九年級(jí)秋季班-第9講：圓的基本性質(zhì)-教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓的基本性質(zhì)內(nèi)容分析圓的基本性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下學(xué)期第一章第一節(jié)的內(nèi)容需要掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，理解圓心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它們之間的關(guān)系，重點(diǎn)是這四者關(guān)系的靈活運(yùn)用，以及垂徑定理及其推論的應(yīng)用知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：圓的確定知識(shí)精講1、 圓的概念圓：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所成的圖形圓心：以上概念中的“定點(diǎn)”；以點(diǎn)O為圓心的圓稱為“圓O”，記作半徑：聯(lián)結(jié)圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段；以上概念中的“定長(zhǎng)”是圓的半徑長(zhǎng)2、 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)一個(gè)圓的半徑長(zhǎng)為R，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有以下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，d > R；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，d = R

2、；當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，反之亦然3、 相關(guān)定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心；這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形如果一個(gè)圓經(jīng)過(guò)一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)，那么這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓，這個(gè)多邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接多邊形例題解析【例1】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A（，），B（，0），的半徑為4，試說(shuō)明點(diǎn)B與的位置關(guān)系【難度】【答案】點(diǎn)在外【解析】由題意得，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在外 【總結(jié)】本題考察了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)一個(gè)圓的半徑長(zhǎng)為R，點(diǎn)P到圓心的距離為 d，則有以下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，d > R

3、；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，d = R；當(dāng)點(diǎn)P在 圓內(nèi)時(shí)，反之亦然【例2】 過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以畫_個(gè)圓，過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以畫_個(gè)圓，過(guò)三個(gè)點(diǎn)可以畫_個(gè)圓【難度】【答案】無(wú)數(shù)；無(wú)數(shù)；一或零【解析】不共線的三點(diǎn)才可以確定一個(gè)圓【總結(jié)】本題考察了圓的確定，不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓ABCDO【例3】 已知，如圖，在中，AB、BC為弦，OC交AB于點(diǎn)D求證：（1）；（2）【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】（1），（2），【總結(jié)】本題考查了圓的性質(zhì)，利用外角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【例4】 如圖，的半徑為15，O到直線l的距離OH = 9，A、B、C為直線l上的三個(gè)點(diǎn)，AH = 9，BH = 12，CH = 15，請(qǐng)分別說(shuō)明點(diǎn)A、B、

4、C與的位置關(guān)系HOlP【難度】【答案】在內(nèi)；在上；在外【解析】連接，在內(nèi)；，在上；，在外【總結(jié)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例5】 若A（a，）在以點(diǎn)B（，）為圓心，37為半徑的圓上，求a的值【難度】【答案】或【解析】點(diǎn)在上，即， 解得，【總結(jié)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意此題有兩種解【例6】 如圖，作出所在圓的圓心，并補(bǔ)全整個(gè)圓【難度】【答案】如圖所示【解析】在上任意作兩條弦，分別做兩條弦的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心【總結(jié)】本題考查了不共線三點(diǎn)定圓的作法【例7】 如圖，CD是半圓的直徑，O是圓心，E是半圓上一點(diǎn)，且，A是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE與半圓交于B，若AB = OC，求

5、的度數(shù)ABCDEO【難度】【答案】【解析】，【總結(jié)】本題考查了同一個(gè)圓中半徑處處相等及三角形外角的應(yīng)用【例8】 已知，如圖，AB是的直徑，半徑，過(guò)OC的中點(diǎn)D作EF / ABABCDEFO求證：【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】連接，/，為的中點(diǎn)，【總結(jié)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例9】 已知：AB是的直徑，點(diǎn)P是OA上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是上任意一點(diǎn)求證：【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】當(dāng)與重合時(shí)，可得，當(dāng)與不重合時(shí)，連接，則OA = OC = OB，綜上可知【總結(jié)】本題考查了圓中半徑處處相等，并利用三角形的三邊關(guān)系解決問(wèn)題模塊二：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系知

