有限元原理基礎(chǔ)知識(shí)

1、有限元原理基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)思路:    有限元原理是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法，它的理論基礎(chǔ)仍然是彈性力學(xué)的變分原理。在有限元方法中，試函數(shù)的選取不是整體的，而是在彈性體內(nèi)分區(qū)（單元）完成的，因此試函數(shù)形式簡(jiǎn)單統(tǒng)一。    有限元原理將單元內(nèi)部位移用節(jié)點(diǎn)位移表示，這可以使用插值函數(shù)構(gòu)造單元位移函數(shù)。并且通過(guò)單元位移描述單元的應(yīng)力和應(yīng)變分量。通過(guò)最小勢(shì)能原理建立單元位移與單元節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系，構(gòu)造單元平衡方程。對(duì)于由單元集合得到的彈性體整體，應(yīng)用最小勢(shì)能原理構(gòu)造整體平衡方程。這個(gè)方程是一個(gè)線性方程組，求解可以得到彈性體的位移，以及

2、單元的應(yīng)力和應(yīng)變分量。    近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得以有限元原理為代表的計(jì)算力學(xué)的迅速發(fā)展，改變了彈性力學(xué)理論在工程應(yīng)用領(lǐng)域的處境。特別是以計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力為后盾開(kāi)發(fā)的大型通用有限元程序，目前已經(jīng)成為工程技術(shù)人員手中強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析工具。    如果你需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)有限元方法的理論和應(yīng)用，請(qǐng)查閱參考資料。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：    1. 有限元原理與變分原理的關(guān)系；    2. 有限元原理的基本概念；    3. 單元與單元位移

3、確定；    4. 有限元單元分析；    5. 有限元整體分析。彈性力學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是求解偏微分方程的邊值問(wèn)題。由于偏微分方程邊值問(wèn)題的復(fù)雜性，只能采取各種近似方法或者漸近方法求解。變分原理就是將彈性力學(xué)的基本方程偏微分方程的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程求解的一種方法。    有限元原理是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的結(jié)構(gòu)數(shù)值分析方法，它的理論基礎(chǔ)仍然是彈性力學(xué)的變分原理。那么，為什么變分原理在工程上的應(yīng)用有限，而有限元原理卻應(yīng)用廣泛。有限元原理與一般的變分原理求解方法有什么不同呢。問(wèn)題在于變分原理用于彈性體分析時(shí)，

4、不論是瑞利-里茨法還是伽遼金法，采用整體建立位移試函數(shù)或者應(yīng)力試函數(shù)的方法。由于試函數(shù)要滿足一定的條件，導(dǎo)致對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題求解仍然困難重重。    有限元方法選取的試函數(shù)不是整體的，而是在彈性體內(nèi)分區(qū)（單元）完成的，因此試函數(shù)形式簡(jiǎn)單統(tǒng)一。當(dāng)然，這使得轉(zhuǎn)換的代數(shù)方程階數(shù)比較高。但是，面對(duì)強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)處理能力，線性方程組的求解不再有任何困難。因此，有限元原理成為目前工程結(jié)構(gòu)分析的重要工具。    近年來(lái)，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得有限元方法首先在彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)。以有限元方法為代表

5、的計(jì)算力學(xué)的發(fā)展，迅速改變了彈性力學(xué)理論和方法在工程應(yīng)用領(lǐng)域的處境。以計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力為后盾開(kāi)發(fā)的大型通用有限元程序，可以求解數(shù)十萬(wàn)自由度的線性代數(shù)方程組，目前已經(jīng)成為工程技術(shù)人員手中強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析工具。在此基礎(chǔ)之上，CAD, CAE等技術(shù)的應(yīng)用使得計(jì)算機(jī)不僅成為數(shù)值分析的工具，而且成為設(shè)計(jì)分析的工具。變分原理實(shí)際是把求解偏微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解某一泛函的最小值問(wèn)題。例如對(duì)于最小勢(shì)能原理，變分方程除了滿足給定的位移邊界條件之外，等價(jià)于平衡微分方程和面力邊界條件。當(dāng)然這個(gè)轉(zhuǎn)換過(guò)程的實(shí)質(zhì)是在能量基礎(chǔ)上對(duì)于邊界條件的放松。因此，最小勢(shì)能原理和偏微分方程邊值問(wèn)題僅僅是形式的不同，實(shí)質(zhì)是相同的。

