冰山運(yùn)輸數(shù)學(xué)模型

1、冰山運(yùn)輸數(shù)學(xué)模型摘 要當(dāng)今社會(huì)，水資源短缺已成為世界性問題，水資源緊張地區(qū)正不斷擴(kuò)大，除淡化海水的方法外，專家提出從相距9600千米以外的南極托運(yùn)冰山到波斯灣，將其化成冰水從而取代淡化海水作為國(guó)民用水。本文所要解決的是選擇合適的拖船與船速使得冰山到達(dá)目的地后得到每立方米水所花的費(fèi)用最低的問題，由此建立了一個(gè)關(guān)于費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型。首先，根據(jù)表3中的拖船速率和拖船與南極的距離可知冰山融化速率，從而確定剩余的冰山體積。然后，根據(jù)表2中的船速和運(yùn)輸過程中剩余冰山的體積可知每千米燃料消耗量，從而可以求出所需燃料總消耗量，再分別選取小、中、大三種船型確定拖船的租金總費(fèi)用,則運(yùn)輸總費(fèi)用，運(yùn)輸每立方米水所花費(fèi)用

2、即為。 根據(jù)運(yùn)輸每立方米水所花的費(fèi)用最低，將該問題歸結(jié)為優(yōu)化問題，運(yùn)用積分方法，通過Matlab計(jì)算，得到最優(yōu)解確定船型和船速,再與海水淡化的費(fèi)用相比較，確定其可行性。 關(guān)鍵字：冰山體積 融化速率 燃料消耗量 最優(yōu)化 1.問題重述在以石油著稱的波斯灣地區(qū)，浩瀚的沙漠覆蓋著大地，水資源十分缺乏，不得不采用淡化海水的辦法為國(guó)民提供用水。成本大約是每立方米0.1英鎊。有些專家提出從相距9600km外的南極用拖船運(yùn)送冰山到波斯灣，以取代淡化海水的辦法。在運(yùn)送冰山的過程中，拖船的租金、運(yùn)量、燃料消耗以及冰山運(yùn)送過程中融化速率等方面的數(shù)據(jù)如下：（1）三種拖船的日租金和最大運(yùn)量如表1.所示。表1.船型小中大

3、日租金/(英鎊)4.06.28.0最大運(yùn)量/（2）燃料消耗（英鎊/km），主要依賴于船速和所運(yùn)冰山的體積，船型的影響可以忽略，如表2.所示。表2.Bin 冰山體積/船速/km/h1358.410.813.210.513.516.512.616.219.8（3）冰山運(yùn)輸過程中的融化速率（m/d）,指在冰山與海水接觸處每天融化的深度。融化速率除與船速有關(guān)，還與運(yùn)輸過程中冰山到達(dá)與南極的距離有關(guān)，這是由于冰山要從南極運(yùn)往赤道附近的緣故。如表3.所示。表3. 與南極的距離/km 船速/km/h01000>4000100.10.3300.150.45500.20.6 本文所要解決的問題是：選擇拖船

4、的船型與船速，使冰山到達(dá)目的地后，可以得到的每立方米水所花的費(fèi)用最低，并與海水淡化的費(fèi)用相比較。拖船在拖運(yùn)冰山的過程中，有以下假設(shè)：（1） 拖船航行過程中船速不變，航行不考慮天氣等任何因素的影響，總航行距離9600km；（2） 冰山形狀為球形，球面各點(diǎn)的融化速率相同；（3） 冰山到達(dá)目的地后，1的冰可以融化成0.85的水。2.問題分析為更好地計(jì)算冰山運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用，我們對(duì)問題進(jìn)行了分析。根據(jù)題目已給的資料和數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)：冰山的運(yùn)輸主要和拖船的租金、運(yùn)量、燃料消耗及冰山運(yùn)輸過程中融化速率有關(guān)，因此，我們可以把問題分成以下五步來分析解決：1、冰山的融化規(guī)律。冰山融化是冰山體積的變化，而冰山體積的變化

5、實(shí)質(zhì)上是冰山半徑的變化。由表3中數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，冰山運(yùn)輸過程中的融化速率與船速和拖船距離南極呈線性關(guān)系，因此，根據(jù)數(shù)據(jù)擬合公式可以得出三者的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)系拖船航行的天數(shù)，就得到冰山的融化規(guī)律。2、燃料消耗費(fèi)用。由表二數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，燃料消耗與船速和冰山體積呈線性關(guān)系，但考慮到的值比較大，我們可以取體積的對(duì)數(shù)，再根據(jù)數(shù)據(jù)擬合公式可以得出三者的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)系拖船航行的天數(shù)，就得到燃料消耗費(fèi)用。3、冰山運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用。冰山運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用由拖船的租金和燃料消耗兩部分組成，燃料消耗費(fèi)用上面已經(jīng)分析解決，拖船的租金則由表1的數(shù)據(jù)可確定，進(jìn)而得到冰山運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用。4、冰山到達(dá)目的地可獲得的水體積。最終獲得的

