方法，可得i1 = 02 = det P = 024故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。六、(10分)已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是試設(shè)計一

6、個狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-1 j。解系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是將控制器u=-k Kx代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是det( I -Ac) = 2 (3 Ki).(2 k0)歡迎閱讀期望的閉環(huán)特征方程是 (九十1 - j)(九十1十j)=九2十2九十2通過-2 (3 ki).(2 ko) = .2 2. 2可得3-k1=22.k0=2從上式可解出k1 = 一1k0 0因此，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器是u = 0 1】廣32 1現(xiàn)代控制理論復習題 2一、(10分，每小題2分)試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號里打M反之打

7、X . .(X) 1.對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；(V) 2.由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以決定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進而決定系統(tǒng)的動態(tài)特性；(X) 3.若傳遞函數(shù)G(s) =C(sI A)B存在零極相消，則對應的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀的；(X) 4.若一個系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的；(V) 5.狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。二、(20分)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(1)采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖；(2)采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應的狀態(tài)變量圖。答：(1)將G(s)寫成以下形式：這相當于兩個環(huán)節(jié),和空

8、串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為： s 3 s 5X = -3x1 + u 和；X2 = -5x2 + U ?ly = X1J = -5X2 + U1 .由于y1 =5 ,故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)是：將其寫成矩陣向量的形式，可得：對應的狀態(tài)變量圖為：串連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖(2)將G寫成以下形式：0 52 5它可以看成是兩個環(huán)節(jié)-上5和上二匕的并聯(lián)，每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：s 3 s 5和由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)：進一步寫成狀態(tài)向量的形式，可得：對應的狀態(tài)變量圖為：并連分解所得狀態(tài)空間實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖？三、(20分)試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，并

9、以一種方法和一個數(shù)值例子為例, 求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；頁腳內(nèi)容歡迎閱讀答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有：方法一直接計算法：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義來直接計算，只適合一些特殊矩陣Ao方法二通過線性變換計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過線性變換，將矩陣A變換成對角矩陣或約當矩陣，進而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。方法三 拉普拉斯變換法：eAt =L(sI - A)。方法四 凱萊-哈密爾頓方法根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導出eAt具有以下形式： 其中的“(t),匕， 冊代)均是時間t的標量函數(shù)。根據(jù)矩陣A有n個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態(tài)矩陣所

10、確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于故四、(10分)解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的識別能力，對一個零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過一段時間內(nèi)的測量輸出來估計之前某個時刻的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)能觀的判別方法：對于n階系統(tǒng)一 C CA 1 .若其能觀性矩陣r0=列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀2 .若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。舉例：對于系統(tǒng)其能觀性矩陣的秩為2,即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。五、(20分)對一個由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答：(1)能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件是什么？(2)

11、簡單敘述兩種極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法；(3)試通過數(shù)值例子說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計。答：(1)能夠通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)任意極點配置的條件：系統(tǒng)是能控的。(2)極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。直接法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下設(shè)計。設(shè)狀態(tài)反饋控制器u =?Kx,相應的閉環(huán)矩陣是A?BK,閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為由期望極點九 1,，九n可得期望的閉環(huán)特征多項式通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態(tài)反饋的增益矩陣Ko頁腳內(nèi)容歡迎閱讀變換法驗證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進行以下

12、設(shè)計。將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標準型，相應的狀態(tài)變換矩陣設(shè)期望的特征多項式為而能控標準型的特征多項式為所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是(3)采用直接法來說明極點配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計考慮以下系統(tǒng)設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為 2?和?3。該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。設(shè)狀態(tài)反饋控制器將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程其特征多項式為由期望的閉環(huán)極點？2和？3,可得閉環(huán)特征多項式通過可得由此方程組得到因此，要設(shè)計的極點配置狀態(tài)反饋控制器六、(20分)給定系統(tǒng)X態(tài)空間模型x = Ax(1)試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？(2)試通

13、過一個例子說明您給出的方法；(3)給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。答：(1)給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型x = Ax是一個線性時不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅 普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q,矩陣方程ATP+PA=q有一個對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程 atp + pa = -q,若能得到一個對稱正定解矩陣P,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣 P,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可 以選取Q = I o(2)舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時不變系統(tǒng)：原點是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程：ATP+PA = q,其中的未知矩陣I * I將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得為了計算簡單，選取Q =21,則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。(3)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對