幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用舉例

1、幾何畫板在圓錐曲線中的應(yīng)用舉例高二數(shù)學(xué)組 劉中維在圓錐曲線方程這一章中，一些曲線的圖像、性質(zhì)都比較抽象，學(xué)生難以理解和接受，如雙曲線的漸進(jìn)線、圓錐曲線的離心率與開都的關(guān)系、一些數(shù)形結(jié)合的題目等，只憑學(xué)生的想象力是很難理解掌握有關(guān)圖像的性質(zhì)和圖像之間的相互關(guān)系的，若我們只借助尺規(guī)作圖的方法畫圖，一般難以達(dá)到滿意的效果，還容易把圖像畫錯。但若我們能利用幾何畫板精確的畫圖功能、動畫功能加以演示，將能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生的理解，提高學(xué)生對平面圖形的想象思維能力，起到事半功倍的作用。下面舉幾個用幾何畫板解決圓錐曲線問題的例子。一、在“幾何畫板”中作直線與圓錐曲線的交點在“幾何畫板”中可以直接作出

2、直線與直線的交點，直線與圓的交點以及圓與圓的交點但不能直接作出直線與圓錐曲線的交點本文介紹直線與圓錐曲線的交點制作、制作原理，該制作過程適合三種圓錐曲線首先是三個工具的制作：工具一 已知直線，在圓錐曲線上，求作直線與圓錐曲線的另一個交點(以橢圓為例)作圖過程 在橢圓上任取4個點，作與交于點，作與交于點，作與的交點，作與直線的交點，則點就是直線與橢圓的交點（如圖1）圖1 圖2制作成工具（命名為工具一）就可以直接使用，先決條件是圓錐曲線、點、點，不需要其它的，適合橢圓、雙曲線、拋物線制作原理 任意圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的三組對邊的交點、共線（以橢圓為例，如圖2）（帕斯卡定理）工具二 過圓錐曲線外一點

3、作兩條切線圖4圖5圖6圖6 作圖過程2.1 若為橢圓外任意一點，以為圓心，為半徑作輔助圓，以為圓心，為半徑作圓與輔助圓交于點，分別取、的中點，則為所求的切線，與的交點、與的交點為對應(yīng)切點（如圖4）作圖過程2.2 若為雙曲線外任意一點，以為圓心，為半徑作輔助圓，以為圓心，為半徑作圓與輔助圓交于點，分別取、的中點，為所求的切線 與的交點、與的交點為對應(yīng)切點（如圖5） 作圖過程2.3 若為拋物線外任意一點，以為圓心，為半徑作圓與準(zhǔn)線交于點，分別取的中點，為所求的切線過點作準(zhǔn)線的垂線與的交點、過點作準(zhǔn)線的垂線與的交點為對應(yīng)切點（如圖6）把過圓錐曲線外一點作兩條切線的過程制作成工具，需要說明的是要分成兩

4、個工具：（1）對于橢圓雙曲線，工具先決條件是兩個焦點、長度的線段、點；（2）對于拋物線，工具的先決條件是焦點，準(zhǔn)線，點；為了敘述方便，統(tǒng)一稱之為工具二工具三 已知點不在圓錐曲線上，求作點的極線(有關(guān)極點、極線問題在高等幾何中有詳細(xì)地說明，此處利用的是它們的性質(zhì))作圖過程 在圓錐曲線上任取兩點，利用工具一作直線與圓錐曲線的另一個交點，連結(jié)交于，交于，就得到了點的極線（如圖7）；如果點在圓錐曲線內(nèi)也按此法，因為圓錐曲線內(nèi)接四邊形中，點的極線是，點的極線是，點的極線是制作成工具(命名為工具三) ，先決條件是圓錐曲線、點圖8圖7圖9 作圖問題 已知兩點不在圓錐曲線上，求作與圓錐曲線的交點（1）利用工具

5、三作出點的極線，（如圖8、圖9兩種情況）；（2）同理利用工具三作出點的極線，兩條極線相交于點； 圖10 圖11（3）利用工具二，過點作圓錐曲線的兩條切線（如圖10、圖11）；（4）兩切線與直線相交得到交點即為所求交點以上過程亦可制作成工具制作原理 要想得到直線與圓錐曲線相交的交點，只要能預(yù)先作出以交點為切點的兩條切線就可以了，設(shè)兩切線相交于點，而過點作圓錐曲線的切線問題已經(jīng)由作圖問題二解決；這個點其實是直線的極點，根據(jù)極線和極點的“點在點的極線上移動時，點的極線也繞點而轉(zhuǎn)動”這一性質(zhì)，我們知道點也是由兩點的極線的交點來確定二、和兩圓都相切的圓心的軌跡（一）、制作結(jié)果如圖：單擊“動畫”按鈕，D點

6、在圓周上運動，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發(fā)生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會改變，甚至不是雙曲線，您想試試？（二）、思路分析如果按尺規(guī)作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時外切、內(nèi)切、一內(nèi)一外。幾何畫板號稱動態(tài)幾何，其構(gòu)造的思路會復(fù)雜嗎？我們先來看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點D，求作一圓和兩已知圓都外切?？纯聪聢D，是如何確定圓心C的？分析作圖步驟：（三）、操作步驟1、  構(gòu)造兩已知圓的半徑  畫一條水平直線AB，在直線上畫三點C、D、E；隱藏點A、B。畫線段（D，C）(D，E),并把線段DC和

7、線段DE的標(biāo)簽分別改為R、r（想一想為什么在直線上畫點，而不直接畫線段）           2、  構(gòu)造圓心  畫一條水平直線FG，隱藏點F、G在直線上畫點H、I（這兩點就是已知圓的圓心）3、  構(gòu)造已知圓  畫圓（H，線段R）畫圓（I，線段r）4、  構(gòu)造輔助圓  畫直線（I，J），其中J為圓I上任一點J畫圓（J，線段R）畫圓J和直線IJ的交點為L。5、  構(gòu)造所求圓 作線段（H，L）作線段HL的中垂線作直線IJ和中垂線的交點K作圓（K，J）6、  作軌跡（K，J）7、  作J點的動畫8、  隱藏輔助線，修飾課件。（四）、拓展研究通過移動點C、E、H、I，改變兩已知圓的