平面向量與平面幾何

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量與平面幾何小觀(guān)許蘇華有一個(gè)量源自于現(xiàn)實(shí)生活，在物理中稱(chēng)之為矢量，在數(shù)學(xué)中稱(chēng)之為向量，這種量不同于物理中的標(biāo)量，也不同于數(shù)學(xué)中的數(shù)量，它是既有大小又有方向的量.在數(shù)學(xué)中的一個(gè)平面內(nèi)研究的向量，稱(chēng)之為平面向量，在空間中研究的向量，便稱(chēng)之為空間向量.在此篇文章中，只談平面向量，以后再專(zhuān)門(mén)談空間向量.為什么要學(xué)習(xí)平面向量？首先它很有用，不僅在物理中有著廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)本身中也有著廣泛應(yīng)用，比如正、余弦定理的推導(dǎo)，而平面向量在平面幾何中的應(yīng)用更顯得突出.說(shuō)的更具體一點(diǎn)，此篇文章，在教材的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步研究平面幾何中的向量方法，這也是平面向量中較難的地方.一、平面

2、向量與三點(diǎn)共線(xiàn)高中數(shù)學(xué)教材中有這樣的一個(gè)定理：向量與共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使. 上述定理，常稱(chēng)之為向量共線(xiàn)定理，它等價(jià)于這個(gè)定理：點(diǎn)、共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得除了向量共線(xiàn)定理，在解題中經(jīng)常使用到被稱(chēng)之為向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理的結(jié)論：設(shè)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)、共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù)、，使得，其中向量共線(xiàn)定理，很容易理解，也可以參考教材.關(guān)鍵是如何證明向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理？凡是含有“充要條件”關(guān)鍵詞的結(jié)論，相當(dāng)于兩個(gè)結(jié)論，都需要從兩個(gè)方向去證明.證明：（充分性）若存在實(shí)數(shù)、，使得，其中，則，則，則，因此、三點(diǎn)共線(xiàn). （必要性）如果、三點(diǎn)共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)，使得在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，則有，即，令

3、，則存在實(shí)數(shù)、，使得，其中比如下面的例題與練習(xí)，充分體現(xiàn)了向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理的魔力，學(xué)完練完再來(lái)回味.例1 在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)、于不同的兩點(diǎn)、，若=，=，則的值為 解析：連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以有.又因?yàn)?、三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，故例2 如圖所示，點(diǎn)是的重心，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且、三點(diǎn)共線(xiàn)設(shè)，證明：是定值.證明：是的重心又、三點(diǎn)共線(xiàn)為定值3再練習(xí)兩道經(jīng)典題目吧?。ù鸢冈诰W(wǎng)上可以找到.）練習(xí)1 （2006年湖南高考題）如圖，點(diǎn)在由射線(xiàn)，線(xiàn)段及的延長(zhǎng)線(xiàn)圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實(shí)數(shù)對(duì)可能的取值是（ ）A BCD練習(xí)2 如圖所示，在中，和交于點(diǎn)，設(shè)，以、為基底表示二、平面向量與

4、三角形的形狀三角形根據(jù)最大角的取值可分為鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形，根據(jù)三條邊的長(zhǎng)短情況可分為等邊三角形、不等邊的等腰三角形、三邊各不相等的三角形.如何用平面向量表示多姿多彩的三角形形狀呢？先看下面的例題：（一）直角三角形例3 已知滿(mǎn)足，則是（ ）A. 等邊三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形解析：在中， 是直角三角形（二）等邊三角形例4 已知非零向量與滿(mǎn)足且，則為（ ）A.等比三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.三邊各不相等的三角形解析：因?yàn)?，即的平分線(xiàn)與垂直，所以三角形是等腰三角形又因?yàn)?，所?60°，所以是等邊三角形（三）鈍角三角形例5 在中，

