初三一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法一、結(jié)構(gòu)特殊的直接開平方法利用平方根的定義，直接開平方求一元二次方程的根的方法叫做直接開平方法直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義形如或的方程可以直接運用“直接開平方法”求解例1解方程解：，例2解方程解：，有的方程可以通過整理，變形化為形如或的形式后，再采用直接開平方法來解例3解方程解：，例4解方程解：，通過以上例子，我們可以歸納出運用“直接開平方法”解一元二次方程的一般步驟：1將方程化為或的形式；2兩邊開平方，得或這里要特別注意的條件若，則方程無實數(shù)根，只有當(dāng)時，方程才有實數(shù)根，而運用“直接開平方法”解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將方程化為或的形式 練習(xí)：用直接開平方法一元二次方程：19

2、x2-250；2(3x+2)2-40； 4(2x+3)23(4x+3) 二、法力無邊的配方法把一個式子或一個式子的某一部分化成完全平方式或幾個完全平方式的和、差形式，這種方法叫“配方法”“直接開平方法”告我們根據(jù)完全平方公式可以將一元二次方程化為形如的形式后求解，這就自然而然地導(dǎo)出了另一種解一元二次方程的解法 “配方法”它的理論依據(jù)是完全平方公式例5解方程解：方程兩邊都除以2，得，移項，得，配方，得，即開方，得通過本例可以歸納出用“配方法”解一元二次方程的一般步驟：1方程兩邊同除以二次項系數(shù)，化二次項系數(shù)為1；2移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；3配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一

3、半的平方，把原方程化為的形式；4若，用“直接開平方法”解出；若，則原方程無實數(shù)根即原方程無解“配方法”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅可應(yīng)用于解一元二次方程，而且在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用 練習(xí)：用配方法解一元二次方程：1 x2-4x-30； 26x2+x35；34x2+4x+17； 42x2-3x-30三、神通廣大的公式法公式法是解一元二次方程的一般方法，它是直接利用了“配方法”的結(jié)果，求根公式為例6解方程解：把該方程化為一般形式： ，通過本例可以看出，用公式法解一元二次方程的一般步驟是：1將方程化為一般形式：；2正確確定的值；3代入公式求解，若則方程有實數(shù)根，若則方程無實數(shù)解即無解練習(xí)

4、：用公式法解一元二次方程：22x2+7x-40； 3 .2y 2 -y=5 43x2+5(2x+1)=0四、簡便易行的因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，它是解一元二次方程的基本方法，它的理論依據(jù)是兩個因式的積等于零的充分必要條件是這兩個因式至少要有一個等于零，即，則，這種方法簡便易行是最常用的一種方法例7解方程解：方程左邊因式分解，得，用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：1將方程的右邊化為零；2將方程的左邊分解為兩個一次因式的積；3令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；4解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解用因式分解法解一元二次方程的關(guān)鍵是：1要將

5、方程右邊化為零；2要熟練掌握因式分解的方法練習(xí)：用因式分解法解一元二次方程：1. 2.3 4這四種方法既有區(qū)別又有聯(lián)系公式法比配方法簡單，它直接由配方法導(dǎo)出的求根公式求解，但不如直接開平方法和因式分解法快捷，具體解方程時，要根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖话沩樞驗椋合忍厥夂笠话阒苯娱_平方法因式分解法公式法沒有特別說明，一般不用配方法遇到特殊結(jié)構(gòu)或次數(shù)較高的方程，就需用到下面要講的“換元法”五、出奇制勝的換元法把一個數(shù)學(xué)式子或者其中的一部分看作一個整體，用一個中間變量去代替，從而達(dá)到繁為簡，化難為易的目的，這種方法叫“換元法”，有些一元二次方程數(shù)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，或次數(shù)較高，或字母個數(shù)過多，用常規(guī)

6、的四種一元二次方程的解法計算既繁瑣也困難，甚至根本無法求解，這時用“換元法”就會出奇制勝例8解方程解：設(shè)，則原方程可化為，即例9 解方程解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，解之，得，練?xí)：用適當(dāng)?shù)姆椒ń怅P(guān)于x的方程1、 2、 3、4、 5、 6、；7、 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-）2+x2=5 10、 11、 12、13、 14、六、一元二次方程根的兩個特性例1、先閱讀，再填空解題：(1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x1=6, x2=-2，則x1+x2=4，x1·x2=-12；(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=, x2=3，則x1+x2=，x1·x2

7、=；(3)方程3x2+6x-2=0的根是：x1= , x2= .則x1+x2= ，x1·x2= ；根據(jù)以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1+x2、x1x2與系數(shù)a、b、c有什么關(guān)系？請寫出來你的猜想并說明理由。能猜出：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為x1、x2，那么x1+x2、x1x2。理由如下：根據(jù)求根公式可知，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0且a、b、c為常數(shù)）的兩根為：，所以x1+x2=+x1x2=·也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，這個方程的兩個根與系數(shù)的關(guān)系是：兩根之和，等于方程的一次項系數(shù)除以二次項