定積分的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)

1、定積分的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)1 教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)1.1 教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1.通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，了解定積分概念的實(shí)際背景意義；2.借助于幾何直觀理解定積分的基本思想，了解定積分的概念，會(huì)應(yīng)用定積分的定義求函數(shù)的定積分3.理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；能力目標(biāo)：體會(huì)“以直代曲”，“無限逼近”，“近似代替”等數(shù)學(xué)思想.情感態(tài)度價(jià)值觀：體會(huì)定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)大威力.1.2 教學(xué)重點(diǎn)微元法思想和定積分的基本性質(zhì)1.3 教學(xué)難點(diǎn)無限細(xì)分和無窮累積的思維方法2 教學(xué)過程簡(jiǎn)錄2.1 實(shí)例鋪路，引出課題 教師：“回憶前面曲邊圖形面積，變速運(yùn)動(dòng)的路程，變力做功等問題

2、的解決方法，解決步驟是什么？” 學(xué)生：分割以直代曲求和取極限（逼近） 教師：“對(duì)這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)”師生共同歸納得出，以上兩個(gè)例子盡管來自不同領(lǐng)域，卻都?xì)w結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的和式的極限. 我們以后還將看到，在求變力所作的功、水壓力、某些空間體的體積等許多問題中，都會(huì)出現(xiàn)這種形式的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一對(duì)它們進(jìn)行研究2.2 演示驗(yàn)證，直觀感知教師：“讓我們?cè)俅位仡櫧鉀Q曲邊梯形的面積的方法，體會(huì)當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.”（教師動(dòng)畫演示對(duì)曲邊梯形的分割過程）這是曲邊梯形的過剩近似值的擬合效果，請(qǐng)同學(xué)們?cè)儆^察其不足近似值的動(dòng)畫演示.教師：體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，哪位同學(xué)說說？學(xué)生1

3、：以上對(duì)曲邊梯形的無限分割體現(xiàn)了“無限逼近”的思想。學(xué)生2：還有“近似代替”的思想，用不足近似值和過剩近似值代替曲邊梯形的面積，以及“以直代曲”的思想.教師：這種求面積的方法具有普遍意義，為此，引入定積分的概念.2.2.1 定積分的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任意用分點(diǎn)將分成個(gè)小區(qū)間，用表示第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，在上任取一點(diǎn)，作乘積，. 再作和.若當(dāng)時(shí)，上式的極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并稱此極限值為在上的定積分，記作. 即 . (1)其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下限和上限.許多實(shí)際問題都可用定積分表示. 例如，若變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，則在時(shí)間區(qū)間

4、上，物體經(jīng)過的路程為 . (2)同理，圖51所示的曲邊梯形面積可表為 圖51a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1 x2y=f(x)xy(3)變力做功 (4)I在可積，是指不管對(duì)區(qū)間分劃的方式怎樣，也不管點(diǎn)在小區(qū)間上如何選取，只要，極限值總是唯一確定的.哪些函數(shù)是可積的呢？ 定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必在上可積；在區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)也必在上可積.II定積分是一個(gè)數(shù)，只取決于被積函數(shù)與積分區(qū)間，而與積分變量的記號(hào)無關(guān)，即III定義定積分時(shí)已假定下限小于上限，為便于應(yīng)用，規(guī)定當(dāng)時(shí)， 定積分的幾何意義 I若，則積分表示如圖所示的曲邊梯形的面積，即針對(duì)

5、訓(xùn)練：用定積分表示下列圖形的面積.(兩名學(xué)生上黑板板書)學(xué)生1：學(xué)生2：隨堂檢測(cè)：利用定積分的幾何意義求值:yxo12 (請(qǐng)兩名同學(xué)在黑板上板演，并解說自己的想法)學(xué)生3：（略）學(xué)生4：半徑為2的半圓，此積分計(jì)算的是半圓的面積.練習(xí)：計(jì)算下列定積分學(xué)生5：（略）學(xué)生6：（略）II若，則積分表示如圖53所示的曲邊梯形面積的負(fù)值，即y=f(x)baOyx這是顯然的，因?yàn)榇藭r(shí)曲邊梯形各點(diǎn)處的高是而不是對(duì)定積分的幾何意義的幾點(diǎn)補(bǔ)充說明： 根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab y=f (x)Ox yyOx y y=f (x)學(xué)生7：可以用兩部分面積的差表示：y=f(x)OyxI

6、II如果在上的值有正也有負(fù)，如圖，則積分表示介于軸、曲線及直線之間各部分面積的代數(shù)和即在軸上方的圖形面積減去軸下方的圖形面積：2.2.3 定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）教師：你能將性質(zhì)4可加性推廣到更一般的情況嗎？（學(xué)生展開討論，選取幾個(gè)油代表性的，師生共同歸納得出）說明：推廣： 推廣: 性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)1練習(xí)：1、根據(jù)定積分的可加性，可將下列定積分 表示為？學(xué)生8：2、計(jì)算定積分： 學(xué)生9：（2）式表示半圓2.3 發(fā)散思考，深入探索不計(jì)算

7、積分，比較下列各組積分的大小:(1) , ;(2) , ;(3) , ;(4) , .（四名同學(xué)板演，教師巡視，各小組共同討論得出）學(xué)生10：在同一區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值大的，對(duì)應(yīng)的定積分值大。學(xué)生11：同一函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的積分值比較大小，先看函數(shù)值的正負(fù)，再看區(qū)間范圍的大小.教師： 表述更嚴(yán)謹(jǐn)應(yīng)該怎么說？學(xué)生11：應(yīng)該是區(qū)間長(zhǎng)度的大小 .教師：推廣到一般情形呢？:學(xué)生12：若在區(qū)間上，則學(xué)生13： 若在區(qū)間上，則學(xué)生14： 先畫圖再定值. 比較積分區(qū)間上兩函數(shù)大小,再由即得(3)令,.2.4 歸納小結(jié)，提煉升華（學(xué)生從知識(shí)和數(shù)學(xué)思想兩方面總結(jié)，教師加以歸納引導(dǎo)）1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？定積分的概念、定積分法求簡(jiǎn)