6、識(shí)精講1、 圓心角、弧、弦、弦心距的概念圓心角：以圓心為頂點(diǎn)的角叫做圓心角；?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧；弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過(guò)圓心的弦就是直徑；弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距2、 半圓、優(yōu)弧、劣弧半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓ABCO優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧如圖，以A、C為端點(diǎn)的劣弧記作，讀作“弧AC”；以A、C為端點(diǎn)的優(yōu)弧記作，讀作“弧ABC”3、 等弧和等圓能夠重合的兩條弧稱為等弧，或者說(shuō)這兩條弧相等若與是等弧，記作半徑相等的兩個(gè)圓一定能夠重合，我們把半徑相等的兩個(gè)圓稱為等圓4、 圓心角、弧、弦

7、、弦心距之間關(guān)系的定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等5、 圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條劣?。ɑ騼?yōu)弧）、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余三組量也分別相等例題解析【例10】 下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） 相等的圓心角所對(duì)的弧也相等； 在同圓中，如果兩條弦相等，那么所對(duì)的弧也相等； A、B是上任意兩點(diǎn)，則AO + BO等于的直徑長(zhǎng)； 三角形的外心到三角形三邊的距離相等A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【難度】【答案】A【解析】 需說(shuō)明是在同圓或等圓中，故錯(cuò)誤； 一條弦對(duì)兩條弧

8、，所以需要說(shuō)明是優(yōu)弧還是劣弧，故錯(cuò)誤； 易知、均為圓的半徑，所以為直徑，故正確； 三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故錯(cuò)誤【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理【例11】 一條弦把圓分成1 : 3兩部分，則弦所對(duì)的圓心角為_(kāi)°【難度】【答案】【解析】一條弦把圓分成1 : 3兩部分，整個(gè)圓分為四等分，則劣弧的度數(shù)為，弦所對(duì)的圓心角為【總結(jié)】本題考查了同圓中圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系A(chǔ)BCO【例12】 如圖，在中，則_【難度】【答案】【解析】在中，【總結(jié)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用ABCDO【例13】 如圖，已知的半徑是6，CD =

9、_【難度】【答案】【解析】，是等邊三角形，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的應(yīng)用FABCDPE【例14】 如圖，和是等圓，P是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AD交于點(diǎn)A、B，交于點(diǎn)C、D求證：AB = CD【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】作于，于，P是的中點(diǎn)，和是等圓，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的應(yīng)用ABCDEO【例15】 已知，如圖，AB、CD是的直徑，弦AE / CD，聯(lián)結(jié)CE、BC求證：BC = CE【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】，/，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的應(yīng)用OABC【例16】 如圖，是的外接圓，AO平分，判斷

10、的形狀，并說(shuō)明理由【難度】【答案】等邊三角形【解析】AO平分，是等邊三角形【總結(jié)】本題考查同圓中相等的圓心角所對(duì)的弦相等【例17】 已知，如圖，AB是直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，ABCDONM求證：【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】連接、，則，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，【總結(jié)】本題考查了同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等【例18】 如圖，以點(diǎn)O為圓心的圓弧上依次有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，且求證：四邊形ABCD是等腰梯形OABCD【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】連接、，四邊形ABCD是等腰梯形【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了同一條弦所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，老師可以選擇性的講解模塊三：垂

11、徑定理知識(shí)精講1、 垂徑定理如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧2、 相關(guān)結(jié)論（1）如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧（2）如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對(duì)的弦（3）如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦所對(duì)的?。?）如果一條直線平分弦和弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心，并且垂直于這條弦（5）如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分這條弦總結(jié)：在圓中，對(duì)于某一條直線“經(jīng)過(guò)圓心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所對(duì)

12、的弧”這四組關(guān)系中，如果有兩組關(guān)系成立，那么其余兩組關(guān)系也成立例題解析【例19】 的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長(zhǎng)為3，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)【難度】【答案】8【解析】的直徑為10，平分， ，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用【例20】 在半徑為2的中，弦AB的長(zhǎng)為，則弦AB所對(duì)的圓心角=_°【難度】【答案】【解析】作于，則，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用ABCDEFO【例21】 如圖，是的外接圓，圓心O在這個(gè)三角形的高CD上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是邊AC和BC的中點(diǎn)求證：四邊形CEDF是菱形【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】，且過(guò)圓心，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是邊AC和BC的中點(diǎn)，四邊形CEDF

