定積分的應(yīng)用

1、第七章 定積分的應(yīng)用一 、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1掌握定積分的微元法.2會(huì)用定積分的微元法求平面圖形的面積.3會(huì)用定積分的微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積.4會(huì)用定積分的微元法求變力所做的功.5會(huì)用定積分的微元法求液體的側(cè)壓力.重點(diǎn) 定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.難點(diǎn) 定積分的微元法，微元法在實(shí)際問題中的應(yīng)用.（二）內(nèi)容提要1定積分的微元法(1)在區(qū)間上任取一個(gè)微小區(qū)間,然后寫出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量的近似值,記為(稱為的微元)；（2）將微元上無限“累加”，即在上積分，得上述兩步解決問題的方法稱為微元法.關(guān)于微元，我們有兩點(diǎn)要說明：作為的近似表達(dá)式，應(yīng)該足夠準(zhǔn)確，

2、確切地說，就是要求其差是關(guān)于的高階無窮小，即.稱做微元的量，實(shí)際上就是所求量的微分.具體怎樣求微元呢？這是問題的關(guān)鍵，需要分析問題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系。一般按在局部上以“常代變”、“直代曲”的思路（局部線性化），寫出局部上所求量的近似值，即為微元.2.面積微元與體積微元（1）面積微元由曲線軸所圍成的圖形,其面積微元,面積.由上下兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積.由左右兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積（注意，這時(shí)應(yīng)取橫條矩形為，即取為積分變量）.（2）體積微元不妨設(shè)直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和 之間的體積.用“微元法”.為求出體積微元，在微小區(qū)間上視不變

3、，即把上的立體薄片近似看作以為底，為高的柱片，于是其體積微元，再在的變化區(qū)間上積分，則有.3弧微元與平面曲線弧微分公式設(shè)曲線在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),仍用微元法，取為積分變量，在上任取小區(qū)間，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段的長度近似代替一段小弧的長度，得弧長微元為,這里.二 、主要解題方法（微元法）1求平面圖形的面積的方法 例1 求下列曲線所圍成的圖形的面積(1)拋物線 與直線，(2)圓 .解(1)先畫圖，如圖所示，并由方程， 求出交點(diǎn)為（2，），（8，2）.解一 取為積分變量,的變化區(qū)間為，2，在區(qū)間，2上任取一子區(qū)間，+ ，則面積微元 =, 則所求面積為 = = （）=9.解二取為積分變量，的變化區(qū)間為

4、0，8，由圖知，若在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成0，2，2，8兩部分完成.在區(qū)間0，2上任取一子區(qū)間， +，則面積微元 1=,在區(qū)間2，8上任取一子區(qū)間， +， 則面積微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 顯然，解法一優(yōu)于解法二。因此作題時(shí)，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，盡量使計(jì)算方便.(2) 如圖，利用極坐標(biāo)計(jì)算.的變化區(qū)間為，則面積微元 =, 于是所求圖形的面積為=2,利用對稱性，得 =4=2=2（+）=,事實(shí)上，表示一個(gè)半徑為的圓.面積 =是正確的.小結(jié) 計(jì)算面積時(shí)要注意：（1） 適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，以便簡化計(jì)算.如題（2）若采用直角坐標(biāo)系計(jì)算就比較麻煩.一般地曲邊梯形宜

5、采用直角坐標(biāo)系，曲邊扇形宜采用極坐標(biāo)系.（2）要考慮圖形的對稱性.（3）積分區(qū)間盡量少分塊.2求旋轉(zhuǎn)體體積的方法例2 求由曲線, 直線 ,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解 先畫圖形，因?yàn)閳D形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為1,4，相應(yīng)于1，4上任取一子區(qū)間,+的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為 =, 于是，體積 =1616=12.小結(jié) 求旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，第一要明確形成旋轉(zhuǎn)的平面圖形是由哪些曲線圍成，這些曲線的方程是什么；第二要明確圖形繞哪一條坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn),正確選擇積分變量，寫出定積分的表達(dá)式及積分上下限.3 求

