數(shù)學(xué)中的有限和無限

1、 數(shù)學(xué)中的有限和無限 莊清清摘 要 本文主要總結(jié)了數(shù)學(xué)中有限與無限的關(guān)系，通過實(shí)例討論了無限是有限的基礎(chǔ)，無限是由有限構(gòu)成的，有限由無限組成，無限是有限的延伸，并討論了它們的質(zhì)的區(qū)別以及相互關(guān)系，為更好的理解有限和無限的關(guān)系提供了一些參考.關(guān)鍵詞 有限，無限關(guān)系1 引言“數(shù)學(xué)是講述無限的科學(xué).”這句話是代表20世紀(jì)數(shù)學(xué)界輝煌發(fā)展的著名數(shù)學(xué)家、美國普林斯頓高級研究所魏爾教授的至理名言.怎么聽起來，這話讓人感覺有些奇特而難以捉摸，但事實(shí)上數(shù)學(xué)中的無限的確蘊(yùn)含著許多令人不可思議奧秘的東西.然而，以前人們都認(rèn)為數(shù)學(xué)是有限的，直到笛卡爾引入的坐標(biāo)法以及微積分的問世之后，人們才清醒地意識到數(shù)學(xué)是從有限向無

2、限發(fā)展的.這一個發(fā)現(xiàn)，結(jié)束了初等數(shù)學(xué)年代而進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)年代.美國數(shù)學(xué)史家貝爾說“沒有一個一致的數(shù)學(xué)無限理論,就沒有無理數(shù)理論，就沒有與我們現(xiàn)在所有的即便稍許相似的、任何形式的數(shù)學(xué)分析,最后,沒有分析,像現(xiàn)在存有的大部分?jǐn)?shù)學(xué)包括幾何和大部分的應(yīng)用數(shù)學(xué)就不存在了”.由此可見,無限在現(xiàn)代科學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展領(lǐng)域中占據(jù)著十分重要的地位，甚至可以說，沒有無限的延伸，就沒有現(xiàn)代的科學(xué)數(shù)學(xué). 在我們的日常生活當(dāng)中， 我們一般都習(xí)慣了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有限性，因?yàn)槲覀兯佑|的東西大多數(shù)都可以摁摁手指或者腳趾就可以數(shù)得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盤子等等，于是無限的領(lǐng)域就像個無底洞，讓我們覺得高深莫測了，但是當(dāng)我們仔

3、細(xì)地想一想，就會清楚地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中，無限其實(shí)是由有限構(gòu)成，而有限又包含著無限，兩者相互交叉，相互聯(lián)系，就例如我們生活中最常見的一條繩子，你就可以將它剪成無數(shù)的小段一樣，另外我們大家所熟悉的自然數(shù)序列 “1，2，3，4，5，6，7，8，9，, ,”，當(dāng)你一個個數(shù)字的去數(shù)，你就會發(fā)現(xiàn)自然數(shù)序列實(shí)際上是一個永遠(yuǎn)在增長著的沒完沒了的數(shù)列，這就是所謂簡單而又讓人費(fèi)解的數(shù)學(xué)中的無限領(lǐng)域，然而，它又恰恰是由一個個有限的單位組成的. 無限是如此的神秘， “自古以來，沒有別的問題像無限這樣深深地激動過人的情緒，沒有別的想法像它這樣富有成效地?zé)òl(fā)過人的精神.同時，也沒有別的概念像它這樣迫切需要澄清” .它引發(fā)了三次

4、數(shù)學(xué)危機(jī)：第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們錯誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì).十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī).第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在1902年，羅素悖論的產(chǎn)生震撼了整個數(shù)學(xué)界，號稱天衣無縫，絕對正確的數(shù)學(xué)出現(xiàn)了自相矛盾.這三次數(shù)學(xué)危機(jī)都使人們深刻地認(rèn)識到無限的重要性.下面我們觀察一下幾個式子我們可以得到無限個數(shù)的和可以是個有限數(shù)，另外我們還學(xué)過微積分，由此我們都知道任何積分都是一個趨于無限過程的結(jié)果，各種不同的積分有不同的趨于無限過程

