折紙中的余角補(bǔ)角

1、拓展練習(xí)1：如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿著直線EF折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處；再將D沿著GE折疊，使DE落在直線EH上：?jiǎn)栴}1：FEG等于多少度？為什么？問(wèn)題2：FEH與GEH互余嗎？為什么？問(wèn)題3：上述折紙的圖形中，還有哪些角互為余角？哪些角互為補(bǔ)角？ABGDEFCDHABCD3如圖，請(qǐng)利用三角板、直尺、鉛筆、剪刀等工具將四邊形紙板ABCD剪成一個(gè)長(zhǎng)方形紙板。4課外了解一下，建筑工人在砌墻時(shí)是怎樣判斷砌的墻是否為鉛直？（2001嘉興）如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近

2、請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫(huà)出點(diǎn)P，Q的位置（保留畫(huà)圖痕跡）（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M，N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明）（3）到在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H，使汽車行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊M，N的距離相等？如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上畫(huà)出這一點(diǎn)（保留畫(huà)圖痕跡，不必證明）；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（1）根據(jù)垂線段最短，分別作垂線即可；（2）由（1）圖可得：在公路AB的AP上距離M，N兩村莊都越來(lái)越近，在PQ路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)；（3）作MN的中垂線，與公路的交點(diǎn)H即

3、是與村莊M，N的距離相等的點(diǎn)解：（1）（3）如圖（2）在公路AB的AP上距離M，N兩村莊都越來(lái)越近，在PQ路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫(huà)出點(diǎn)P，Q的位置（保留畫(huà)圖痕跡）（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M，N兩村莊都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明）（3）到在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H，使汽車行駛

4、到該點(diǎn)時(shí)，與村莊M，N的距離相等？如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上畫(huà)出這一點(diǎn)（保留畫(huà)圖痕跡，不必證明）；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由非歐幾里得幾何百科名片   非歐幾里得幾何Non-Euclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。目錄誕生 羅氏幾何 黎曼幾何 其他人的貢獻(xiàn) 公設(shè)的不同 三種幾何的關(guān)系 分析 編輯本段誕生歐幾里得的幾何原本提出了五條公設(shè)，頭四條公設(shè)

5、分別為： 1.由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線。 2.一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)。 3.以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫(huà)圓。 4.凡直角都相等。 第五條公設(shè)說(shuō)：同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。 長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在幾何原本一書(shū)中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用。也就是說(shuō)，在幾何原本中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五

6、公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。 由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)？第五公設(shè)到底能不能證明？ 到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來(lái)代替第五公設(shè)，然    羅巴切夫斯基后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開(kāi)一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。 但是，在他極為細(xì)致深入的推理過(guò)程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺(jué)上匪

7、夷所思，但在邏輯上毫無(wú)矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論： 第一，第五公設(shè)不能被證明。 第二，在新的公理體系中展開(kāi)的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無(wú)矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。 這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。 編輯本段羅氏幾何羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內(nèi)，從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線

8、平行”來(lái)代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過(guò)演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。 我們知道，羅氏幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明： 歐式幾何： 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直于同一直線的兩條直線互相平行。 存在相似的多邊形。 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。 羅氏幾何： 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端

9、延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。 不存在相似的多邊形。 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。 從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅氏幾何是正確的。 1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。 直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津

10、的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。 編輯本段黎曼幾何歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何    黎曼講“ 過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過(guò)直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個(gè)問(wèn)題。 黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)中明確的

11、提出另一種幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。 近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛(ài)因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。 此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是

12、微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。 編輯本段其他人的貢獻(xiàn)幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待。他的父親數(shù)學(xué)家鮑耶·法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開(kāi)發(fā)表自己的

13、研究成果，只是在書(shū)信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。 編輯本段公設(shè)的不同同一直線的垂線和斜線相交。 垂直于同一直線的兩條直線互相平行。 存在相似的多邊形。 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。 羅氏幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。 不存在相似的多邊形。 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。 從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。 1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了

14、一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。 編輯本段三種幾何的關(guān)系歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。    編輯本段分析根據(jù)歐氏幾何的5條公理，可以看出，這里所說(shuō)的“歐氏幾何”實(shí)際上是平面幾何。除平面幾何外