6、曲線的弧長的方法例3(1)求曲線 上從0到3一段弧的長度,(2)求圓的漸開線方程 ,上相應(yīng)于從0到的一段弧的長度.解(1) 由公式 = （）知,弧長為=.(2) 因?yàn)榍€方程以參數(shù)形式給出，所以弧微元為 ,=, = ,故 =,故所求弧長為=.4求變力做功的方法例4 設(shè)有一彈簧，假定被壓縮0.5cm時(shí)需用力1N（牛頓）,現(xiàn)彈簧在外力的作用下被壓縮3cm，求外力所做的功.解 根據(jù)胡克定理，在一定的彈性范圍內(nèi)，將彈簧拉伸（或壓縮）所需的力與伸長量（壓縮量）成正比，即= （為彈性系數(shù)）按假設(shè) 當(dāng) =0.005m時(shí) ，=1N， 代入上式得 =2N/m,即有=200,所以取為積分變量，的變化區(qū)間為0，0.

7、03，功微元為 =200,于是彈簧被壓縮了3cm時(shí)，外力所做的功為=0.09（J）.5求液體對側(cè)面的壓力的方法例5 一梯形閘門倒置于水中，兩底邊的長度分別為，（）,高為，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力.解 取坐標(biāo)系如圖所示,則的方程為 , 取水深為積分變量，的變化區(qū)間為0，在0，上任取一子區(qū)間， +，與這個(gè)小區(qū)間相對應(yīng)的小梯形上各點(diǎn)處的壓強(qiáng)= (為水的比重), 小梯形上所受的水壓力=()=2（）小梯形上所受的總壓力為=2=2=2（）=（）.三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵是如何應(yīng)用微元法，解決一些實(shí)際問題，這也是本章

8、的難點(diǎn).2首先要弄清楚哪種量可以用積分表達(dá)，即用微元法來求它，所求的量必須滿足 （1）與分布區(qū)間有關(guān)，且具有可加性；（2）分布不均勻，而部分量可以表示出來.3用微元法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是如何定出部分量的近似表達(dá)式，即微元.如面積微元，功微元.微元一般是部分量的線性主部，求它雖有一定規(guī)律，可以套用一些公式，但我們不希望死套公式，而應(yīng)用所學(xué)知識學(xué)會(huì)自己去建立積分公式,這就需要多下工夫了.4用微元法解決實(shí)際問題應(yīng)注意：（1）選好坐標(biāo)系，這關(guān)系到計(jì)算簡繁問題；（2）取好微元，經(jīng)常應(yīng)用“以勻代變”“以直代曲”的思想決定的線性主部，這關(guān)系到結(jié)果正確與否的問題.（3）核對的量綱是否與所求總量的量綱一致第六章

9、定積分的應(yīng)用本章將應(yīng)用第五章學(xué)過的定積分理論來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅在于建立這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于介紹運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法。一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求：使學(xué)生掌握定積分計(jì)算基本技巧；使學(xué)生用所學(xué)的定積分的微元法（元素法）去解決各種領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題；掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數(shù)的平均值等）二、本章各節(jié)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配：第一節(jié)定積分的元素法 1課時(shí)第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 3課時(shí)第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 2

10、課時(shí)三、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)難點(diǎn)：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立這些幾何、物理的公式解決實(shí)際問題。運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法四、本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：指導(dǎo)學(xué)生用元素法解決其本專業(yè)的實(shí)際問題。五、本章的思考題和習(xí)題：第二節(jié) 279頁習(xí)題62 2，（1）、（3）；3，4，5，11，12，19，25，28。第三節(jié) 287頁習(xí)題63 1，3，4，5，11。第一節(jié)定積分的元素法一、內(nèi)容要點(diǎn)1、復(fù)習(xí)曲邊梯形的面積計(jì)算方法，定積分的定義面積面積元素=2、計(jì)算面積的元素法步驟：（1）畫出圖形；（2）將這個(gè)圖形分割成個(gè)部分，這個(gè)部分的近似于矩形或者扇形；（3）計(jì)算出面積元素；（4）