6、水體積是冰山到達(dá)目的地所需天數(shù)與冰山融化規(guī)律得到。5、每立方米水的費(fèi)用。上面得到的冰山運(yùn)輸費(fèi)用的函數(shù)與得到的冰山到達(dá)目的地后可獲得水的體積的函數(shù)相除，即可得到每立方米水的費(fèi)用。3.模型假設(shè)與符號(hào)說明3.1模型假設(shè)：假設(shè)一：拖船航行過程中船速不變，航行不考慮天氣等任何因素的影響，總航行距離9600km；假設(shè)二：冰山形狀為球形，球面各點(diǎn)的融化速率相同；假設(shè)三：冰山到達(dá)目的地后，1的冰可以融化成0.85的水。假設(shè)四：冰山運(yùn)輸距離南極4000m之后忽略溫度對(duì)冰山融化的影響。3.2符號(hào)說明：符號(hào)符號(hào)說明拖船的日租金（小、中、大） 拖船的速度拖船到達(dá)波斯灣所用的總時(shí)間距離南極為時(shí)所需的時(shí)間冰山融化速率拖船

7、與南極的距離南極到波斯灣的總距離每千米燃料消耗費(fèi)用每天燃料消耗費(fèi)用燃料消耗的總費(fèi)用拖船到達(dá)波斯灣所用租金冰山原來的半徑冰山融化后的半徑冰山開始的體積變化后冰山體積每立方水所需費(fèi)用拖船到達(dá)波斯灣時(shí)所需的總費(fèi)用4.模型建立 本文的目的是選擇出拖船的最適船型與船速，使冰山到達(dá)目的地后，可以得到的每立方米水所花的費(fèi)用最低，通過問題分析可以分別從冰山的融化規(guī)律、燃料消耗費(fèi)用、冰山運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用、冰山到達(dá)目的地可獲得的水體積和每立方米水的費(fèi)用建立數(shù)學(xué)模型。4.1 冰山的融化規(guī)律假設(shè)運(yùn)輸過程中距離南極的距離為，拖船的船速為，融化速率為，由表三可以得到如圖1。圖1通過圖1，很明顯看出：當(dāng)距離時(shí)，融化速率不僅與船

8、速成線性關(guān)系，而且也與距離呈線性關(guān)系，也就是說，船速越快，距離越遠(yuǎn)，冰山接觸的溫度越高，導(dǎo)致它融化越快；當(dāng)時(shí)，距離對(duì)融化速率的影響忽略，沒有影響，所以這時(shí)融化速率只與船速呈線性關(guān)系。那么通過數(shù)據(jù)擬合公式可設(shè)融化速率的函數(shù)關(guān)系式為： （1）然后將表2相關(guān)數(shù)據(jù)代入可得到：當(dāng)拖船從南極出發(fā)行走天時(shí)，與南極距離為 （2）由（1）、（2）及的值得： （3）接下來求變化后冰山體積設(shè)第天冰山半徑為，體積為，則 （4） （5）其中為從南極啟運(yùn)時(shí)冰山的開始半徑和體積。由（4）、（5）得冰山體積為： （6）4.2 燃料消耗費(fèi)用 由表2中的數(shù)據(jù)，通過Matlab擬合可得圖形如圖2所示：圖2冰山體積由圖可知每千米燃料

9、消耗量與船速和冰山體積的對(duì)數(shù)呈線性關(guān)系，則可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為： （7）其中為待定參數(shù)，根據(jù)表2中數(shù)據(jù)可求得所以 （8）則每天燃料消耗量為 （9）把（2）式代入（3）式，再根據(jù)（6）式得 （10）所以，總?cè)剂舷牧繛?（11）4.3 冰山運(yùn)輸總費(fèi)用冰山運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用是由租金的總費(fèi)用和燃料消耗總費(fèi)用相加。由表1知船的日租金取決于船型，船型又由冰山的初始體積決定，記日租金為，則有 （12）又冰山運(yùn)輸總時(shí)間為： （13）所以租金總費(fèi)用為： （14）由（11）、（8）式可得冰山運(yùn)輸總費(fèi)用為 （15）4.4 冰山運(yùn)到目的地后化成水的體積為： （16）4.5 每立方米水所需費(fèi)用為： （17） 5.模型求解首先

10、，對(duì)（3）式進(jìn)行積分運(yùn)算，有 （18）進(jìn)而求出不同的船速下冰山到達(dá)目的地之后總的融化深度，如表4所示：表4船速1233.544.55103.333364.583351.666747.976245.208343.055641.3333其次，由（17）式可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)模型最終由船速和冰山體積決定。由（12）、（13）、（17）式以及表2、表4，通過Matlab計(jì)算可以得到每立方米水所需費(fèi)用，結(jié)果如表5所示：表5 1233.544.55負(fù)值負(fù)值負(fù)值負(fù)值負(fù)值負(fù)值負(fù)值負(fù)值負(fù)值16.947012.37497.80275.86423.59620.85870.07280.07140.06660.06420.0

