數(shù)學(xué)物理方法試卷5答案

1、物理系 20 20 學(xué)年第 學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)物理方法試卷（A）考試時(shí)間：120分鐘 考試方式：閉卷班級(jí) 專業(yè) 姓名 學(xué)號(hào) 題 號(hào)一二三四五總 分得 分核分人一、填空題（本大題共9題，每空2分，共24分）1、寫出復(fù)數(shù)1+i的三角式，指數(shù)式 。2、中代表復(fù)平面上位于ab線段中垂線上點(diǎn)。3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 。4、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件存在，并且滿足柯西-黎曼方程 。5、在Z=0的鄰域上的泰勒級(jí)數(shù)是（至少寫出前三項(xiàng)）=。6、若周期函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，則可展為傅立葉正弦級(jí)數(shù)f (x)= 展開系數(shù)為 。 7、就奇點(diǎn)的類型而言，Z=是函數(shù)f(z)=的 可去 奇點(diǎn)，Z=0是函數(shù)的 單極 點(diǎn)。8、

2、三維波動(dòng)方程形式。9、拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：。二、簡(jiǎn)答題（本大題共3題，每題8分，共24分）1、 分別簡(jiǎn)述單通區(qū)域和復(fù)通區(qū)域下的柯西定理。 單通區(qū)域柯西定理：如果函數(shù)在閉單通區(qū)域B上解析，則沿B上任一段光滑閉合曲線,有； (4分)復(fù)通區(qū)域柯西定理：如果函數(shù)是閉復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù),則,式中為區(qū)域外界境線,諸為區(qū)域內(nèi)界境線,積分均沿界境線正方向進(jìn)行。 (4分)2、長(zhǎng)為的均勻弦，兩端 和 固定，弦中張力為T0，在點(diǎn)，以橫向力F0拉弦，達(dá)到穩(wěn)定后放手任其自由振動(dòng)，寫出初始條件。 解： 由點(diǎn)斜式方程，弦的初始位移為 （2分）其中 c 為弦在 x h 點(diǎn)的初始位移。因?yàn)槭切≌駝?dòng)，所以（

3、2分）寫出水平、豎直方向的力平衡方程式：（2分）解得 ，將之代入初始位移（1），得 （2分） 3、寫出l階勒讓德多項(xiàng)式的具體表達(dá)式，具體寫出前3個(gè)勒讓德多項(xiàng)式。答：l階勒讓德多項(xiàng)式的具體表達(dá)式為： （4分） 記號(hào)l/2表示不超過 l/2的最大整數(shù)。（這由x的指數(shù)得知，k0的項(xiàng)即為系數(shù)為a0或a1的項(xiàng)。）經(jīng)由上式計(jì)算，前3個(gè)勒讓德多項(xiàng)式是 （4分）三、 計(jì)算題 （本大題共2題，每題10分，共20分）1、計(jì)算回路積分（l的方程是）。解：的方程可化簡(jiǎn)為：，在復(fù)平面上它是以（-1，-i）為圓心，為半徑的圓， (1分)被積函數(shù)有兩個(gè)單極點(diǎn)，和一個(gè)二階極點(diǎn)，在這三個(gè)極點(diǎn)中，在積分回路內(nèi)，它們的留數(shù)： (3

4、分) (3分)應(yīng)用留數(shù)定理： (3分)2、計(jì)算實(shí)變函數(shù)積分I=。解:這是屬于類型一的積分，為此，做變換使原積分化為單位圓內(nèi)的回路積分f(z)有兩個(gè)單極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，且所以四、求解定解問題（本大題共1題，共16分） 解：利用分離變數(shù)法：，代入范定方程（1），分離變量，得到： 兩邊分別是時(shí)間t和坐標(biāo)x的函數(shù)，除非兩邊等于一個(gè)常數(shù)，記作，可得到t和x所滿足的常微分方程，如下： （3分）同時(shí)把代入邊界條件得： 因?yàn)槭堑诙愡吔鐥l件，當(dāng)=0時(shí)，方程的解是，代入邊界條件得：D0=0， 所以； （1分）當(dāng)0時(shí)，T滿足的常微分方程的通解是： （2分）代入邊界條件，確定系數(shù) 由于，則得無意義的0解，所以只有：，

5、則于是，求出本征值： （n=1,2,3 ） 現(xiàn)在把0情況的本征值和本征函數(shù)合在一起，相應(yīng)的本征函數(shù)是：為任意常數(shù) （3分） 對(duì)于每一個(gè)本征值， 代入方程 中可得到： 和 相應(yīng)方程 的解為： （2分） 其中，An , B n 為任意常數(shù)。則滿足的方程的本征解為：方程一般解是所有本征解的線性疊加，即：（3分）代入初始條件 上式的左端是傅立葉余弦級(jí)數(shù)，把右邊的 和 展開為傅立葉余弦級(jí)數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)就可以確定系數(shù)， （2分） 裝 訂 線 內(nèi) 請(qǐng) 勿 答 題.裝.訂.線.裝.訂.線五、應(yīng)用題（本大題共1題，共16分）如圖所示，推導(dǎo)一維和三維擴(kuò)散方程，已知擴(kuò)散系數(shù)為。解：在擴(kuò)散問題中研究的是濃度在空間中的分布和在時(shí)間中的變化，選取長(zhǎng)、寬、高分別是，的六面體小微元作為研究對(duì)象，已知擴(kuò)散現(xiàn)象遵循擴(kuò)散定律： （3分）該定律的分量形式：，如圖所示的六面體里濃度的變化取決于穿過它的表面的擴(kuò)散流。由擴(kuò)散定律，先考慮單位時(shí)間內(nèi)x方向上擴(kuò)散流為：因在左表面處，流入六面體的流量為，在右表面流出去的流量為，取得很小，則單位時(shí)間內(nèi)x方向凈流入流量為 （3分）分別考慮y,z方向上的擴(kuò)散流，同理可得單位時(shí)間內(nèi)y方向凈流入流量為單位時(shí)間內(nèi)z方向凈流入