5、與結(jié)果.數(shù)學(xué)中的無限只有在與有限的辯證統(tǒng)一中去考慮，才能被理解，才能被運(yùn)用，而在數(shù)學(xué)上，有限與無限的轉(zhuǎn)化條件是：運(yùn)用分析運(yùn)算，微積分，極限等等手段來進(jìn)行的，數(shù)學(xué)中的有限與無限是那么的復(fù)雜，那么下面我們就來探討數(shù)學(xué)中有限與無限的區(qū)別與聯(lián)系. 2.無限是有限的基礎(chǔ)給出兩條鉛垂線，只要它們沒有交點(diǎn)，我們就認(rèn)為它們是平行的，直線在數(shù)學(xué)中是沒有明確的定義的，我們只知道，直線是可以無限的向兩端延伸的，延伸的次數(shù)沒有限制，延伸的長度也是沒有限制的，那么在地面上當(dāng)它無限延伸的時候，兩條直線必定會相交于一點(diǎn)，那就是地心，那么我們說的平行線也就是錯誤的說法了？未必，只要我們說的那兩條直線是有限的就行了，所以那是我

6、們在無限的基礎(chǔ)上說的有限.再如，投擲硬幣的概率，那是我們在熟悉不過的事情了，我們習(xí)慣說投擲一枚硬幣得到正反面的概率都是，假如我投擲硬幣十次得到3次正面, 7次反面呢, 那我說投擲硬幣得到正面的概率是，反面的概率是，你也不能說我的結(jié)果是錯誤的吧.實(shí)際上，我們平常說的概率，那是在做了無數(shù)次的實(shí)驗(yàn)后得到的近似值，都是以無限為基礎(chǔ)而得到的結(jié)果.如果沒有了無限這個基礎(chǔ)，那么我們所得到的概率也是不客觀的.有限的運(yùn)算建立在無限的基礎(chǔ)上，無限就像空氣一樣，雖然你看不到它的存在，但是你卻不能忽視它的存在，因?yàn)樗鼤r時刻刻都在我們身邊.另外， 正確嗎？ ， 又正確嗎？顯然，按照現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識理論，它是正確的，但是它

7、卻又必須要建立在無限的基礎(chǔ)上才能被認(rèn)可.3. 無限是由有限構(gòu)成的有這樣的一個故事，它是出自杰出的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)希爾伯特之口.一天夜里已經(jīng)很晚了，一個人走進(jìn)一家旅店想要住店.店主回答說：“對不起，我們沒有任何空房間，但是讓我看一下，或許我們能為你找到一個房間”.然后店主離開他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且請他們換一房間：一號房間的房客搬到二號房間，二號房間的房客搬到三號房間，三號房間的房客搬到四號房間，,如此依此類推下去，直到每個房客都搬到下一個房間為止.這時，另這個房客吃驚的是一號房間竟然被空出來了.如是他還高興的搬了進(jìn)去，然后安頓下來過了一夜.但是，有一個問題讓他百思不得其解：為什么讓

8、每個房客搬到下一個房間就會把第一個房間空出來了呢？因?yàn)檫@所旅店就是希爾伯特的旅店，它是城里一個據(jù)認(rèn)為有無數(shù)房間的旅館. 從這個故事中我們可以知道無限是由有限構(gòu)成的.每一個房間都是有限的，每個房間只可以住一個旅客，就算來了無數(shù)個的旅客也是可以入住這所旅店的.如世上的很多東西都是無限的，但組成它的部分都是有限的.我們都知道在數(shù)學(xué)中自然數(shù)是無限的，但組成自然數(shù)的每個數(shù)都是有限的，例如1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，這些數(shù)都是組成自然數(shù)的成分，但是我們眾所周知的是只有一個1，只有一個2，只有一個3也可以說無限是由有限數(shù)組成的，再如我們在數(shù)學(xué)分析中看到的調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，但它的任一部分和都是有