11、6300.0626由表5數(shù)據(jù)可知，當(dāng)船速時(shí)，不符合實(shí)際，所得結(jié)果為負(fù)值， 所以，應(yīng)選擇大型拖船，速度，則每立方米水所需費(fèi)用為英鎊。因?yàn)榈Ｋ苛⒎矫准s為0.1英鎊，所以，冰山運(yùn)輸比淡化海水的成本更低。6.模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)： 模型中運(yùn)用圖表分析數(shù)據(jù)，使各因素間的關(guān)系明朗化，運(yùn)輸費(fèi)用只考慮租費(fèi)和燃料消耗費(fèi)，并將冰山體積看成球形，簡(jiǎn)化了計(jì)算，思路清晰簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)： 模型中只考慮了拖船的租費(fèi)和燃料消耗費(fèi)用，沒有考慮到影響航行的天氣因素和社會(huì)因素（如人工費(fèi)和稅收等），所以冰山運(yùn)輸方法是否可行還得取決于綜合考慮因素。7.參考文獻(xiàn)1 姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2 王文波.數(shù)學(xué)

12、建模及其基礎(chǔ)知識(shí)詳解（第一版）M.武漢大學(xué)出版社，2006.3 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析（上、下）M.北京：高等教育出版社，1988.8.附 錄附錄一：>> a=1 3 5;b=0.1 0.15 0.2; %融化速率與船速、與南極距離的關(guān)系圖>> x0=1:0.1:5;>> y0=interp1(a,b,x0,'linear');>> c=0 1 4 5;d=0 0.1 0.3 0.3;>> x1=0:0.1:5;>> y1=interp1(c,d,x1,'linear');>> gte

13、xt('船速')>> gtext('與南極距離×1000')>> a=1 3 5;b=8.4 10.8 13.2; %燃料消耗與船速、冰山體積的關(guān)系圖>> x0=1:0.1:5;>> y0=interp1(a,b,x0,'linear');>> c=5 6 7;d=8.4 10.5 12.6;>> x1=105:1:107;>> y1=interp1(c,d,x1,'linear');>> plot(a,b,'r

14、9;,c,d,'-')>> gtext('船速')>> gtext('冰山體積') >> syms k2 b;k2,b=solve('0.3=k2*1+b','0.45=k2*3+b',k2,b) %冰山融化速率的表達(dá)式k2 = 0.0750b = 0.2250>> syms k1;k1=solve('0.1=k1*1000*(0.075*1+0.225)',k1)k1 =0.00033333333333333333333333333333333>

15、;> syms t,s=int('0.0024*t',t,0,500/3)+int('0.3',500/3,400) %當(dāng)為1時(shí)冰山的融化速率s =103.33333333333333333333333333333>> syms t,s=int('0.375*2/125*t',t,0,250/3)+int('0.375',250/3,200)s = %當(dāng)為2時(shí)冰山的融化速率64.583333333333333333333333333333 >> syms t,s=int('0.45*3/125

16、*t',t,0,500/9)+int('0.45',500/9,400/3)s = %當(dāng)為3時(shí)冰山的融化速率51.666666666666666666666666666667 >> syms t,s=int('0.525*4/125*t',t,0,125/3)+int('0.525',125/3,100)s = %當(dāng)為4時(shí)冰山的融化速率45.208333333333333333333333333333 >> syms t,s=int('0.6*5/125*t',t,0,100/3)+int('

17、;0.6',100/3,80) %當(dāng)為5時(shí)冰山的融化速率s =41.333333333333333333333333333333>>(400*4+50.4*int('log(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-103.3333)3)-1',0,400)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-103.3333)3)ans = -0.2201 - 0.0591i>>(200*4+115.2*int('log(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-64.5833)3)-1'

18、;,0,200)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-64.5833)3)ans = -2.4661e+002 -2.1663e+002i>>(400/3*4+115.2*int('log(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-51.6667)3)-1',0,400/3)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-51.6667)3)>>(400/3*4+194.4*int('log(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-51.6667)3)-1

19、',0,400/3)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-51.6667)3)>> (100*4+288*int('log(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-45.2083)3)-1',0,100)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-45.2083)3)>>(80*4+396*int('log(4*pi/3*(3*105/4*pi)(1/3)-41.3333)3)-1',0,80)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*

20、105/4*pi)(1/3)-41.3333)3) >>(80*6.2+396*int('log(4*pi/3*(3*106/4*pi)(1/3)-41.3333)3)-1',0,80)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*106/4*pi)(1/3)-41.3333)3)ans = 3.596>>(100*6.2+288*int('log(4*pi/3*(3*106/4*pi)(1/3)-45.2083)3)-1',0,100)/(0.85*4*pi/3*(4*pi/3*(3*106/4*pi)(1/3)-45.2083)3)ans = 7.8027>>(400/3*6.2+194.4*int('log(4*pi/3*(3*106/4*pi)(1/3)-51.6667)