13、是菱形【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用即菱形的判定ABCDO【例22】 如圖，一根橫截面為圓形的輸水管道，陰影部分為有水部分，此時(shí)水面寬AB為0.6米，污水深CD為0.1米，求圓形的下水管道的直徑【難度】【答案】1米【解析】連接，設(shè)圓半徑為，則，由得，解得，所以下水管道的直徑為1米【總結(jié)】本題考查了垂徑定理以及勾股定理的綜合運(yùn)用CDEFGHOPQR【例23】 如圖，在中，弦CD、EF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，G、H分別是、的中點(diǎn)，GH與PC、PE分別相交于Q、R兩點(diǎn)，試判斷的形狀，并證明所得到的結(jié)論【難度】【答案】等腰三角形【解析】連接、，G、H分別是、的中點(diǎn)，是等腰三角形【總結(jié)】本題考查了垂徑定理

14、的運(yùn)用【例24】 如圖，P是的弦AB的中點(diǎn)，垂足為C，求證：OPABC【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】連接，P是的弦AB的中點(diǎn)，即【總結(jié)】本題考查了垂徑定與相似三角形的綜合運(yùn)用BCAOD【例25】 位于本市浦東臨港新城的滴水湖是圓形人工湖為測(cè)量該湖的半徑，小智和小方沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測(cè)得BC長(zhǎng)240米，A到BC的距離為5米，如圖所示請(qǐng)你幫他們求出滴水湖的半徑【難度】【答案】1442.5米【解析】連接交于點(diǎn)，連接，A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，設(shè)半徑為，則，由，解得：，所以滴水湖的半徑為14425米【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)

15、用ABCDHO【例26】 如圖，弦CD垂直于的直徑AB，垂足為H，且，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)【難度】【答案】3【解析】由題意得，設(shè)半徑為，則，由，解得，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用【例27】 已知的半徑，AB、CD為的兩條弦，AB、CD的長(zhǎng)分別是方程的兩根，其中AB > CD，且AB / CD，求AB與CD間的距離【難度】【答案】或【解析】，解得：，AB>CD，當(dāng)AB、CD圓心同側(cè)時(shí)，作于，并延長(zhǎng)交于，AB / CD，OFCD，當(dāng)AB、CD圓心兩側(cè)時(shí)，同理可得，AB與CD間的距離是或【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用，做題的關(guān)鍵是要分情況討論ABCPNMEFH【例28】 已知，如圖，與交

16、于A、B，過(guò)A的直線分別交與于M、N，C是MN的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)求證：【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】作，作于，則，且、分別為、的中點(diǎn)，C是MN的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用ABCDEOH【例29】 如圖，已知四邊形ABCD外接圓的半徑為2，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AE = EC，且，求四邊形ABCD的面積【難度】【答案】【解析】，又，連接交于，連接，為中點(diǎn)，即，四邊形ABCD的面積是【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用及圖形的分割，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)注意認(rèn)真觀察【例30】 如圖，在半徑為2的扇形AOB中，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），垂足分別為D、E（1

17、）在中是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊？如果存在，請(qǐng)指出并求其長(zhǎng)度，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）設(shè)BD = x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域【難度】OABCDEF【答案】（1）長(zhǎng)度不變，；（2）【解析】（1）連接，D、E分別為、中點(diǎn)，（2）作于，由（1）易得，由題意得，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理、勾股定理及中位線定理的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】 已知半徑為5，若點(diǎn)P不在上，則線段OP的取值范圍為_(kāi)【難度】【答案】或【解析】點(diǎn)P不在上，當(dāng)點(diǎn)P在內(nèi)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在外時(shí)， ，綜上可知或【總結(jié)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)BCDEO【習(xí)題2】 如圖，AB是直徑，則_【難度】【