11、在面積元素前面添加積分號，確定上、下限。二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)掌握用元素法解決一個(gè)實(shí)際問題所需要的條件。用元素法解決一個(gè)實(shí)際問題的步驟。第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、內(nèi)容要點(diǎn)1、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積方法一面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個(gè)表達(dá)式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個(gè)常數(shù)值，；不夠時(shí)由解出，面積=方法二面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個(gè)表達(dá)式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個(gè)常數(shù)值，；不夠時(shí)由解出，面積=例1 求，圍成的面積解，。當(dāng)時(shí)，于是面積例2 計(jì)算圍成的面積解由，得，當(dāng)時(shí)面積=18。2、在曲邊梯形、（）中，如果曲邊的方程為參數(shù)

12、方程為，則其面積 =，其中例3 求軸與擺線,圍成的面積解面積例4 星形線()圍成的面積. 解面積=3、極坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積。極坐標(biāo)曲線圍成的面積的計(jì)算方法：解不等式，得到。面積=4、平行截面面積為已知的空間物體的體積過軸一點(diǎn)作垂直于軸的平面，該平面截空間物體的截面面積為，,則該物體的體積例1 一空間物體的底面是長半軸，短半軸的橢圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。解截面面積5、旋轉(zhuǎn)體體積在上，曲線、直線圍成的曲邊梯形1）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體，其截面面積，旋轉(zhuǎn)體體積。2）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體：位于區(qū)間x,x+dx上的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體體積，原曲邊梯形繞

13、軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積。例2擺線與x軸圍成的圖形1）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積=2）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積=3）繞旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的截面面積。繞旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積例3 求心形線與射線、圍成的繞極軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積解心形線的參數(shù)方程為，旋轉(zhuǎn)體體積=6、平面曲線的弧長曲線方程自變量的范圍弧微分弧長顯函數(shù)參數(shù)方程極坐標(biāo)表中當(dāng)時(shí)，弧微分。例1求擺線的長解，。弧長例2擺線上求分?jǐn)[線第一拱成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)A點(diǎn)滿足要求，此時(shí)。根據(jù)例2擺線第一拱成弧長，。由條件弧OA的長為，即,點(diǎn)A的坐標(biāo)為例3 求星形線的全長解星形線的參數(shù)方程為, , ,，.弧長。例4 求對數(shù)螺線上到的一段弧長解，弧長=二、

14、教學(xué)要求與注意點(diǎn)掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積第三節(jié)定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用一、內(nèi)容要點(diǎn)1、變力沿直線運(yùn)動(dòng)所做的功如左圖，設(shè)dx很小，物體在變力的作用下從點(diǎn)x移動(dòng)到點(diǎn)x+dx所做的功元素為，從點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b, 在變力所做的功例1一物體按規(guī)律直線運(yùn)動(dòng)，所受的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，克服力所做的功。解位于處時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的速度，所受的阻力。如圖從點(diǎn)x運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)x+dx所做的功元素。物體從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，克服力所做的功。例2一個(gè)圓拄形水池，底面半徑5米，水深10米，要把池中的水全部抽出來，所做的功等于

15、多少？（水的密度=1）解如圖，將位于處、厚度為的薄層水抽出來，其質(zhì)量密度體積，當(dāng)薄層水的厚度很小時(shí)，所做的功元素。要把池中的水全部抽出來，所做的功例3一條均勻的鏈條長，質(zhì)量，懸掛于某建筑物頂部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物頂部解如圖，將位于處、長度為的一小段拉到頂部，其質(zhì)量為，所做的功元素。全部拉上建筑物頂部所做的功2、液體的壓力例4 一塊矩形木板長10米，寬5米。木板垂直于水平面，沉沒于水中，其一寬與水面一樣高，求木板一側(cè)受到的壓力。（水的密度=1）解如圖，木板在處所受的壓強(qiáng)為。位于處、長為5米、寬為米的小矩形受到的壓力元素（噸）。整塊木板一側(cè)受到的壓力（噸）。3、引力例5 如圖一質(zhì)量為

