余弦定理教學設(shè)計52511

1、1.12余弦定理教學設(shè)計一、教學目標認知目標：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導學生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內(nèi)容，推證余弦定理，并簡單運用余弦定理解三角形；能力目標：引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和觀察與邏輯思維能力，能體會用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題； 情感目標：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調(diào)動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，培養(yǎng)學生學習數(shù)學興趣和熱愛科學、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學重難點重點：探究和證明余弦定理的過程；理解掌握余弦定理的內(nèi)容；初步對余弦定理進行應(yīng)用。難點：利用向量法證明余弦

2、定理的思路；對余弦定理的熟練應(yīng)用。三、學情分析和教學內(nèi)容分析在學習本節(jié)課之前，學生已經(jīng)學習了正弦定理的內(nèi)容，初步掌握了正弦定理的證明及應(yīng)用，并明確了用正弦定理可以來解哪些類型的三角形。在此基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)設(shè)一個“已知三角形兩邊及夾角”來解三角形的實際例子，學生發(fā)現(xiàn)不能用上一節(jié)所學的知識來解決這一問題，從而引發(fā)學生的學習興趣，引出這一節(jié)的內(nèi)容。在對余弦定理教學中時，考慮到它比正弦定理形式上更加復雜，教師可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的啟發(fā)和引導，讓學生進行思考，通過類比、聯(lián)想、質(zhì)疑、探究等步驟，輔以小組合作學習，建立猜想，獲得命題，再想方設(shè)法去證明。在用兩種不同的方法證明余弦定理時

3、，學生可能會遇到證明思路上的困難，教師可以適當?shù)狞c撥。四、教學過程環(huán)節(jié)一 【創(chuàng)設(shè)情境】1、復習引入讓學生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個定理解決哪些類型的問題。ABC圖12、情景引入如圖1，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁，量出A到山腳B、C的距離，再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳BC（即線段BC）的張角，最后通過計算求出山腳的長度BC。學生不難將這個實際問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學問題：已知三角形的兩邊和一個夾角，去求三角形的另外一邊。這個問題是不能使用正弦定理來求解的。學生急切的希望應(yīng)用新知識來解決這個問題。環(huán)節(jié)二 【導入新課】問題：在ABC中，

4、當C=90°時，有c2=a2+b2若a，b邊的長短不變，變換C的大小時，c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請同學們思考。 教師鼓勵學生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學生解決問題，學生回答，借助于多媒體動畫演示結(jié)果。如圖2，若C90°時，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變短，即c2a2+b2CBAB圖2ACBB圖3如圖3，若C90°時，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變長，即c2a2+b2經(jīng)過議論學生已得到當C90°時，c2a2+b2。環(huán)節(jié)三 【新課探究】探究1、在上一個問題中，我們已經(jīng)知道，當C90°時，c2a2+b2。那么c2與a2

5、+b2到底有什么等量關(guān)系呢？請同學們繼續(xù)探究。教師引導學生分組合作學習，可讓幾個小組的學生研究當C為銳角時的結(jié)論，另外的小組研究當C為鈍角時的結(jié)論。最后交流探索，展示成果。如圖4，當C為銳角時，作BDAC于D，BD把ABC分成兩個直角三角形： ACBD圖4在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化為c2=(bacosC)2+(asinC)2，c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b22abcosC可以看出C為銳角時，ABC的三邊a，b

6、，c具有c2=a2+b22abcosC的關(guān)系。如圖5，當C為鈍角時，作BDAC，交AC的延長線于D。BADC圖5ACB是兩個直角三角形之差。在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=CBD=BC·sin(C)，CD=BC· cos(C)所以AB2=AD2+BD2化為c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因為cos(C)=cosC，所以也可以得到c2=b2+a22abcosC。教師點撥：以上兩種情況，我們可以考察向量在向量方向上

7、的正射影的數(shù)量：當C分別是銳角和鈍角的時候，得到兩個數(shù)量符號相反；當C是直角的時候，其向量在直角邊上的正射影的數(shù)量為零。因此，無論是C是銳角、直角還是鈍角，都有,在RtADB中，運用勾股定理，得c2=a2+b22abcosC，我們輪換A，B，C的位置可以得到a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB于是，我們得到三角形中邊角關(guān)系的又一重要定理：（多媒體投影余弦定理的內(nèi)容） 余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即c2=a2+b22abcosCa2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB從以上的公式中解出,則可以

8、得到余弦定理的另外一種形式：從以上分析過程，我們對C不是直角的情況有了清楚認識。我們不僅要認識到，C為銳角和鈍角時都有c2=a2+b22abcosC，還要體會出怎樣把一個斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形的。這種由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學中經(jīng)常用到。探究2、你還能用向量的方法證明余弦定理嗎？參看教材例1左上方的思路提示。教師點撥學生的思路，可以讓學生分組討論、探究，最后教師用多媒體展示證明的思路及過程。圖6如圖6，在ABC中，設(shè)，教師點評：對于探究1，我們分C是銳角和鈍角的情況對余弦定理的形式給出了證明，過程比較復雜；對于探究2，我們應(yīng)用向量的數(shù)量積可以很簡單的證明余弦定理，這就可以看出向量作為一

