基本不等式習(xí)專題之基本不等式做題技巧

1、基本不等式習(xí)專題之基本不等式做題技巧【基本知識】1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）(4)當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時,“=”號成立； ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時,“=”號成立.4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一個重要的不等式鏈：?！炯记芍v解】技巧一：湊項（增減項）與湊系數(shù)（利用均值不等式做題時，條

2、件不滿足時關(guān)鍵在于構(gòu)造條件。通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式、平方等方式進行構(gòu)造）1：已知，求函數(shù)的最大值。2. 當(dāng)時，求的最大值。3：設(shè)，求函數(shù)的最大值。4、求函數(shù)的最小值。5 已知，且滿足，求的最大值. 6已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊項，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。 2解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可

3、。當(dāng)，即x2時取等號 當(dāng)x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。3、解：當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立。4解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“=”號成立，故此函數(shù)最小值是。評析：利用均值不等式求幾個正數(shù)和的最小值時，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常數(shù)。通常要通過添加常數(shù)、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構(gòu)造。5、分析 , 是二項“積”的形式，但不知其“和”的形式是否定值， 而已知是與的和為定值，故應(yīng)先配系數(shù)，即將變形為，再用均值不等式. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立. 所以的最大值是. 6分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時

4、還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為 ， xx x·下面將x，分別看成兩個因式：x· 即x·x 7分析 初看，這是一個三元式的最值問題，無法利用+b來解決.換個思路，可考慮將重新組合，變成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 技巧二： 分離或裂項1. 求的值域。2求函數(shù)的值域. 1解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。2、解：可將上式轉(zhuǎn)化為所以值域為：技巧三：換元1、求的值域。2、求函數(shù)的最大值. 3、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。4、已知x，y為正實數(shù)，且x 21，求x的最大值.參

5、考答案：1、解析：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。2分析 可先令，進行換元，再使分子常數(shù)化，然后運用均值不等式來解決. 3、解法三：（三角換元法）令則有，易求得時“=”號成立，故最小值是18。技巧四：消元（轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，此時要注意確定變量的范圍）1、 已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。2、已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.3、設(shè)為正實數(shù)

6、，則的最小值是. 1解法：（消元法）由得，由則。當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。法一：a， ab·b 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時，等號成立。3分析 本題也是三元式的最值問題.由題意得，則可對進行消元，用表示，即變?yōu)槎?，然后可利用均值不等式解決問題. 技巧五：整體代換(條件不等式)1：已知，且，求的最小值。2、已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值。1錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處

7、理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時， 。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值2、解法：（利用均值不等式）,當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是18。技巧六：轉(zhuǎn)化為不等式1. 已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.2、已知正數(shù)滿足，試求、的范圍。1解：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y點評：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣

8、將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.1解法：由，則，即解得，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號，故的取值范圍是。又，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”號，故的取值范圍是技巧六：取平方1、 已知x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.2: 求函數(shù)的最大值。解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2 解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時取等號。 故。評注：本題將

9、解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。1：求函數(shù)的值域。2、若x、y，求的最小值。1解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。2解法一：（單調(diào)性法）由函數(shù)圖象及性質(zhì)知，當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)。證明：任取且，則，則，即在上是減函數(shù)。故當(dāng)時，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當(dāng)時， 且單調(diào)遞減，則在上也是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，在上有最小值5。解法三：（導(dǎo)數(shù)法）由得，當(dāng)時，則函數(shù)在上是減函數(shù)。故當(dāng)時，在上有最小值5。解法四：（拆分法），當(dāng)且僅當(dāng)時“=”號成立，故此函數(shù)最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。練習(xí)： 2.若實數(shù)滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是63若，求的最小