9、限的，只是當(dāng)時，部分和才超過任何一個指定的數(shù)，其他的發(fā)散級數(shù)通常也是這樣.數(shù)學(xué)分析中各種收斂性的判斷我們都是通過判斷部分和來判斷整體的收斂或發(fā)散.4 有限由無限組成 公元前5世紀(jì)古希臘時代，在意大利半島南部的埃利亞有一位叫芝諾的哲學(xué)家就留下一個很有意思的“二分說”論為了從自己現(xiàn)處位置A，走向門的位置B，必須通過AB的中點(diǎn).從A到AB的中點(diǎn)，其中間還有中點(diǎn)如此考慮下去，從A到B得有無窮個這類中點(diǎn).由此可見，有限的AB段即使是很短很短的一段線段也是由無數(shù)個類似的中點(diǎn)組成的. 最近在書上看到這樣的一句話，我覺得引用來這里是一個很好的例子說明有限是由無限組成 “一尺之錘，日取其半，萬世不竭” .說的就

10、是一尺之長的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，依次類推下去，你就會發(fā)現(xiàn)這僅僅一尺之長的短棍竟然取不盡. 一尺之長的短棍本是一個有限的物體，但它卻可以無限地分割下去.這就給我們講明了其實(shí)有限和無限是統(tǒng)一，有限之中有無限，有限是由無限組成的.用數(shù)學(xué)的語言去表示，那就更加的一目了然. 再如著名的康托（Cantor）集的構(gòu)造即我們所謂的三分點(diǎn)集構(gòu)造：一段長度為一米的直線段，做以下處理第一次 我們挖去一個，其長度，而余下2個，長度；第二次 我們挖去兩個，其長度，而余下個，長度；第次 我們挖去個，其長度，而余下個，長度；顯然，如此繼續(xù)下去，直到無窮次后，由于在

11、不斷地分割舍棄的過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，而長度相對越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點(diǎn)集，而這個點(diǎn)集就是一個無限集.顯然，這構(gòu)造理論再次說明了有限是由無限組成的. 再如，我們所有人都認(rèn)識的兩個簡單的自然數(shù)0和1，然而在它們之間，我們卻可以找得到無數(shù)個類似0.5，0.05，0.1，0.01這樣的數(shù)字.另外，隨意畫出一個正三角形或者正方形或者圓，在其里面，我們可以做出無數(shù)個與之相似的正三角形或者正方形或者同心圓，這就是人們常說的無限封閉在有限里面（如下圖）. 人們對數(shù)學(xué)中有限與無限的普遍認(rèn)識都是，無限怎么都比有限廣，比有限大，而無限由有限組成，但是站在不同的角度上面去看待這個問題，

12、我們就會發(fā)現(xiàn)有限其實(shí)也是由無限組成，這一觀點(diǎn)首先是由數(shù)學(xué)家們提出來的.我們說無限包含有限是無限存在于有限當(dāng)中.恩格斯說:“無限純粹是有限組成的，這一近視矛盾，可事情就是這樣.” 無限性是一個摸不著的、虛擬的東西，無限要通過有限展示出來，宇宙中的萬物都是無數(shù)具體有限的事物構(gòu)成.其次無限就是內(nèi)在于有限當(dāng)中的元素 ，辯證地思考無限，就不能僅僅停留在“無限的有限就構(gòu)成無限”這一點(diǎn)上，我們必須進(jìn)一步充分地認(rèn)識它.從社會哲學(xué)的角度上看，任何事物本身就是一個矛盾體，所以任何事物都包含著突破自己.由此可見，離開有限，無限將不再存在.有限中包含著無限是說任何有限的東西都可以無限地分割，從原子向粒子的無限分割,事

13、物會由于自身的矛盾推動而處于不安分的狀態(tài)當(dāng)中，于是不停地向比自己更小的事物轉(zhuǎn)變.有限中存在著無限，在0到1的單位長度上存在著無數(shù)個有理數(shù)點(diǎn)，也存在著無數(shù)個無理數(shù)點(diǎn).在整除的關(guān)系中約數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的，這就是我們說的有限由無限組成.5.無限是有限的延伸 說到無限是有限的延伸，那么首先我們要說的就是大家都熟識的數(shù)學(xué)歸納法了.數(shù)學(xué)歸納法是高等數(shù)學(xué)中一種有關(guān)于證明的方法.數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)以及大學(xué)中應(yīng)用得都比較廣泛，它是通過有限的步驟推出無限的結(jié)果.在數(shù)學(xué)歸納法中我們一般假定當(dāng)和時命題成立，然后推導(dǎo)出當(dāng)時命題也成立時，該等式命題就成立，否則不成立，下面我們來舉個例子說明一下：用數(shù)學(xué)歸納法證