15、，還有立體幾何。我們通常所學(xué)的立體幾何，基本也就是空間中點(diǎn)、線、平面的關(guān)系，沒(méi)有涉及到曲面。 羅氏幾何： 根據(jù)羅氏幾何的定義：從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行。我們僅需將空間中的平行線，定義為：不相交的兩條直線叫羅氏平行線。就可以得到，過(guò)直線外一點(diǎn)，可以做任意多條直線和這條直線羅氏平行。同一直線的垂線和斜線不一定相交(可能是羅氏平行線)。垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，可能離散到無(wú)窮(不在同一平面的兩條垂線，線距趨于無(wú)限遠(yuǎn))。過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。這個(gè)命題在一個(gè)特殊模型下成立：“過(guò)一個(gè)曲面上的不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，不一定能在曲面上做一個(gè)“公認(rèn)”

16、的圓”。但可以在這個(gè)曲面上做過(guò)這三點(diǎn)的一個(gè)平面的投影圓。 黎曼幾何： 黎曼幾何的這個(gè)假設(shè)我們沒(méi)有模型：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。直線可以無(wú)限延長(zhǎng)，但總的長(zhǎng)度是有限的。這個(gè)在球面上是可以應(yīng)用的。 此外： 曲面上，兩點(diǎn)間最短的線稱為這兩點(diǎn)在該曲面上的直線，則曲面上兩點(diǎn)間的直線，可以有多條。如果一個(gè)曲面上的線，在一個(gè)平面上的投影為一條直線，則稱此直線為此曲面關(guān)于這個(gè)平面的直線，則過(guò)曲面上任意兩點(diǎn)，能且僅能做關(guān)于此平面的一條直線。曲面上三點(diǎn)，不在關(guān)于某平面的直線上，則能且僅能做一個(gè)關(guān)于此平面的圓拓?fù)鋵W(xué)求助編輯百科名片拓?fù)鋵W(xué)是近代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱起源于希

17、臘語(yǔ)?的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問(wèn)題。發(fā)展至今，拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量。目錄拓?fù)涠x 學(xué)科方向 拓?fù)鋵W(xué)的由來(lái) 拓?fù)湫再|(zhì) 拓?fù)浒l(fā)展 發(fā)展簡(jiǎn)史 形勢(shì)分析學(xué) 一般拓?fù)鋵W(xué) 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) 同倫論研究 從微分到幾何拓?fù)鋵W(xué) 學(xué)科關(guān)系 學(xué)科作用 初等實(shí)例 柯尼斯堡的七橋問(wèn)題 公式與分類 四色問(wèn)題 紐結(jié)問(wèn)題 維數(shù)問(wèn)題 向量場(chǎng)問(wèn)題 不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 簡(jiǎn)易的四色定理證明 一維研究 二維組合 三維擴(kuò)展 展開(kāi) 拓?fù)涠x 學(xué)科方向 拓?fù)鋵W(xué)的由來(lái) 拓?fù)湫再|(zhì) 拓?fù)浒l(fā)展 發(fā)展簡(jiǎn)史 形勢(shì)分析學(xué) 一般拓?fù)鋵W(xué) 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) 同

18、倫論研究 從微分到幾何拓?fù)鋵W(xué) 學(xué)科關(guān)系 學(xué)科作用 初等實(shí)例 柯尼斯堡的七橋問(wèn)題 公式與分類 四色問(wèn)題 紐結(jié)問(wèn)題 維數(shù)問(wèn)題 向量場(chǎng)問(wèn)題 不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 簡(jiǎn)易的四色定理證明 一維研究 二維組合 三維擴(kuò)展 展開(kāi) 編輯本段拓?fù)涠x   拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)，是近代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱起源于希臘語(yǔ)的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問(wèn)題。發(fā)展至今，拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量。 拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)的分支。起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不

19、變的性質(zhì)(所謂連續(xù)變形，形象地說(shuō)就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合)；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。 編輯本段學(xué)科方向由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。19世紀(jì)末，在拓?fù)鋵W(xué)的孕育階段，就已出現(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與組合拓?fù)鋵W(xué)兩個(gè)方向?，F(xiàn)在，前者演化為一般拓?fù)鋵W(xué)，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。后來(lái)，又相繼出現(xiàn)了微分拓?fù)鋵W(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。 拓?fù)鋵W(xué)也是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究幾何圖形在連續(xù)改變形狀時(shí)還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。 舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完

20、全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。 編輯本段拓?fù)鋵W(xué)的由來(lái)幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面

21、體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。    哥尼斯堡七橋問(wèn)題哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單又很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。看來(lái)要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分

22、別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。 在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)

