幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用舉例

1、幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用舉例高二數(shù)學(xué)組 劉中維在圓錐曲線方程這一章中，一些曲線的圖像、性質(zhì)都比較抽象，學(xué)生難以理解和接受，如雙曲線的漸進(jìn)線、圓錐曲線的離心率與開都的關(guān)系、一些數(shù)形結(jié)合的題目等，只憑學(xué)生的想象力是很難理解掌握有關(guān)圖像的性質(zhì)和圖像之間的相互關(guān)系的，若我們只借助尺規(guī)作圖的方法畫圖，一般難以達(dá)到滿意的效果，還容易把圖像畫錯(cuò)。但若我們能利用幾何畫板精確的畫圖功能、動(dòng)畫功能加以演示，將能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生的理解，提高學(xué)生對(duì)平面圖形的想象思維能力，起到事半功倍的作用。下面舉幾個(gè)用幾何畫板解決圓錐曲線問題的例子。一、在“幾何畫板”中作直線與圓錐曲線的交點(diǎn)在“幾何畫板”中可以直接作出

2、直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓的交點(diǎn)以及圓與圓的交點(diǎn)但不能直接作出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)本文介紹直線與圓錐曲線的交點(diǎn)制作、制作原理，該制作過程適合三種圓錐曲線首先是三個(gè)工具的制作：工具一 已知直線，在圓錐曲線上，求作直線與圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)(以橢圓為例)作圖過程 在橢圓上任取4個(gè)點(diǎn)，作與交于點(diǎn)，作與交于點(diǎn)，作與的交點(diǎn)，作與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)就是直線與橢圓的交點(diǎn)（如圖1）圖1 圖2制作成工具（命名為工具一）就可以直接使用，先決條件是圓錐曲線、點(diǎn)、點(diǎn)，不需要其它的，適合橢圓、雙曲線、拋物線制作原理 任意圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊的交點(diǎn)、共線（以橢圓為例，如圖2）（帕斯卡定理）工具二 過圓錐曲線外一點(diǎn)

3、作兩條切線圖4圖5圖6圖6 作圖過程2.1 若為橢圓外任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作輔助圓，以為圓心，為半徑作圓與輔助圓交于點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，則為所求的切線，與的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖4）作圖過程2.2 若為雙曲線外任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作輔助圓，以為圓心，為半徑作圓與輔助圓交于點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)，為所求的切線 與的交點(diǎn)、與的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖5） 作圖過程2.3 若為拋物線外任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，為所求的切線過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與的交點(diǎn)、過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖6）把過圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條切線的過程制作成工具，需要說明的是要分成兩

4、個(gè)工具：（1）對(duì)于橢圓雙曲線，工具先決條件是兩個(gè)焦點(diǎn)、長度的線段、點(diǎn)；（2）對(duì)于拋物線，工具的先決條件是焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，點(diǎn)；為了敘述方便，統(tǒng)一稱之為工具二工具三 已知點(diǎn)不在圓錐曲線上，求作點(diǎn)的極線(有關(guān)極點(diǎn)、極線問題在高等幾何中有詳細(xì)地說明，此處利用的是它們的性質(zhì))作圖過程 在圓錐曲線上任取兩點(diǎn)，利用工具一作直線與圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，連結(jié)交于，交于，就得到了點(diǎn)的極線（如圖7）；如果點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)也按此法，因?yàn)閳A錐曲線內(nèi)接四邊形中，點(diǎn)的極線是，點(diǎn)的極線是，點(diǎn)的極線是制作成工具(命名為工具三) ，先決條件是圓錐曲線、點(diǎn)圖8圖7圖9 作圖問題 已知兩點(diǎn)不在圓錐曲線上，求作與圓錐曲線的交點(diǎn)（1）利用工具

5、三作出點(diǎn)的極線，（如圖8、圖9兩種情況）；（2）同理利用工具三作出點(diǎn)的極線，兩條極線相交于點(diǎn)； 圖10 圖11（3）利用工具二，過點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線（如圖10、圖11）；（4）兩切線與直線相交得到交點(diǎn)即為所求交點(diǎn)以上過程亦可制作成工具制作原理 要想得到直線與圓錐曲線相交的交點(diǎn)，只要能預(yù)先作出以交點(diǎn)為切點(diǎn)的兩條切線就可以了，設(shè)兩切線相交于點(diǎn)，而過點(diǎn)作圓錐曲線的切線問題已經(jīng)由作圖問題二解決；這個(gè)點(diǎn)其實(shí)是直線的極點(diǎn)，根據(jù)極線和極點(diǎn)的“點(diǎn)在點(diǎn)的極線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的極線也繞點(diǎn)而轉(zhuǎn)動(dòng)”這一性質(zhì)，我們知道點(diǎn)也是由兩點(diǎn)的極線的交點(diǎn)來確定二、和兩圓都相切的圓心的軌跡（一）、制作結(jié)果如圖：單擊“動(dòng)畫”按鈕，D點(diǎn)

6、在圓周上運(yùn)動(dòng)，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發(fā)生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會(huì)改變，甚至不是雙曲線，您想試試？（二）、思路分析如果按尺規(guī)作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時(shí)外切、內(nèi)切、一內(nèi)一外。幾何畫板號(hào)稱動(dòng)態(tài)幾何，其構(gòu)造的思路會(huì)復(fù)雜嗎？我們先來看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點(diǎn)D，求作一圓和兩已知圓都外切?？纯聪聢D，是如何確定圓心C的？分析作圖步驟：（三）、操作步驟1、  構(gòu)造兩已知圓的半徑  畫一條水平直線AB，在直線上畫三點(diǎn)C、D、E；隱藏點(diǎn)A、B。畫線段（D，C）(D，E),并把線段DC和

7、線段DE的標(biāo)簽分別改為R、r（想一想為什么在直線上畫點(diǎn)，而不直接畫線段）           2、  構(gòu)造圓心  畫一條水平直線FG，隱藏點(diǎn)F、G在直線上畫點(diǎn)H、I（這兩點(diǎn)就是已知圓的圓心）3、  構(gòu)造已知圓  畫圓（H，線段R）畫圓（I，線段r）4、  構(gòu)造輔助圓  畫直線（I，J），其中J為圓I上任一點(diǎn)J畫圓（J，線段R）畫圓J和直線IJ的交點(diǎn)為L。5、  構(gòu)造所求圓 作線段（H，L）作線段HL的中垂線作直線IJ和中垂線的交點(diǎn)K作圓（K，J）6、  作軌跡（K，J）7、  作J點(diǎn)的動(dòng)畫8、  隱藏輔助線，修飾課件。（四）、拓展研究通過移動(dòng)點(diǎn)C、E、H、I，改變兩已知圓的