18、答案】【解析】， ，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理【習(xí)題3】 如圖，為方便三個(gè)村莊居民子女的上學(xué)問(wèn)題，上級(jí)鎮(zhèn)政府決定在A、B、C三個(gè)村莊旁邊造一所學(xué)校，要求它到各村莊的距離相等，請(qǐng)你在圖中畫出學(xué)校的位置（保留作圖痕跡）【難度】【答案】如圖所示【解析】作線段、的中垂線的交點(diǎn)即為學(xué)校位置【總結(jié)】本題考查了不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓ABCDEFO【習(xí)題4】 如圖，求的度數(shù)【難度】【答案】【解析】，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理ABCDE【習(xí)題5】 如圖，在中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E求證：（1）；（2）D是AC的中點(diǎn)【難

19、度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】（1）連接，是等邊三角形，；（2）由（1）得，D是AC的中點(diǎn)【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理ABCDEO【習(xí)題6】 如圖，AB為直徑，E為的中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D，BD = 3，AB = 10，則AC =_【難度】【答案】8【解析】AB為直徑，E為的中點(diǎn)，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理及三角形中位線CDEFO【習(xí)題7】 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中的），點(diǎn)O是的圓心，其中CD = 600米，E為上一點(diǎn)，且，垂足為F，EF = 90米，求這段彎路的半徑【難度】【答案】545米【解析】點(diǎn)O是的圓心，設(shè)的半徑為，則，由得，解得，這段彎路的半徑

20、為545米【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用ABCOEFG【習(xí)題8】 如圖，在中，截的三邊所得的弦長(zhǎng)都相等，求的度數(shù)【難度】【答案】【解析】作、，截的三邊所得的弦長(zhǎng)都相等，平分，平分，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理、角平分線的逆定理及三角形的內(nèi)角和ABCEFNMO【習(xí)題9】 已知，如圖，是等邊三角形，AB是的直徑，CE、CF交AB于點(diǎn)M、N求證：AM = MN = NB【難度】【答案】詳見(jiàn)解析【解析】連接、，是等邊三角形，/，O是AB中點(diǎn)，同理，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理及平分線分線段成比例【習(xí)題10】 如圖，AB為的直徑，CD為弦，過(guò)點(diǎn)C、D

21、分別作、，分別交AB于點(diǎn)N、M，請(qǐng)問(wèn)圖中的AN與BM是否相等，說(shuō)明理由ABCDONMH【難度】【答案】AN與BM相等【解析】作交于，則，、，【總結(jié)】本題考查了垂徑定理及梯形的中位線課后作業(yè)【作業(yè)1】 在下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（ ） 圓心角相等，則它們所對(duì)的弦必相等； 經(jīng)過(guò)線段的兩個(gè)端點(diǎn)及線段所在直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)圓； 直徑平分弦，則必垂直于弦； 如果同圓中，兩條弦互相平分，那么這兩條弦都是直徑A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)【難度】 【答案】B【解析】 需說(shuō)明是在同圓或等圓中，故錯(cuò)誤； 不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故正確； 直徑平分非直徑的弦，則必垂直于弦，故錯(cuò)誤； 如果同圓中，直徑垂直于弦，則

22、必然平分弦，故錯(cuò)誤【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理及垂徑定理【作業(yè)2】 在中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AC = 7，BC = 4若以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓，判斷點(diǎn)D、E與的位置關(guān)系【難度】【答案】點(diǎn)D在外；點(diǎn)E在內(nèi)【解析】AC = 7，BC = 4，點(diǎn)D在外；，點(diǎn)E在內(nèi)【總結(jié)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【作業(yè)3】 已知直線a和直線外兩點(diǎn)A、B，經(jīng)過(guò)A、B作一圓，使它的圓心在直線a上【難度】【答案】如圖所示【解析】作線段的中垂線于直線的交點(diǎn)即為圓心【總結(jié)】本題考查了線段的垂直平分線的作法【作業(yè)4】 已知外一點(diǎn)A和圓上的點(diǎn)最大距離為23厘米，最小距離為10厘米，則的半徑為_(kāi)厘米【難度】【答案】【解析】點(diǎn)與圓心的連心線所在的直線與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)到圓上的最大距離和最小距離，所以半徑厘米【總結(jié)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系A(chǔ)BCOE【作業(yè)5】 如圖，在中，試確定AB與2BC的大小關(guān)系【難度】【答案】【解析】取中點(diǎn)，【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距