14、明在自然數(shù)的序列中，.在這里我們看到對于上面的每個等式都有總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2，但這只是我們猜測的，于是用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時，左邊=1，右邊=1，左邊=右邊，等式成立；當(dāng)時，左邊=，右邊=，左邊=右邊，等式成立當(dāng)時，假設(shè)成立，即可得，那么當(dāng)時，有：左邊=右邊=，左邊=右邊，即當(dāng)時，等式亦成立.所以可以證得 對于任何的自然數(shù)都成立，通過數(shù)學(xué)歸納法從而證明了這一個普遍的定理.假如我們無法從有限推到無限的話，那么就算你有超能力，你也沒辦法證明這個普遍定理，就像你在下象棋的時候，就算你的棋藝很好，你也只是可以推出對手有限步戰(zhàn)略，也只能為自己的有限步范圍內(nèi)做好應(yīng)對準(zhǔn)備，再如天氣預(yù)報(bào)一樣，天氣

15、方面的專家們也只能每天為你更新一下天氣情況，今天是不會知道明年今天的天氣情況的，彭加勒說：“在這樣的情況下我們不能憑借單一的直接直覺洞察算術(shù)的普遍真理,為了獲得最普遍的定理,我們不得不借助于遞歸推理,因?yàn)檫@是能使我們從有窮通向無窮的工具” .看到上述的數(shù)學(xué)歸納法，或許直到現(xiàn)在都還會有很多人誤以為是“經(jīng)驗(yàn)歸納法”，但數(shù)學(xué)歸納法和經(jīng)驗(yàn)歸納法卻有著本質(zhì)的區(qū)別， 即使從名義上看它們都是歸納法的一種.經(jīng)驗(yàn)歸納法是根據(jù)事物有限步伐內(nèi)的發(fā)展情況直接按照人的主觀思維推導(dǎo)出一般的規(guī)律，無論怎么樣，這個規(guī)律都是沒有被嚴(yán)格數(shù)學(xué)思維證明成立的，而數(shù)學(xué)歸納法是一個演繹推理的過程，它是通過用數(shù)學(xué)的方法來嚴(yán)格證明所得的普遍

16、的定理，因而它能被我們所有人接受.6.有限與無限有著質(zhì)的區(qū)別 有限與無限是對立統(tǒng)一的，它們有著質(zhì)的區(qū)別，但在一定條件下又可以互相化，只有用辯證法才能準(zhǔn)確理解和認(rèn)識有限與無限問題的區(qū)別.恩格斯說：“數(shù)學(xué)只要引入無限大和無限小，它就會引入一個質(zhì)的差異，這個差異甚至表現(xiàn)為不可克服的質(zhì)的對立.”任何一個有限集里面都有這最大值與最小值，但是在無限集中卻找不到，像中就不存在所謂的最大值和最小值.空間中兩條鉛垂線，當(dāng)我們考慮的長度比較短時，那么可以認(rèn)為它們是平行的，但從無限空間領(lǐng)域來考慮這兩條鉛垂線，它們卻是相交于地心這一點(diǎn)的.在有限的范圍內(nèi)我們還看一下數(shù)學(xué)中常用的結(jié)合律顯然成立，例如：但是在無限多項(xiàng)的求和

17、定律中就不能運(yùn)用這些求和定律了，例如： 在上面式子當(dāng)中，第三步其實(shí)是錯誤的，是不允許這樣做的.事實(shí)上,正確的算式應(yīng)該如下：另外，再舉一個例子 從上面我們可以看得出一個式子既可以得到三個答案，不過只可惜這三個答案都是錯誤的，其產(chǎn)生的原因正是計(jì)算無限領(lǐng)域時，不能像計(jì)算有限數(shù)字那樣，隨意運(yùn)用結(jié)合律和分配律，由里往外一層層脫掉括號來得出答案s.在有限的集合中，整體大于部分是天經(jīng)地義的，不容置疑的，但是在無限集合中就成了謬論，因?yàn)樵跓o限集合當(dāng)中，整體跟部分是可以相等，可以一一對應(yīng)的.對于兩個有限集合，如果我們不利用計(jì)算集合中元素個數(shù)的方法，那么我們怎樣知道兩個集合哪個包含哪個呢？有人舉了一個十分通俗易懂