16、的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，一根密度為、長為的均勻細(xì)棒區(qū)間上，求細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)的引力解位于處、長為的小段，其質(zhì)量為，對質(zhì)點(diǎn)的引力元素。細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)的引力例6 設(shè)星形線，上每一點(diǎn)處的線密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的立方，求星形線在第一象限的弧段對位于原點(diǎn)處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力。解如圖，位于處、長為的小段，到原點(diǎn)的距離，線密度為，其質(zhì)量為，其中。該小段對質(zhì)點(diǎn)的引力元素，其水平分量，鉛直分量。因此,二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)不僅會(huì)建立這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于會(huì)運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法第 十 章 定 積 分 的 應(yīng) 用教學(xué)基本要求：1初步培養(yǎng)具有用定積分解決實(shí)際問題的能力;2.掌握用定積分計(jì)算面

17、積、弧長、體積和側(cè)面積;3.掌握用定積分的物理應(yīng)用,了解微元法及其應(yīng)用、定積分近似計(jì)算的幾種方法§ 1 平 面 圖 形 的 面 積教學(xué)目的：掌握平面圖形面積的計(jì)算公式包括參量方程及極坐標(biāo)方程所定義的平面圖形面積的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算公式教學(xué)重點(diǎn)：1的重點(diǎn)是平面圖形面積的計(jì)算公式，要求學(xué)生必須熟記并在應(yīng)用中熟練掌握2領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng)一直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積：由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線 與直b線軸所圍成的曲邊梯形的面積為若 在 上不都是非負(fù)的，則所圍成的面積為一般的，有兩條連續(xù)曲線 及直線所圍成的平面圖形的面積為1 簡單圖形：型和型平面圖形 .2 簡單圖形的面積 :

18、 給出型和型平面圖形的面積公式. 對由曲線 和 圍成的所謂“兩線型”圖形, 介紹面積計(jì)算步驟.注意利用圖形的幾何特征簡化計(jì)算. ( 參閱4P232240 E8693 )例 1 求拋物線 與直線 所圍的平面圖形的面積.所給的區(qū)域不是一個(gè)規(guī)范的x-區(qū)域, 如圖需將其切成兩塊, 即可化成x-形區(qū)域的面積問題第一塊的面積等于 第二塊的面積等于總面積 我們也可以把圖形看成 y-形區(qū)域計(jì)算其面積例2 求由曲線圍成的平面圖形的面積.例3 求由拋物線與直線所圍平面圖形的面積.3 參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式：設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程.由參量方程表示且 在 上連續(xù)， （對于或 的情況類似討論）。計(jì)算中，主

19、要的困難是上下限的確定。上下限的確定通常有兩種方法：1）具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征 . 2）從 參數(shù)方程 定義域的分析確定例2 求擺線 的一拱與x 軸所圍的平面圖形的面積 由圖看出, 對應(yīng)原點(diǎn) (0 , 0 ) , 對應(yīng)一拱的終點(diǎn) 所以其面積為例2 求由曲線 所圍圖形的面積. (cd3)由圖看出, 積分的上下限應(yīng)為 t 從 1 到 1, 其面積為:二、極坐標(biāo)下平面圖形的面積若曲線是極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程一樣，極坐標(biāo)情況面積的計(jì)算主要困難是積分上下限的確定。確定上下限方法通常也是1）利用圖象；2）分析 定義域例3 求雙扭線 圍成的平面圖形的面積解 先看一下雙紐線的圖象，它由兩支，因 ，所以雙扭

