拋物線上的張角問題

1、1我們說，在平面上，已知兩個定點A、B，點P為平面上一點，從點P處觀測A、B兩點所成的角叫張角2若線段AB為定長的線段，點C為線段AB所在的直線外一點，連接AC，BC，我們稱ACB為線段AB的張角AB叫做張角ACB所對的張邊一、 問題的提出：1問題的提出：在平面直角坐標系中，已知A、B兩定點，求具有某種屬性的點P(如P在某函數(shù)圖象上，又或點P的坐標具有某種關(guān)系)，使APB等于已知角a2問題解決的方法與步驟：下面以點P在某函數(shù)yf(x)的圖象上為例來說明特別的，當AB與坐標軸平行時，可構(gòu)造斜射影相似來解決(1)以ABx軸為例來說明在射線AB上取點D，使，則ADPAPB則APDABP ，則設(shè)P(m

2、，f(m)，所以C(m，) 所以解方程可求出m的值，P點可求(2)若點線段AB與x軸不平行時怎么辦？可以采用以下方法：方法：過張角的頂點作坐標軸的平行線，構(gòu)造一線三等角如圖：過點P作lx軸，再分別由A，B向l引垂線，垂足為C，D，在DC延長線上取點E，使， 在CD延長線上取點F，使，則AEPBFPAPB可證AEPPFB 則 所以設(shè)P(m，f(m)，則PE，PF，與AE、BF均可用含m的代數(shù)式表示，則方程可解，點P的坐標可解3對問題的解決提出質(zhì)疑：以上問題可以過點P作x軸或y軸的平行線l，根據(jù)一線三等角創(chuàng)造相似三角形來解決，依然設(shè)P(m，f(m)，所以C(m，)，所以，解方程可求出m的值，P點可

3、求但當yf(x)為二次函數(shù)或反比例函數(shù)時，那么最后所得的方程均為一元高次方程!4拋物線上的張角問題在平面直角坐標系中，已知A、B為拋物線yf(x)上的兩定點點P在yf(x)的圖象上，若APB等于已知角a，求點P的坐標顯然，如果按照前面的做法去解決，結(jié)果會是高次方程，顯然不行，因此，我們要尋找其它適合初中數(shù)學教學要求的方法為解決此問題，我們首先要掌握以下幾個問題二、 問題準備1 解直角三角形的張角對張邊的問題我們都知道，在解三角形的問題中，如果給出三角形的三個要素(不全是角)三角形即可解，但是有些條件的給出(初等方法可解)，如果方法不當解起來就很困難，這里我們僅條件集中在三角形中一個角、這個角所

4、對的邊，這個角所對的邊上的高解三角形進行研究，我們把此類問題稱之為解三角形中的“角對張邊問題”如圖，在ABC中，BACa，ADBC，垂足為D，設(shè)BDa，CDb，求高AD如圖，在銳角ABC中，ADBC，垂足為D，BAC45°，若BD3，CD2求AD的長思考一根據(jù)圖形變換，轉(zhuǎn)換特殊模型解法1：把ABD沿AB翻折得到ABE，把ACD沿AC翻折得到ACF ABEABD；ACFACDAEADAF，BEBD3，CFCD2EF90°，BAEBAD，CAFCAD，EAF2BAC90°，延長EB，F(xiàn)C相交于G，則四邊形AEGF為正方形 設(shè)ADx，則BGx3，CGx2在RtBCG中，

5、由勾股定理可得：，解得：x6或x1(舍去)， AD6解法2：以AD為邊作正方形ADEF，過點A作AGAB，交EF于G，AGFABD，BDGF2，AGABBAC45°，GACBAC，又ACACACGACB， CGBC5設(shè)ADx，則EGx3，CEx2，在RtCEG中，由勾股定理得：，解得：x6或x1(舍去)， AD6解法3：在射線DB上取點E，使DEAD，在射線DC上取點F，使DFAD則AEAF，AEFAFE45°，EAF90°，把AEB繞點A旋轉(zhuǎn)，使AE于AF重合，得到AFG，AFGAEB，F(xiàn)GEB，AGAB，AFGE45°，GAFBAE，BACEAF90

6、°，又BAC45°，GACBAC， ACGACB，CGBC5，設(shè)ADx，則FGx3，CFx2在RtCED中，由勾股定理得：，解得：x6或x1(舍去)， AD6思考二：構(gòu)造一線三等角(M型)解法5：在BC的延長線上取點E，使CEAD，過點E作EFCE，使EFCD，連接AF，CEFADC，ACFC，CAF45°，BAC45°，BAF90°，連接BF，由勾股定理可得：，設(shè)ADx，則BEx5，解得：x6或x1(舍去)， AD6解法7：過點B作BEAB，交AC的延長線于E，過點E作EFBC，垂足為F，由上題可證EBFBADEFBD3，設(shè)ADx， ，解得：

7、x6或x1(舍去)，AD6解法8：過點A作BC的平行線，由B，C向該平行線引垂線，垂足為E，F(xiàn)則BEADCF，AEBD3，AFCD2在AE的延長線上截取EGBE，在AF的延長線上截取FNCFBGCN，GN45°，GBACN， AGBCNA，, 設(shè)ADx，則BGCN，AGx3，ANx2，(x3)(x2) ，解得：x6或x1(舍去)， AD6思考三：把AD看作是繞A旋轉(zhuǎn)的直線，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似解法12在射線DC上截取DEAD，連接AE，延長AD到F，使DFBD3BF，F(xiàn)E45°，又BAFCAE，BAFCAE，AF·CEBF·AE，設(shè)ADx，則AE，AFx3，CE

8、x2，解得：x6或x1(舍去)， AD6思考四：利用三角形外接圓：解法13：作ABC的外接圓O，連接OA，OB，OC過點O作OEBC，垂足為EOAOBOC，BOC2BAC90°，過點O作OFAD，垂足為F，,由勾股定理可得：，AD6思考六：構(gòu)造斜射影相似解法15在射線DC上截取DEAD，連接AEE45°BAC，又ABECBA，ABECBA， 設(shè)ADx，則BEx3，解得：x6或x1(舍去)， AD6二、 拋物線上的張角問題在平面直角坐標系中，已知A、B是拋物線yf(x)上的兩定點，點P在yf(x)的圖象上，若APB等于已知角a，求點P的坐標方法與步驟： 第一步；過已知點A作y軸的平行線，與直線BP相交于點C，構(gòu)造“于涵定理”根據(jù)“于涵定理”指引我們可求出的值第二步：解張角三角形，求出PAC的函數(shù)值在PAC中，APC已知(APB已知)的值已知，根據(jù)斜射影可求出PD、CD、AD的比，進而求出PAC的函數(shù)值第三步：利用PAC的函數(shù)值求出點的坐標2 二次函數(shù)中的“于涵定理”(一) 如何使“于涵定理”合法化第一：當直線AB平行于x軸時，設(shè)二次函數(shù)為，則P(x，)設(shè)A(m，)，利用對稱軸可得：B(2hm，)，第二：當直線AB與二次函數(shù)的一個交點已知時，設(shè)A(m，n)在二次函數(shù)為的圖象上，過點A的直線交二次函數(shù)于另一