6、    本節(jié)將從位移變分方程引出有限元方法的基本概念。對(duì)于最小勢(shì)能原理，物體的總勢(shì)能為用矢量形式表達(dá)    如果將物體分解為若干個(gè)有限尺寸的單元，則物體總勢(shì)能為所有單元體總勢(shì)能的和。有其中e為單元序號(hào)，m為單元總數(shù)。而任意一個(gè)單元體的總勢(shì)能為    這里Ve,(Ss)e分別表示第e個(gè)單元的體積和面力邊界。顯然如果選取的位移試函數(shù)是連續(xù)的，物體的總勢(shì)能可以用單元總勢(shì)能的和表示。有限元分析中，物體的位移是由單元位移確定的，因此位移連續(xù)需要分單元選取的位移試函數(shù)保證單元的邊界位移與所有相鄰單元位移相同

7、。有限元原理就是采用分單元選取位移函數(shù)，而選取的位移函數(shù)在彈性體內(nèi)又是連續(xù)的這一基本思想的變分方法。所以有限元方法的理論基礎(chǔ)是最小勢(shì)能原理。當(dāng)然，這一思想同樣可以應(yīng)用于最小余能原理，乃至廣義變分原理等。    本節(jié)僅就最小勢(shì)能原理推導(dǎo)有限元方法的概念，對(duì)有限元方法有興趣的讀者可以參考相關(guān)文獻(xiàn)。下面以平面問(wèn)題為例說(shuō)明有限元方法的基本思想。   假設(shè)一個(gè)有一定形狀并且占有一定區(qū)域的平面，將其化分為若干個(gè)有限尺寸的三角形單元體的離散體。各個(gè)單元體相互之間在三角形頂點(diǎn)（單元節(jié)點(diǎn)）鉸接。對(duì)于任意一個(gè)三角形單元，設(shè)其節(jié)點(diǎn)為i，j，m，單元的節(jié)點(diǎn)位

8、移為    單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的六個(gè)位移分量用矩陣表示為    上式中，e表示單元。現(xiàn)在的問(wèn)題是將單元內(nèi)部位移用節(jié)點(diǎn)位移表示，這可以使用插值函數(shù)構(gòu)造單元位移場(chǎng)。對(duì)于平面問(wèn)題，有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)造線性位移函數(shù)。設(shè)    上述位移函數(shù)應(yīng)該能夠描述單元體節(jié)點(diǎn)位移，所以    求解上述公式，可將ai和bi 用節(jié)點(diǎn)位移ui和vi表示?；卮灰票磉_(dá)式，整理可得    插值函數(shù)為     

9、;         其中為三角形單元的面積，有  ,  而  。單元位移插值函數(shù)確定后，可以根據(jù)幾何方程確定單元的應(yīng)變分量    寫作矩陣形式，即  ，其中B 稱為應(yīng)變矩陣對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，由本構(gòu)關(guān)系可得應(yīng)力分量,其中C 稱為彈性矩陣，有    因此可得應(yīng)力分量與位移動(dòng)關(guān)系為，其中D 稱為應(yīng)力矩陣。    顯然，上述公式描述的單元應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)，可以看作是單元節(jié)點(diǎn)力作用的結(jié)果，節(jié)點(diǎn)力與單

10、元邊界上的應(yīng)力必須是靜力等效的。節(jié)點(diǎn)力寫作矩陣形式    因此單元的總勢(shì)能為                。    總勢(shì)能表達(dá)式中的單元體力和邊界面力等外力均轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)力。因此，總勢(shì)能的一階變分為    令總勢(shì)能的一階變分為零，則        。其中 。稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕瑢懽髯雨囆问剑?/p>

11、有其中                             彈性體的總勢(shì)能是所有單元總勢(shì)能的和，即。對(duì)于彈性體的總勢(shì)能作一階變分，有    令總勢(shì)能的一階變分為零，并且注意到單元的節(jié)點(diǎn)位移與彈性體節(jié)點(diǎn)位移相同，而單元的節(jié)點(diǎn)力之和等于彈性體外力的節(jié)點(diǎn)力，則整理可得上式即有限元原理的整體平

12、衡方程，其中K 稱為整體剛度矩陣，F(xiàn) 稱為整體節(jié)點(diǎn)力列陣，              因此，有限元原理就是利用在單元內(nèi)部的構(gòu)造位移試函數(shù)，根據(jù)單元和整個(gè)彈性體總勢(shì)能最小的原則確定位移場(chǎng)。不難看出這與位移變分方程的類似之處，只是位移變分方程需要整體確定位移試函數(shù)，而有限元原理是在單元內(nèi)部根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)位移確定的。因此有限元原理適應(yīng)幾乎任何形狀的彈性體。    盡管有限元原理選取的位移函數(shù)屬于簡(jiǎn)單函數(shù)，但是可以證明分析是收斂的，因此隨著單元的逐漸減小，計(jì)算模型趨于原結(jié)構(gòu)，因此計(jì)算精度可以保證的。下面給出有限元分析的主要過(guò)程：    1. 建立計(jì)算模型（結(jié)構(gòu)離散化，劃分單元，