初中數(shù)競賽專題.梅涅勞斯定理與塞瓦定理.(有答案)

1、.梅涅勞斯定理與塞瓦定理板塊一 梅涅勞斯定理及其逆定理知識(shí)導(dǎo)航梅涅勞斯定理：假如一條直線與的三邊、或其延長線交于、點(diǎn)，那么這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形證法一：如左圖，過作證法二：如中圖，過作交的延長線于三式相乘即得：證法三：如右圖，分別過作的垂線，分別交于那么有，所以梅涅勞斯定理的逆定理：假設(shè)、分別是的三邊、或其延長線的三點(diǎn)，假如，那么、三點(diǎn)共線夯實(shí)基礎(chǔ)【例1】 如圖，在中，為中線，過點(diǎn)任作一直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：【解析】 直線是的梅氏線， 而，即習(xí)題1. 在中，是的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)求證：【解析】 直線截三邊于、三點(diǎn)，應(yīng)用梅氏定理，知，又因?yàn)?，所以，即?xí)題2.

2、如圖，在中， ，為邊上的中線，于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)求【解析】 由題設(shè)，在中，由射影定理對和截線，由梅涅勞斯定理，即所以探索提升【例2】 如圖，在中，為中點(diǎn)，求證：【解析】 直線是的梅氏線，直線是的梅氏線，習(xí)題3. 如圖，在中，為的中點(diǎn)，求【解析】 是的梅氏線，為的中點(diǎn)，是的梅氏線，【例3】 過的重心的直線分別交、于點(diǎn)、，交的延長線于點(diǎn)求證：【解析】 作直線交于，同理，而【例4】 如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上， ，與交于點(diǎn)，求【解析】 對和截線，由梅氏定理得：，即，所以所以，進(jìn)而習(xí)題4. 如圖，在中，三個(gè)三角形面積分別為5，8，10四邊形的面積為，求的值【解析】 對和截線，由梅氏定理得：，即，解得【

3、備選】如圖，被通過它的三個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的三條直線分為6個(gè)小三角形，其中三個(gè)小三角形的面積如下圖，求的面積【解析】 對和截線，由梅氏定理得：，即，所以，所以所以非常挑戰(zhàn)【例5】 如圖， 在中，的外角平分線與邊的延長線交于點(diǎn)，的平分線與邊交于點(diǎn)，的平分線與邊交于點(diǎn)，求證：、三點(diǎn)共線【解析】 是的外角平分線，那么是的平分線，那么是的平分線，那么得因在上，在上，在的延長線上，那么根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得：、三點(diǎn)共線習(xí)題5. 證明：不等邊三角形的三個(gè)角的外角平分線與對邊的交點(diǎn)是共線的三個(gè)點(diǎn)【解析】 如圖，分別為三角形的三個(gè)外角平分線，分別交于過作的平行線，那么，所以是等腰三角形那么那么有：同理；所以

4、所以共線板塊二 塞瓦定理及其逆定理知識(shí)導(dǎo)航塞瓦定理：假如的三個(gè)頂點(diǎn)與一點(diǎn)的連線、交對邊或其延長線于點(diǎn)、，如圖，那么通常稱點(diǎn)為的塞瓦點(diǎn)證明：直線、分別是、的梅氏線，兩式相乘即可得：塞瓦定理的逆定理：假如點(diǎn)、分別在的邊、上或其延長線上，并且，那么、相交于一點(diǎn)或平行證明： 假設(shè)與相交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，作直線交于由塞瓦定理得：，又，與重合與重合、相交于一點(diǎn) 假設(shè)與所在直線不相交，那么，如圖，又，即說明：三線平行的情況在實(shí)際題目中很少見探索提升【例6】 1設(shè)是的三條中線，求證：三線共點(diǎn)2假設(shè)為的三條內(nèi)角平分線求證：三線共點(diǎn)【解析】 1由條件知，根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條中線共點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的重心

5、2由三角形內(nèi)角平分線定理得：三式分別相乘，得：根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三角形三內(nèi)角平分線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為這個(gè)三角形的內(nèi)心習(xí)題6. 假設(shè)分別為銳角的三條高線，求證：三線共點(diǎn)【解析】 由得：；由得：；由可得：所以根據(jù)塞瓦定理的逆定理可得三條高線共點(diǎn)對直角三角形、鈍角三角形，同樣也可以證得三條高線共點(diǎn)我們把一個(gè)三角形三條高線所在直線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的垂心【例7】 如圖， 為內(nèi)的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，假設(shè)通過 的中點(diǎn)，求證：【解析】 對和點(diǎn)應(yīng)用塞瓦定理可得：又因?yàn)?，所以進(jìn)而，所以 習(xí)題7. 假如梯形的兩腰、的延長線交于，兩條對角線交于求證：直線必平分梯形的兩底由塞瓦定理得板塊三 梅涅勞斯定理、塞瓦定理綜合非常挑戰(zhàn)【備選】如圖，、分別為的、邊上的點(diǎn)，且，、交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)求的值【解析】 為的塞瓦點(diǎn)為的梅氏線，【備選】