20、線 所圍成的平面圖形的面積為例1 求曲線與 所圍部分的面積例2三葉形曲線所圍成的平面圖形的面積解 先用Matlab畫出三葉形曲線的圖形計(jì)算所圍成的面積 § 2 由平行截面面積體積教學(xué)目的：掌握由平行截面面積求體積的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：由平行截面面積求體積的計(jì)算公式教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須熟記由平行截面面積求體積的計(jì)算公式并在應(yīng)用中熟練掌握(2)進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng)abS(x)x上節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面圖形面積的計(jì)算，還利用分割、求和的分析方法，導(dǎo)出了極坐標(biāo)下平面圖形的面積公式：現(xiàn)在我們看下面一個(gè)空間立體，假設(shè)我們知道它在x 處截面面積為S(x)，可否利用類似于上節(jié)極坐標(biāo)下推導(dǎo)面積公式

21、的思想求出它的體積？如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，則每個(gè)薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘高，所有薄片體積加在一起就近似等于該立體的體積。即由此可得 這里，體積的計(jì)算的關(guān)鍵是求截面面積S(x) , 常用的方法先畫出草圖，分析圖象求出S(x)例1 求兩圓柱所圍的立體體積 先畫出兩圓柱的圖象，圖中看到的是所求立體的八分之一的圖像, 該立體被平面 （因?yàn)閮蓤A柱半徑相同）所截的截面, 是一個(gè)邊長為 的正方形, 所以截面面積 ,考慮到是8 個(gè)卦限，所以有int('8*(a2-x2)',0,'a')ans =16/3*a3再看一個(gè)例題例2 求橢圓柱 與坐標(biāo)面 ,

22、斜面 , 所圍部分的體積. 由圖可以看出, 底面橢圓方程是： 截面是與yz平面平行的三角形。xy10cm5cm8cm截面1（蘭）三角形面積等于 25；截面2（紅）三角形的底邊平方 ；因兩三角形相似 int('50*(1-(x2)/16)',0,4)ans =400/3例 3 繞極軸旋轉(zhuǎn)所得的體積 若對心臟線作如圖所示的次分割, 則每個(gè)小扇形旋轉(zhuǎn)可看作小球帶錐, 其對應(yīng)的球帶寬度 球帶半徑為 從而所以球帶面積為 整個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積為 由分析和上面幾個(gè)例題看出，只要知道了截面面積函數(shù)就可以用定積分來解決立體的體積計(jì)算問題。我們在看一個(gè)演示，看能否從中找出計(jì)算拋物面被一平面所截后的體積。

23、§3.平面曲線的弧長與曲率教學(xué)目的：掌握平面曲線的弧長與曲率教學(xué)內(nèi)容：平面曲線的弧長與曲率的計(jì)算公式(1) 基本要求：掌握平面曲線的弧長計(jì)算公式(2) 較高要求：掌握平面曲線的曲率計(jì)算公式教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須熟記平面曲線的弧長計(jì)算公式(2) 對較好學(xué)生可要求他們掌握平面曲線的曲率計(jì)算公式1 直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出，其中 在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在用元素法來計(jì)算這曲線弧的長度. 取橫坐標(biāo) 為積分變量，它的變化區(qū)間為 . 曲線上對應(yīng)于 上任一小區(qū)間的一段弧的長度 可以用該曲現(xiàn)在點(diǎn)出的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替(圖). 而這相應(yīng)切線段的長度為以

24、此作為弧長元素，即以為被積表達(dá)式，在區(qū)間上做定積分，變得所求得弧長.曲線段弧 的長度為2.參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，其中 ， 在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長度.取參數(shù) 為積分變量，它的變化區(qū)間為 .相應(yīng) 上任一小區(qū)間 的小弧段的長度的近似值及弧長元素為于是，曲線段弧 的長度為3. 極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，其中 在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?，F(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長度. 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得這就是以極角為參數(shù)的曲線弧的參數(shù)方程. 于是，弧長元素為從而，曲線段弧 的長度為§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積教學(xué)目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面