23、的問(wèn)題。四色問(wèn)題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。中國(guó)曾邦哲于20世紀(jì)80-90年代（結(jié)構(gòu)論）將其命題轉(zhuǎn)換為“四色定理”等價(jià)于“互鄰面最大的多面體是四面體”的問(wèn)題。    拓?fù)鋵W(xué)四色猜想的提出來(lái)自于英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色?！?1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。18781880年兩年間

24、，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來(lái)數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。 進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就

25、，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。 上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題，但這些問(wèn)題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性的分支。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。 拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀(jì)中期，黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開(kāi)始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。 連續(xù)性和離散性是自然界與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在的。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大

26、的推動(dòng)作用。拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應(yīng)用。 拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，它是從圖論演變過(guò)來(lái)的。拓?fù)鋵W(xué)將實(shí)體抽象成與其大小、形狀無(wú)關(guān)的點(diǎn)，將連接實(shí)體的線路抽象成線，進(jìn)而研究點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫ㄟ^(guò)結(jié)點(diǎn)與通信線路之間的幾何關(guān)系來(lái)表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)實(shí)體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。拓?fù)湓O(shè)計(jì)是建設(shè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的第一步，也是實(shí)現(xiàn)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的基礎(chǔ)，它對(duì)網(wǎng)絡(luò)性能、可靠性與通信代價(jià)有很大影響。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲饕侵竿ㄐ抛泳W(wǎng)的拓?fù)錁?gòu)型。 編輯本段拓?fù)湫再|(zhì)拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià)，這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。 在拓?fù)?/p>

27、學(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。 在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來(lái)，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下，點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來(lái)的數(shù)目一樣，這就是拓?fù)涞葍r(jià)。一般地說(shuō)，對(duì)于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓?fù)渥儞Q，就存在拓?fù)涞葍r(jià)。 應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。把環(huán)面切開(kāi)，它不至于分成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對(duì)于這種情況，我們就說(shuō)球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。 直

28、線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來(lái)涂滿，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)面。 拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。 編輯本段拓?fù)浒l(fā)展拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。 二十世紀(jì)以來(lái)，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于

29、任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問(wèn)題都可以應(yīng)用集合來(lái)論述。 因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。上世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來(lái)研究曲線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。 拓?fù)鋵W(xué)發(fā)

30、展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來(lái)研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來(lái)研究的，叫做代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)?，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。 拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、實(shí)分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。 編輯本段發(fā)展簡(jiǎn)史形勢(shì)分析學(xué)拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，這是G.W.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢(shì)，形指一個(gè)圖形本身的性質(zhì)，勢(shì)指一個(gè)圖形與其子圖形相對(duì)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結(jié)和嵌入問(wèn)題就是勢(shì)的問(wèn)題)。隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基

31、本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問(wèn)題，1750年發(fā)表了多面體公式；C.F.高斯1833年在電動(dòng)力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文(位置、形勢(shì))與(學(xué)問(wèn))。這是萌芽階段。 1851年起，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強(qiáng)調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開(kāi)始了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，在點(diǎn)集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問(wèn)題。如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開(kāi)集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中黎曼明確提出n維流形的概念

32、(1854)。得出許多拓?fù)涓拍睿?組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題的，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，他的主要興趣在n維流形。在18951904年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計(jì)算的方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊?wèn)題，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠(yuǎn)，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，過(guò)多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， 拓?fù)鋵W(xué)的另一淵

33、源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義推動(dòng)G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開(kāi)了歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，得出許多拓?fù)涓拍?，如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開(kāi)集、閉集、稠密性、連通性等。在點(diǎn)集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對(duì)象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。這是萌芽階段。 一般拓?fù)鋵W(xué)最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在19    拓?fù)鋵W(xué)06年引進(jìn)了度量空間的概念。F.豪斯多夫在集論

34、大綱（1914）中用開(kāi)鄰域定義了比較一般的拓?fù)淇臻g，標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。L.歐拉1736年解決了七橋問(wèn)題，隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過(guò)20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟，成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學(xué)研究的共同基礎(chǔ)。從其方法和結(jié)果對(duì)于數(shù)學(xué)的影響看，緊拓?fù)淇臻g和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問(wèn)題和度量化問(wèn)題也得到了深入的研究。公理化的一般拓?fù)鋵W(xué)晚近的發(fā)展可見(jiàn)一般拓?fù)鋵W(xué)。 歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，例如，一直是拓?fù)鋵W(xué)的重要部分，已發(fā)展成一般拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)交