9、種工具在證明一些數(shù)學問題中的作用，在今后的學習中，我們應(yīng)該加強對所學知識的應(yīng)用。探究3、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用教師啟發(fā)學生：根據(jù)余弦定理的兩種形式，可以看出它能夠解決解三角形的哪些類型？（學生并不難發(fā)現(xiàn)，余弦定理可以用來解決兩種解三角形的類型：已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊；已知三角形的三邊，求三個內(nèi)角。）下面，請同學們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用，來解決以下三個例題。（用多媒體展示例題）例1、在ABC中，已知a=5,b=4,C=120O,求c.例2、在ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個內(nèi)角的大小及其面積（精確到0.1）.例3、ABC的定點為A(6,5),B(-2,8),和

10、C(4,1),求A(精確到0.1).雙邊活動：師生可以共同完成例題，進一步的加深學生對余弦定理的應(yīng)用。環(huán)節(jié)四 【練習與鞏固】1、在ABC中，a=1,b=1,C=120O,則c= 。2、在ABC中，若三邊a,b,c滿足，則A= 。3、在ABC中，已知 ,這個三角形是 （填銳角、直角、鈍角三角形）。4、在ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中線長為2，求AB。雙邊活動：學生限時訓練，讓學生回答結(jié)果，對于出錯題目加以講解，可以用多媒體展示第4題的解題過程。環(huán)節(jié)五 【課堂反思總結(jié)】通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法？你對此有何體會？（先由學生回答總結(jié)，教師適時的補充完善）1、余弦定理

11、的發(fā)現(xiàn)從直角入手，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討論的數(shù)學思想；2、用向量證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學知識的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的應(yīng)用；3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類問題。（從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最后得到了推導出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。在強調(diào)研究性學習方法，注重學生的主體地位，調(diào)動學生積極性，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動的教學。）環(huán)

12、節(jié)六 【布置課后作業(yè)】1、若三角形ABC的三條邊長分別為，則 。2、在ABC中,若a7,b8,則最大內(nèi)角的余弦值為 _ 。3、已知ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。五、教學反思1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復習定理內(nèi)容，加強定理的應(yīng)用。 2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。 3、本節(jié)課的重點首先是定理

13、的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學生定理概念的結(jié)論或公式，讓學生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學生的負擔，效果很差。學生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應(yīng)用呢？事實上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學方法和學習方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標教育的教學理念。新課標課程倡導：強調(diào)過程，重視學生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學脫離學生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識”的權(quán)利還給學生。 4、本節(jié)課的教學過程重視學生探究知識的

14、過程，突出了以教師為主導，學生為主體的教學理念。教師通過提供一些可供學生研究的素材，引導學生自己去研究問題，探究問題的結(jié)論。在這個過程中，教師應(yīng)該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學生獨立思考、合作學習的意識，更不能采取“放羊式”的教學，對于學生在探究問題中出現(xiàn)的困惑置之不理。 5、合理的應(yīng)用多媒體教學，起到畫龍點睛、提高效率、增強學生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生上課時的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習、鞏固，課后會很快將所學的知識忘得一干二凈。 6、在實際的教學中，發(fā)現(xiàn)學生對

15、于所學的知識（例如向量）不能很好的應(yīng)用，學生的數(shù)學思想（如分類討論、數(shù)形結(jié)合）也不能靈活的應(yīng)用，這在以后的教學中還應(yīng)該加強。從授課的實際效果來看，能較好的完成本節(jié)課的教學任務(wù)。后一階段的教學主要應(yīng)該加強師生的課堂雙邊活動，處理好教與學的關(guān)系，充分調(diào)動學生的課堂參與意識，鼓勵學生積極大膽的發(fā)言，學生主動暴露自己的問題，教師及時的加以糾正，使教學更具針對1.1.2余弦定理（導學案） 學習目標1.會用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法。，2.熟記并掌握余弦定理3.能運用余弦定理及其推論解三角形學習重點 余弦定理的理解及應(yīng)用學習難點由數(shù)量積證明余弦定理及應(yīng)用學習過程一、課前準備【知識清單】（預(yù)習教材P5-

16、8，找出疑惑之處）1.余弦定理：2.余弦定理的推論： 3.用余弦定理可以解決兩類有關(guān)解三角形的問題已知三邊，求 已知 和它們的 ，求第三邊和其他兩個角?！九５缎≡嚒?已知，求；2已知，求cos二、新課導學1【復習導入】1.三角形的正弦定理內(nèi)容： 2.已知A=,C=,，你能解這個解三角形？【探究】在問題中探究余弦定理若把2的條件C=,改成，如何解三角形？（即已知三角形的兩邊及其夾角解三角形 ） 問題：聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？分析：用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c；由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A 設(shè)，那么，則 C B （小組

17、合作完成）余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ 從余弦定理，又可得到以下推論： 理解定理余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？【探究2】若ABC中，C=，則，這時，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。當為銳角時，嗎；當為鈍角時，三邊的平方關(guān)系是怎樣的。上面幾個命題的逆命題成立嗎？三、典例精析【例1】在ABC中，已知，求b及A【例