5、若，則的形狀是（ ）A. 鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不確定解析：90°為鈍角三角形（四）等腰三角形例6 在中，若，則為（ ）A.等腰三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D.不能判斷解析：由，得，則，即，所以為等腰三角形.（五）銳角三角形例7 在中，若，則為（ ）A.等腰三角形B.等邊三角形 C.直角三角形 D.不等邊的銳角三角形解析：令，其中，又，同理，解得，可見(jiàn)、各不相等，且最大，最大角是銳角，因此為銳角三角形.通過(guò)上述5道例題，可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)向量關(guān)系式，可以判斷三角形的形狀.由向量關(guān)系式推出兩個(gè)向量垂直，則為直角三角形；推出兩個(gè)向量的夾角為鈍角，則為鈍角三角形

6、；推出兩個(gè)向量的模相等，則為等腰三角形；若推出三邊都相等，或者兩邊相等且一個(gè)角為60°，則為等邊三角形；推出最大邊對(duì)應(yīng)的最大角為銳角，則為銳角三角形.當(dāng)你系統(tǒng)掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)與思想方法，下面所給的兩道經(jīng)典練習(xí)，可以讓你感受到已熟悉各種題型后的游刃有余.練習(xí)3 已知，則的形狀是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形練習(xí)4 在中，是邊中點(diǎn)，角、的對(duì)邊分別是、，若，則的形狀是（ ）A.等邊三角形B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形三、平面向量與三角形的“心”們?nèi)切斡泻芏嘈?，比如重心、垂心、?nèi)心、外心、旁心等，這些“心”的問(wèn)題讓許多沒(méi)有學(xué)多少幾何的同學(xué)傷

7、透了“心”！與平面向量的結(jié)合更讓許多同學(xué)覺(jué)得撲朔迷離！筆者帶你去揭開(kāi)她們的神秘面紗，一睹她們的真容?。ㄒ唬┲匦乃^重心，和物理中的重心是一致的，當(dāng)三角形是一塊規(guī)則且密度均勻的三角板時(shí)，可以用懸掛法確定其重心，即三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，因此得名.重心與平面向量相關(guān)的常用結(jié)論有下面三條，而這些結(jié)論往往改編成考試題出現(xiàn)：（1）是的重心.證法1：設(shè)，那么 是的重心.證法2：如圖所示，三點(diǎn)共線(xiàn)，且分為2:1是的重心.（2）P是所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，G是的重心.證明：已知，即，那么G是的重心.（3）已知是平面上一定點(diǎn)，、是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡一定通過(guò)的重心.證明：設(shè)是的重心且又，即、三點(diǎn)共線(xiàn)

8、的軌跡一定通過(guò)的重心（的軌跡其實(shí)就是不含端點(diǎn)的射線(xiàn)）（二）垂心顧名思義，垂心難道和垂直存在著某種關(guān)系？的確是這樣的，三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)便是垂心.垂心與平面向量相關(guān)的常用結(jié)論有下面兩條：（1）為的垂心.證明：如圖所示是的垂心，垂直，垂直，、是垂足，那么同理，為的垂心.（2）已知是平面上一定點(diǎn)，、是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心證明： 且又 的軌跡一定通過(guò)的垂心（設(shè)是的垂心，的軌跡其實(shí)就是不含端點(diǎn)的射線(xiàn)）（三）內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡(jiǎn)稱(chēng)為內(nèi)心.那又為何是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)呢？既然是三角形內(nèi)切圓的圓心，那么該圓心到三角形三邊的距離相等，因此借助角平分線(xiàn)逆定理，得到該圓