35、匯的領(lǐng)域，也可看作幾何拓?fù)鋵W(xué)的一部分。50年代以來(lái)，即問(wèn)兩個(gè)映射，以R.H.賓為代表的美國(guó)學(xué)派的工作加深了對(duì)流形的認(rèn)識(shí)，是問(wèn)兩個(gè)給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發(fā)揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的研究，習(xí)慣上也看成一般拓?fù)鋵W(xué)的分支。 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)L.E.J.布勞威爾在19101912年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法， 許多重要的幾何現(xiàn)象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進(jìn)了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開(kāi)創(chuàng)了不動(dòng)點(diǎn)理論。他使組合拓?fù)鋵W(xué)在概念精確、論證嚴(yán)密方面達(dá)到了應(yīng)有的標(biāo)準(zhǔn)，而歐拉數(shù)-e+?>則是）。成為引人矚目的學(xué)科。緊接著，J.W.

36、亞歷山大1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃?。如連通性、緊性）， 隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓?fù)鋵W(xué)建立在群論的基礎(chǔ)上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓?fù)鋯?wèn)題的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。如維數(shù)、歐拉數(shù)，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結(jié)了當(dāng)時(shí)的同調(diào)論，后寫(xiě)成代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)(1952)，對(duì)于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的傳播、應(yīng)用和進(jìn)一步發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。他們把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的基本精神概括為：把拓?fù)鋯?wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算來(lái)求解。同調(diào)群，以及在30年代引進(jìn)的上同調(diào)環(huán)，都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過(guò)渡（見(jiàn)同調(diào)論）

37、。直到今天，三角形與圓形同胚；而直線與圓周不同胚，同調(diào)論（包括上同調(diào)）所提供的不變量仍是拓?fù)鋵W(xué)中最易于計(jì)算的，因而也最常用的。不必加以區(qū)別。 同倫論研究同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨19351936年間引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，而且?同它的逆映射?-1:BA都是連續(xù)的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓?fù)涞酱鷶?shù)的另一種過(guò)渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調(diào)群更明顯， 前面所說(shuō)的幾何圖形的連續(xù)變形，但是極難計(jì)算。同倫群的計(jì)算，特別是球面的同倫群的計(jì)算問(wèn)題刺激了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.

38、勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來(lái)的譜序列這個(gè)代數(shù)工具，最簡(jiǎn)單的例子是歐氏空間。在同倫群的計(jì)算上取得突破，為其后拓?fù)鋵W(xué)的突飛猛進(jìn)開(kāi)辟了道路。 從50年代末在代數(shù)幾何學(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)的影響下產(chǎn)生了K 理論，解決了關(guān)于流形的一系列拓?fù)鋯?wèn)題開(kāi)始，出現(xiàn)了好幾種廣義同調(diào)論。它們都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過(guò)渡，就是一個(gè)廣義的幾何圖形。盡管幾何意義各不相同，如物理學(xué)中一個(gè)系統(tǒng)的所有可能的狀態(tài)組成所謂狀態(tài)空間，代數(shù)性質(zhì)卻都與同調(diào)或上同調(diào)十分相像，是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的有力武器。從理論上也弄清了，同調(diào)論（普通的和廣義的）本質(zhì)上是同倫論的一部分。 從微分到幾何拓?fù)鋵W(xué)微分拓?fù)鋵W(xué)是研究微分流形與微分映射的拓?fù)鋵W(xué)。這些性質(zhì)與長(zhǎng)度、角度無(wú)

39、關(guān)，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過(guò)微分流形的研究；隨著代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和微分幾何學(xué)的進(jìn)步， 以上這些例子啟示了：幾何圖形還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來(lái)研究的性質(zhì)。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的向量場(chǎng)，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問(wèn)題都與上同調(diào)（示性類）和同倫問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)了。 1953年R.托姆的協(xié)邊理論(見(jiàn)微分拓?fù)鋵W(xué))開(kāi)創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的局面，許多困難的微分拓?fù)鋯?wèn)題被化成代數(shù)拓?fù)鋯?wèn)題而得到解決，同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)

40、動(dòng)的圈數(shù)。1956年J.W.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè)“指數(shù)”，隨后，不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來(lái)，這些都顯示拓?fù)淞餍?、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個(gè)范疇有巨大的差別，微分拓?fù)鋵W(xué)也從此被公認(rèn)為一個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋵W(xué)分支。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法剜補(bǔ)術(shù)，使五維以上流形的分類問(wèn)題亦逐步趨向代數(shù)化。 近些年來(lái)，有關(guān)流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。突出的領(lǐng)域如流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有