18、的例子：假如房間中有若干凳子，相當(dāng)于元素，讓人們?nèi)プ首?，每個人只可以坐一張凳子，相等的人數(shù)，假如有人坐不到凳子那么這個集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子數(shù)和人數(shù)一樣多.這種方法推廣到無限集中呢？正偶數(shù)集是正態(tài)數(shù)集的真子集，兩個子集之間可以找到這樣的一一的對應(yīng)關(guān)系：.任意兩個集合只要能建立一一對應(yīng)關(guān)系，就認(rèn)為它們的數(shù)目一樣多.后來康托提出了一個新的概念來表示無窮集合的大小，這就是我們在初等數(shù)學(xué)研究中學(xué)習(xí)的“基數(shù)”，在有限集中基數(shù)等于元素的個數(shù)，在無限集中，如果能建立一一對應(yīng)的關(guān)系那么它們的基數(shù)就相等.我們都知道有限個連續(xù)函數(shù)之和還是連續(xù)函數(shù)，但是這個有限和的性質(zhì)對于無限級數(shù)是

19、不成立的.在我們學(xué)習(xí)過的知識里面我們還能舉出無限個例子來說明有限和無限之間有著質(zhì)的區(qū)別，在這里就不多說了.7.有限與無限之間相互轉(zhuǎn)化7.1 無限轉(zhuǎn)化為有限在數(shù)學(xué)中我們一般通過有限項(xiàng)之和的極限來定義無限項(xiàng)之和，通過有限維空間來研究無限維空間，這就是由無限轉(zhuǎn)化為有限.例如：要證對于一切自然數(shù)都成立的話，那么要我們一一驗(yàn)證是不可能的，我們毫不猶豫地就要用到數(shù)學(xué)歸納法，在前面我們已經(jīng)說過數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)在就不再舉例子說明.數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的原來是把無限步的推理過程轉(zhuǎn)化為有限步，從而得到結(jié)果.在數(shù)學(xué)分析中我們計(jì)算函數(shù)的極限也是同樣的道理，例如：計(jì)算數(shù)項(xiàng)級數(shù)解：級數(shù)的第個部分和 由于.還有在無限項(xiàng)的等比數(shù)列中

20、求和，我們可以首先算出有限項(xiàng)之和 當(dāng)時， 7.2 有限轉(zhuǎn)化為無限 在初等數(shù)學(xué)研究中我們習(xí)慣于把有限的任一初等函數(shù)轉(zhuǎn)化為無窮級數(shù).例如： 在自然辯證法恩格斯指出：“數(shù)學(xué)把某個確定的數(shù)，例如二項(xiàng)式，作無窮級數(shù)，即化作某種不定的東西，從人的常識來說，這是荒謬的舉動，但是，如果沒有無窮級數(shù)和二項(xiàng)式定理，那我們能走多遠(yuǎn)呢？” 數(shù)學(xué)中的有限與無限就像是一對連體的嬰兒，密切相連著，對立卻又統(tǒng)一，誰都離不開誰. 無限是有限的基礎(chǔ)，無限是由有限構(gòu)成的，有限由無限組成，無限是有限的延伸，它們之間矛盾地存在著，這就需要我們用辯證的思維去理解它，去認(rèn)識它，它所能給我們帶來的就是不斷地去深思和探究.參考文獻(xiàn)：1郭華.數(shù)學(xué)中的有限與無限N.安陽工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（1）.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊M.北京：高等教育出版社，2001，23-24.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下冊M.北京:高等教育出版社，2001，2-54.4葛軍，涂榮豹.初等數(shù)學(xué)研究教程M.江蘇：江蘇教育出版社，2009，165-168.5張永康.試論數(shù)