25、積計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式基本要求：掌握求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算公式，包括求由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積；掌握平面曲線的曲率的計(jì)算公式教學(xué)建議：要求學(xué)生必須熟記旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算公式，掌握由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積一 微元法用定積分計(jì)算幾何中的面積，體積，弧長，物理中的功，引力等等的量，關(guān)鍵在于把所求量通過定積分表達(dá)出來. 元素法就是尋找積分表達(dá)式的一種有效且常用的方法. 它的大致步驟是這樣的：設(shè)所求量 是一個(gè)與某變量(設(shè)為x)的變化區(qū)間 有關(guān)的量，且關(guān)于區(qū)間 具有可加性. 我們就設(shè)想把 分成n個(gè)小區(qū)間，并把其中一個(gè)代表性的小區(qū)間記坐 ， 然后就尋求相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量

26、 的近似值（做這一步的時(shí)候，經(jīng)常畫出示意圖幫助思考），如果能夠找到 的形如 近似表達(dá)式（其中 為 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)x處的值， 為小區(qū)間的長度),那么就把 稱為量 的元素并記做 ，即以量 的元素作為被積表達(dá)式在 上進(jìn)行積分，就得到所求量 的積分表達(dá)式：例如求由兩條曲線 (其中)及直線 所為成圖形的面積A.容易看出面積元素于是得平面圖形 的面積為采用微元法應(yīng)注意一下兩點(diǎn)：1）所求量 關(guān)于分布區(qū)間 具有代數(shù)可加性.2）對于前面所講過的平面圖形的面積、立體體積、曲線弧長相應(yīng)的微元分別為：二 旋轉(zhuǎn)曲面的面積§5 定積分在物理中的某些應(yīng)用教學(xué)目的：掌握定積分在物理中的應(yīng)用的基本方法教學(xué)內(nèi)容：

27、液體靜壓力；引力；功與平均功率 基本要求：(1)要求學(xué)生掌握求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式(2) 較高要求：要求學(xué)生運(yùn)用微元法導(dǎo)出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式教學(xué)建議：要求學(xué)生必須理解和會(huì)用求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計(jì)算公式1 變力沿直線所作的功從物理學(xué)知道，如果物體在做直線運(yùn)動(dòng)的過程中受到常力F作用，并且力F 的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向一致，那么，當(dāng)物體移動(dòng)了距離s時(shí),力F 對物體所作的功是 如果物體在運(yùn)動(dòng)過程中所受到的力是變化的，那么就遇到變力對物體作功的問題，下面通過例1說明如何計(jì)算變力所作的功例1把一個(gè)帶電量為 的點(diǎn)電荷放在軸的原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場，并對

28、周圍的電荷產(chǎn)生作用力，由物理學(xué)知道，如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為 的地方，那么電場對它的作用力的大小為（ 是常數(shù)），如圖，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從處沿軸移動(dòng)到處時(shí)，計(jì)算電場力對它所做得功.解  在上述移動(dòng)過程中，電場對這個(gè)單位正電荷的作用力是不斷變化的，取 為積分變量，它的變化區(qū)間為 ，在 上任取一小區(qū)間 ，當(dāng)單位正電荷從 移動(dòng)到 時(shí)，電場力對它所作的功近似于，從而得功元素為 于是所求的為 例2  某水庫的閘門形狀為等腰梯形，它的兩條底邊各長10m和6m,高為20m,較長的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力。解  如圖

29、 以閘門的長底邊的中點(diǎn)為原點(diǎn)且鉛直向下作 軸,取 為積分變量，它的變化范圍為 .在 上任取一個(gè)小區(qū)間 ,閘門上相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條各點(diǎn)處所受到水的壓強(qiáng)近似于,這窄條的長度近似為,高度為 ,因而這一窄條的一側(cè)所受的水壓力近似為這就是壓力元素，于是所求的壓力為例3 設(shè)有一根長度為 、線密度為 的均勻細(xì)直棒，在其中垂線上距棒 單位處有一質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)。試計(jì)算該棒對質(zhì)點(diǎn) 的引力解 取坐標(biāo)系如圖所示，使棒位于 軸上，質(zhì)點(diǎn) 位于 軸上，棒的中點(diǎn)為原點(diǎn) ，取 為積分變量，它的變化區(qū)間為 。在 上任取一小區(qū)間 ，把細(xì)直棒上相應(yīng)于 的一段近似的看成質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為 ，與 相距 ，因此可以按照兩質(zhì)點(diǎn)間的引力計(jì)算公式