41、：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這種種研究，通常泛稱幾何拓?fù)鋵W(xué)，以強(qiáng)調(diào)其幾何色彩，而環(huán)面上卻可以造出沒(méi)有奇點(diǎn)的向量場(chǎng)。區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。 編輯本段學(xué)科關(guān)系連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。 拓?fù)鋵W(xué)與微分幾何學(xué)有著血緣關(guān)系，向量場(chǎng)問(wèn)題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場(chǎng)，它們?cè)诓煌膶哟紊涎芯苛餍蔚男再|(zhì)

42、。就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。為了研究黎曼流形上的測(cè)地線，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀(jì)20年代建立了非退化臨界點(diǎn)理論，把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來(lái)，并發(fā)展成大范圍變分法。莫爾斯理論后來(lái)又用于拓?fù)鋵W(xué)中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K 理論的基石)，并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當(dāng)?shù)恼w微分幾何學(xué)提供了合適的理論框架，也從中獲取了強(qiáng)大的動(dòng)力和豐富的課題。G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，陳省身在40年代引進(jìn)了“陳示性類”，就不但對(duì)微分幾何學(xué)影響深遠(yuǎn)，隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間）連

43、續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線。對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，纖維叢理論和聯(lián)絡(luò)論一起為理論物理學(xué)中楊米爾斯規(guī)范場(chǎng)論（見(jiàn)楊米爾斯理論）提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架， 維數(shù)問(wèn)題 ">維數(shù)問(wèn)題 </font>什么是曲線？猶如20世紀(jì)初黎曼幾何學(xué)對(duì)于A.愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的作用。規(guī)范場(chǎng)的研究又促進(jìn)了四維的微分拓?fù)鋵W(xué)出人意料的進(jìn)展。 編輯本段學(xué)科作用拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于分析學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，需要研究各式各樣的非線性現(xiàn)象，分析學(xué)更多地求助于拓?fù)鋵W(xué)。要問(wèn)一個(gè)結(jié)能否解開(kāi)（即能否變形成平放的圓圈），3O年代J.勒雷和J.P.紹德?tīng)柊袻.E.J.布勞威爾的

44、不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。后者以及前述的臨界點(diǎn)理論，紐結(jié)問(wèn)題 ">紐結(jié)問(wèn)題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，都已成為研究非線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)的工具。所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。微分拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。S.斯梅爾在60年代初開(kāi)始的微分動(dòng)力系統(tǒng)的理論，要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示

45、性類聯(lián)系起來(lái)，是分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合的范例?，F(xiàn)代泛函分析的算子代數(shù)已與K 理論、指標(biāo)理論、葉狀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在多復(fù)變函數(shù)論方面，來(lái)自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。 拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K 理論。 四色問(wèn)題 在平面或球面上繪制地圖，代數(shù)幾何學(xué)從50年代以來(lái)已經(jīng)完全改觀。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù)-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用。托姆的協(xié)邊論直接促使代數(shù)簇的黎曼羅赫定理的產(chǎn)生，后者又促使拓?fù)銴 理論的產(chǎn)生?，F(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語(yǔ)言，在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？代數(shù)數(shù)論與代數(shù)群也在此基礎(chǔ)上取得許多重大成果，例如有關(guān)不

46、定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德?tīng)柌孪氲淖C明（見(jiàn)代數(shù)數(shù)論）。 范疇與函子的觀念，是在概括代數(shù)拓?fù)涞姆椒ㄕ摃r(shí)形成的。范疇論已深入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何學(xué)等分支（見(jiàn)范疇）；對(duì)拓?fù)鋵W(xué)本身也有影響，通俗的說(shuō)法是框形里有個(gè)洞。如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。凸形與框形之間有比長(zhǎng)短曲直更本質(zhì)的差別， 在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，這說(shuō)明，J.馮·諾伊曼首先把不動(dòng)點(diǎn)定理用來(lái)證明均衡的存在性。在現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對(duì)于經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型，均衡的存在性、性質(zhì)、計(jì)算等根本問(wèn)題都離不開(kāi)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)、大范圍分析的工具。在系統(tǒng)理論、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。 托姆以微分拓?fù)鋵W(xué)中微分映射的奇

