一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用

1、一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用一、知識要點(diǎn)： 1.  一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式=b2-4ac。 定理1  ax2+bx+c=0(a0)中，0方程有兩個不等實(shí)數(shù)根. 定理2  ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有兩個相等實(shí)數(shù)根.定理3  ax2+bx+c=0(a0)中，0方程沒有實(shí)數(shù)根. 2、根的判別式逆用（注意：根據(jù)課本“反過來也成立”）得到三個定理。定理4  ax2+bx+c=0(a0)中，方程有兩個不等實(shí)數(shù)根0.定理5  ax2+bx+c=0(a0)中，方

2、程有兩個相等實(shí)數(shù)根0.定理6  ax2+bx+c=0(a0)中，方程沒有實(shí)數(shù)根0. 注意：（1）再次強(qiáng)調(diào)：根的判別式是指=b2-4ac。（2）使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。(3)如果說方程有實(shí)數(shù)根，即應(yīng)當(dāng)包括有兩個不等實(shí)根或有兩相等實(shí)根兩種情況，此時(shí)b2-4ac0切勿丟掉等號。(4)根的判別式b2-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a0. 二.根的判別式有以下應(yīng)用：   不解一元二次方程，判斷根的情況。 例1  不解方程，判斷下列方程的根的情況

3、： (1)         2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0)    解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,  =b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0  方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 (2)a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零， =(-b)2-4·a·0=b2, 無論b取任何關(guān)

4、數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù)，0，故方程有兩個實(shí)數(shù)根。    根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍。例2k的何值時(shí)？關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根； 分析：由判別式定理的逆定理可知（1）0；（2）=0；（3）0； 解：=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k （1）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，  0，即36-4k0.解得k9 （2）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，  =0，即36-4k=0.解得k=9（3）方程有兩個不相

5、等的實(shí)數(shù)根，  <0，即36-4k<0.解得k>9   證明字母系數(shù)方程有實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。 例3求證方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。  分析：先求出關(guān)于x的方程的根的判別式，然后只需說明判別式是一個負(fù)數(shù)，就證明了該方程沒有實(shí)數(shù)根。  證明：=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2 不論m取任何實(shí)數(shù)(m2+2)2>0, -4(m2+2)2<0

6、, 即<0. 關(guān)于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。  小結(jié)：由上面的證明認(rèn)清證明的格式歸納出證明的步驟： （1）計(jì)算（2）用配方法將恒等變形（3）判斷的符號（4）結(jié)論.其中難點(diǎn)是的恒等變形，一般情況下配方后變形后為形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代數(shù)式，從而判定正負(fù)，非負(fù)等情況。   應(yīng)用根的判別式判斷三角形的形狀。 例4已知：a、b、c為ABC的三邊，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根。求證ABC為Rt。

7、 證明：整理原方程： 方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0. 整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0 (c+b)x2-2ax +cm-bm=0 根據(jù)題意： 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根， =(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0 4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0 ma2-c2m+b2m=0 =m(a2+b2-c2)=0 又 m>0,a2+b2-c2=0a2+b2=c2又a,b,c為ABC的三邊，ABC為Rt。   

8、  判斷當(dāng)字母的值為何值時(shí)，二次三項(xiàng)是完全平方式 例5、（1）若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式16a2+ka+25是一個完全平方式則k的值可能是（ ）; （2）若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式ka2+4a+1是一個完全平方式則k的值可能是（）;分析：可以令二次三項(xiàng)等于0，若二次三項(xiàng)是完全平方式，則方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。即=0 解：（1）令16a2+ka+1=0 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，  =k2-4×16×25=0k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，=16-4k=0  k=4  可以判斷拋

9、物線與直線有無公共點(diǎn)例6:當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線與直線y=x2m只有一個公共點(diǎn)？ 消去y并整理得x2+x-m-1=0 ，拋物線與直線只有一個交點(diǎn)， 0，即4m+5=0           (  說明：直線與拋物線的交點(diǎn)問題也可歸納為方程組的解的問題。)   可以判斷拋物線與x軸有幾個交點(diǎn) 分析：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)  （）當(dāng)y=0時(shí)，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx

10、+c=0。可見，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)是由對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況確定的，而決定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點(diǎn)有如下三種情形：      當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，若此時(shí)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，則拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0）（x2，0）。    當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)，此時(shí)的交點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，其坐標(biāo)是（）。    當(dāng) 時(shí)

11、，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。 例7、判定下列拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)： （）（） （）  解：（）16-12=4>0    拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)。 （）36-36=0      拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)。 （）4-16=-12<0   拋物線與x軸無公共點(diǎn)。例8、已知拋物線 （）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x軸有兩個公共點(diǎn)？ （）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x軸只有一個公共點(diǎn)？并求出這個公共點(diǎn)的坐標(biāo)。 （

12、）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x軸沒有公共點(diǎn)？ 解：令y=0，則4-4(m-1)= -4m+8  (1)拋物線與x軸有兩個公共點(diǎn)，>0，即 4m+8>0       m<2 (2)拋物線和x軸只有一個公共點(diǎn)，0，即 4m+8=0    m=2  當(dāng)m=2時(shí)，方程可化為，解得x1=x2= -1，拋物線與x軸公共點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）。 (3)拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，<0，即4m+8<0，m>2  當(dāng)m>2時(shí)，拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)。   利用根的判別式解有關(guān)拋物線（>0）與x軸兩交點(diǎn)間的距離的問題. 分析:拋物線 （&g