30、求出這段細(xì)直棒對質(zhì)點(diǎn) 的引力 的大小為從而求出 在水平方向分力 的近似值，即細(xì)直棒對質(zhì)點(diǎn) 的引力在水平方向分力的元素為于是得到引力在水平方向的分力為上式中的負(fù)號表示 指向 軸的負(fù)向，又由對稱性知，引力在鉛直方向分力為 平均值內(nèi)容概述：本節(jié)介紹函數(shù)的平均值求法學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解平均值的求法學(xué)習(xí)要點(diǎn)：函數(shù)的算術(shù)平均值、函數(shù)的加權(quán)平均值、函數(shù)的均方平均值學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：微積分基本定理函數(shù)的算術(shù)平均值在實(shí)際問題中，常常用一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值來描述這組數(shù)據(jù)的概貌。例如，對某一零件的長度進(jìn)行次 測量，測得的值為 。這時(shí)，可以用 的算術(shù)平均值     

31、60; 作為這一零件的長度的近似值。但是，在工程技術(shù)與自然科學(xué)中，有時(shí)還要考慮一個(gè)連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流電在一個(gè)周期上的平均功率就是這樣的例子。下面就來討論如何規(guī)定即計(jì)算連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值。先把區(qū)間 分成 等分，設(shè)分點(diǎn)為每個(gè)小區(qū)間的長度為，設(shè)在這些分點(diǎn)處 的函數(shù)值依次為 ，那么可以用的平均值來近似表達(dá)函數(shù) 在 上所取的"一切值"的平均值,如果 取的比較大,那么上述平均值就能比較確切地表達(dá)函數(shù) 在 上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我們就稱極限為函數(shù) 在區(qū)間 上的算術(shù)平均值(簡稱平均值).現(xiàn)在因此

32、得連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值 等于函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分除以區(qū)間 的長度  , 即                   ()請讀者注意我們是怎樣從有限多個(gè)數(shù)值的算術(shù)平均值的概念出發(fā),演化出連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值的定義的,其中關(guān)鍵之舉是使用了極限方法.函數(shù)的加權(quán)平均值我們以商業(yè)中的一個(gè)問題為例來討論函數(shù)的加權(quán)平均.假設(shè)某商店銷售某種商品,以每單位商品售價(jià) 元,銷售了 各單位商品,調(diào)整價(jià)格后

33、以每單位商品售價(jià) 元,  銷售了 個(gè)單位商品. 那么,在整個(gè)銷售過程中, 這種上平的平均售價(jià)為 (元)這種平均成為加權(quán)平均. 一般地設(shè) 為實(shí)數(shù),  ,稱為關(guān)于 的加權(quán)平均值,其中稱為資料數(shù)據(jù)稱為權(quán)數(shù). 當(dāng) 時(shí), 加權(quán)平均就是算術(shù)平均?，F(xiàn)在我們討論連續(xù)變量的情形. 假設(shè)某商店銷售某種商品, 在時(shí)間段 內(nèi), 該商品的售價(jià)與單位時(shí)間內(nèi)的銷售量都與時(shí)間有關(guān). 如果已知在時(shí)刻 時(shí), 售價(jià) , 單位時(shí)間內(nèi)的銷售量 , 那么如何計(jì)算這種商品在時(shí)間段 上的平均售價(jià)呢? 下面我們用元素法分析, 并且給出他的計(jì)算方法.在區(qū)間 上任取一小區(qū)間 . 在這短暫的時(shí)間間隔內(nèi), 這種商品的售價(jià)近似于 , 銷售的數(shù)量近似于 , 因此, 在這段短暫的時(shí)間間隔內(nèi), 銷售這種商品所得到的收益近似于，這就是在 這段時(shí)間內(nèi)銷售這種商品所得收益的元素于是, 在 這段時(shí)間內(nèi)銷售這種