9、心在三角形的三條角平分線(xiàn)上，即內(nèi)心也是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn).（1）設(shè)、為三角形的三條邊長(zhǎng)，那么的充要條件是為的內(nèi)心.先證若，則為的內(nèi)心.證明：易知，與分別為和方向上的單位向量，且，那么平分，同理可證平分，平分是的內(nèi)心再證若為的內(nèi)心，則.證明：記、分別為、上的單位向量，記、，記內(nèi)切圓的半徑為.令，則，同理，由于三個(gè)單位向量、不共線(xiàn)，那么只能.因此.（2）是的內(nèi)心的充要條件是.這個(gè)很容易證明，表示三角形的外角平分線(xiàn)上的向量，那么內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)又互相垂直，因此，其它同理可證.（3）是的內(nèi)心的充要條件是.借助正弦定理，即可證明.（4）已知是平面上一定點(diǎn)，、是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，

10、則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心這個(gè)證明過(guò)程類(lèi)似重心的第（3）條結(jié)論的證明，而且更為簡(jiǎn)單.（四）外心三角形外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱(chēng)便是外心.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在外接圓上，那么外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離自然相等，根據(jù)中垂線(xiàn)逆定理，便得出此圓心在三角形的三邊中垂線(xiàn)上，即外心也是三角形三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn).（1）為的外心.（2）若是的外心，則.這個(gè)結(jié)論就是近幾年流行的著名網(wǎng)紅定理，人們都稱(chēng)它為平面向量“奔馳”定理，看上圖便知為何取這個(gè)名字！怎么證明呢？證明：如下圖所示，延長(zhǎng)交外接圓，過(guò)點(diǎn)作、的平行線(xiàn)分別交射線(xiàn)、于點(diǎn)、.令.，則，同理.由，得，整理得.又由，得.因此，.證畢.，故平面向量“奔馳”定理也可以寫(xiě)成：“若是的外心

11、，則.”（3）已知是平面上的一定點(diǎn)，、是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心.這個(gè)證明思路同垂心的第（2）條結(jié)論的證明，讀者可以自己試一試.練習(xí)5已知三個(gè)頂點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：，則的值為（ ）A2 B C3 D6 練習(xí)6 是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，若，則是的（ ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心（五）歐拉線(xiàn)筆者在古今立體幾何趣論幾則前面公眾號(hào)一文中，提到過(guò)歐拉，他是瑞士人，歷史上著作最多的數(shù)學(xué)家，以他名字命名的公式、定理多次出現(xiàn)在初高等數(shù)學(xué)和物理教材中.這里，再來(lái)學(xué)習(xí)研究一種以“歐拉”命名由歐拉發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，它與我們剛剛研究的重心、垂心、外心有關(guān)：

12、（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線(xiàn)“歐拉線(xiàn)”；（2）三角形的重心，是外心與垂心連線(xiàn)段上且與外心近的三等分點(diǎn).第（1）個(gè)結(jié)論關(guān)于三點(diǎn)共線(xiàn)，第（2）個(gè)結(jié)論是關(guān)于長(zhǎng)度關(guān)系，那么如何證明這兩個(gè)結(jié)論呢？如果借助既有方向又有長(zhǎng)度的向量，是不是一箭雙雕、一舉兩得呢？試一試吧，于是把上述兩個(gè)結(jié)論合并成一個(gè)這樣的命題：若、分別是ABC的外心、重心、垂心，則.證法一：由重心的第（2）個(gè)結(jié)論可知，所以只需要證明即可.如上圖所示，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接、.，同理，四邊形是平行四邊形，.又，.因此，證畢.證法一是幾何法，下面的證法二則是解析法.證法二：以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，分別為的中點(diǎn)，則有，由題設(shè)可設(shè)，則.，.即，故、三點(diǎn)共線(xiàn)，且.四、平面向量與三角形的面積三角形的面積公式有很多種，甚至可以用向量或向量的坐標(biāo)來(lái)表示：公式1：在中，則的面積.證明：在中，.又由的面積，.公式2：在中，且，則的面積.這個(gè)證明不難，利用綜合法，即證.公式3：平面上、三點(diǎn)不共線(xiàn)，設(shè)，則的面積.證明：設(shè)，的夾角為，則，.練習(xí)7已知是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積為（