47、點(diǎn)理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了突變理論，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用"歐拉的多面體公式與曲面的分類 ">歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)， 除了通過(guò)各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外，拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對(duì)物理學(xué)(如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類)、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形）、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)都有直接的應(yīng)用。 拓?fù)鋵W(xué)與各數(shù)學(xué)領(lǐng)域、各科學(xué)領(lǐng)域之間的邊緣性研究方興未艾。 參考書(shū)目 江澤涵著：拓?fù)鋵W(xué)引論，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上海，1978。 M.A.Armstrong 著，孫以豐譯：基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)，北京大學(xué)出版社，北京，上有七座橋（見(jiàn)圖

48、論）。1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，是20世紀(jì)理論數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)明顯特征。McGraw-Hill， London， 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod，F(xiàn)oundations of Algebraic Topology，又相繼出現(xiàn)了微分拓?fù)鋵W(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。 Princeton Univ. Press， Princeton，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。 1952. J.L.凱萊著，現(xiàn)在前者已演化成一般拓?fù)鋵W(xué)，吳從炘、吳讓泉譯：一般拓?fù)鋵W(xué)，科學(xué)出版社，北京，1982。拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。(J.L.Kel

49、ley，General Topology，Van Nostrand， New York， 1955.)熊金城 呂杰譚楓譯：拓?fù)鋵W(xué)（原書(shū)第2版）原書(shū)名 Topology (2nd Edition) 原出版社Prentice Hall/Pearson 作者（美）James R.Munkres 出版社 機(jī)械工業(yè)出版社本書(shū)最大的特點(diǎn)在于概念引入自然，循序漸進(jìn)。對(duì)于疑難的推理證明，將其分解為簡(jiǎn)化的步驟，不給讀者留下疑惑。 編輯本段初等實(shí)例柯尼斯堡的七橋問(wèn)題（一筆畫(huà)問(wèn)題）柯尼斯堡是東普魯士首府，(m.a.armb，普萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見(jiàn)圖論）。一個(gè)散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過(guò)一次？這

50、個(gè)18世紀(jì)的智力游戲，孫以豐譯：基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)，被l.歐拉簡(jiǎn)化為用細(xì)線畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)能否一筆畫(huà)出的問(wèn)題，然后他證明這是根本辦不到的。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)之能否一筆畫(huà)出，與線條的長(zhǎng)短曲直無(wú)關(guān)，只決定于其中的點(diǎn)與線的連接方式。 參考書(shū)目 江澤涵著：拓?fù)鋵W(xué)引論，設(shè)想一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸后，能否一筆畫(huà)出的性質(zhì)是不會(huì)改變的。 公式與分類歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù) e、面數(shù)?之間總有這個(gè)關(guān)系。從這個(gè)公式可以證明正多面體只有五種（見(jiàn)正多面體）。在系統(tǒng)理論、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。值得注意的是，如果多面體不是凸的而

51、呈框形（圖1），也不管框的形狀如何，總有。這說(shuō)明，凸形與框形之間有比長(zhǎng)短曲直更本質(zhì)的差別，如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。通俗的說(shuō)法是框形里有個(gè)洞。 在連續(xù)變形下，凸體的表面可以變?yōu)榍蛎?，框的表面可以變?yōu)榄h(huán)面（輪胎面）。例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德?tīng)柌孪氲淖C明，這兩者卻不能通過(guò)連續(xù)變形互變。在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語(yǔ)言，怎樣鑒別它們？這曾是19世紀(jì)后半葉拓?fù)鋵W(xué)研究的主要問(wèn)題。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù)-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用（見(jiàn)閉曲面的分類）。 四色問(wèn)題在平面或球面上繪制地圖，并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代

52、數(shù)與代數(shù)k 理論。有公共邊界線的區(qū)域用不同的顏色加以區(qū)別。 拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，19世紀(jì)中期，來(lái)自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。人們從經(jīng)驗(yàn)猜想用四種顏色就足以給所有的地圖上色。證明這個(gè)猜想的嘗試，卻延續(xù)了100多年，到1976年才出現(xiàn)了一個(gè)借助于計(jì)算機(jī)的證明。著名的阿蒂亞辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來(lái)，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫(huà)地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。要七色才夠。用橡皮做一個(gè)曲面模型，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。然后隨意扭曲，弄得山巒起伏，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。這對(duì)其上的地圖著色毫無(wú)影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。 紐結(jié)問(wèn)題空間中一條自身不相交的封閉曲線，會(huì)發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。3o年