第一章試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析

1、第一章 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析（I）教學(xué)內(nèi)容與要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解誤差的基本概念及表示方法；（3）理解試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的來(lái)源及分類；（4）理解描述試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度的三個(gè)術(shù)語(yǔ)：精密度、正確度和準(zhǔn)確度；（5）理解隨機(jī)誤差的估計(jì)方法，理解秩和檢驗(yàn)法在系統(tǒng)誤差檢驗(yàn)中的應(yīng)用，掌握可疑數(shù)據(jù)的取舍規(guī)則；（6）理解有效數(shù)字的含義、有效數(shù)字的運(yùn)算；（7）掌握誤差的傳遞的基本原理；（8）了解Excel在誤差分析中的應(yīng)用。（II）教學(xué)重點(diǎn)可疑數(shù)據(jù)的取舍規(guī)則，誤差的傳遞。（III）教學(xué)難點(diǎn)誤差的傳遞。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得的大批數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)的初步結(jié)果，但在實(shí)驗(yàn)中由于測(cè)量?jī)x表和人的觀察等方面的

2、原因，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總存在一些誤差，即誤差的存在是必然的，具有普遍性的。因此，研究誤差的來(lái)源及其規(guī)律性，盡可能地減小誤差，以得到準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于尋找事物的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)可能存在的新現(xiàn)象是非常重要的。誤差估算與分析的目的就是評(píng)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，通過(guò)誤差估算與分析，可以認(rèn)清誤差的來(lái)源及其影響，確定導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)總誤差的最大組成因數(shù)，從而在準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)方案和研究過(guò)程中，有的放矢地集中精力消除或減小產(chǎn)生誤差的來(lái)源，提高實(shí)驗(yàn)的質(zhì)量。目前對(duì)誤差應(yīng)用和理論發(fā)展日益深入和擴(kuò)展，涉及內(nèi)容非常廣泛，本章只就化工基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中常遇到的一些誤差基本概念與估算方法作一扼要介紹。1.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的真值和平均值真值真值是指某物理量客觀存在的

3、確定值。對(duì)它進(jìn)行測(cè)量時(shí)，由于測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、環(huán)境、人員及測(cè)量程序等都不可能完美無(wú)缺，實(shí)驗(yàn)誤差難于避免，故真值是無(wú)法測(cè)得的，是一個(gè)理想值。在分析實(shí)驗(yàn)測(cè)定誤差時(shí)，一般用如下方法替代真值：(1)實(shí)際值是現(xiàn)實(shí)中可以知道的一個(gè)量值，用它可以替代真值。如理論上證實(shí)的值，像平面三角形內(nèi)角之和為180；又如計(jì)量學(xué)中經(jīng)國(guó)際計(jì)量大會(huì)決議的值，像熱力學(xué)溫度單位絕對(duì)零度等于273.15K；或?qū)?zhǔn)確度高一級(jí)的測(cè)量?jī)x器所測(cè)得的值視為真值。(2)平均值是指對(duì)某物理量經(jīng)多次測(cè)量算出的平均結(jié)果，用它替代真值。當(dāng)然測(cè)量次數(shù)無(wú)限多時(shí)，算出的平均值應(yīng)該是很接近真值的，實(shí)際上測(cè)量次數(shù)是有限的（比如10次），所得的平均值只能說(shuō)是近似

4、地接近真值。 平均值在化工領(lǐng)域中，常用的平均值有下面幾種：(1)算術(shù)平均值 這種平均值最常用。設(shè) 、 、 代表各次的測(cè)量值， 代表測(cè)量次數(shù)，則算術(shù)平均值為（1-1）凡測(cè)量值的分布服從正態(tài)分布時(shí)，用最小二乘法原理可證明：在一組等精度的測(cè)量中，算術(shù)平均值為最佳值或最可信賴值。（2）加權(quán)平均值（weighted mean）如果某組試驗(yàn)值是用不同的方法獲得，或由不同的試驗(yàn)人員得到的，則這組數(shù)據(jù)中不同值得精度與可靠度不一致，為了突出可靠性高的數(shù)值，則可采用加權(quán)平均值。計(jì)算公式為:=（1X1+2X2+-+nXn）/（1+2+-+n）（1-2） 其中為加權(quán)系數(shù)。(3)對(duì)數(shù)平均值 在化學(xué)反應(yīng)、熱量與質(zhì)量傳遞中

5、，分布曲線多具有對(duì)數(shù)特性，此時(shí)可采用對(duì)數(shù)平均值表示量的平均值。設(shè)有兩個(gè)量、，其對(duì)數(shù)平均值為(1-3)兩個(gè)量的對(duì)數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值。若1 2時(shí)，可用算術(shù)平均值代替對(duì)數(shù)平均值，引起的誤差不超過(guò)4.4%。 (4)幾何平均值 幾何平均值的定義為(1-4)以對(duì)數(shù)表示為(1-5)對(duì)一組測(cè)量值取對(duì)數(shù)，所得圖形的分布曲線呈對(duì)稱時(shí)，常用幾何平均值?？梢?jiàn)，幾何平均值的對(duì)數(shù)等于這些測(cè)量值 的對(duì)數(shù)的算術(shù)平均值。幾何平均值常小于算術(shù)平均值。(5)調(diào)和平均值（harmonic mean）設(shè)有n個(gè)正試驗(yàn)值：X1，X2，-，Xn，則它們的調(diào)和平均值為(1-6)(1-7)或以上所介紹的各種平均值，都是在不同場(chǎng)合想從一組測(cè)

6、量值中找出最接近于真值的量值。平均值的選擇主要取決于一組測(cè)量值的分布類型，在化工實(shí)驗(yàn)和科學(xué)研究中，數(shù)據(jù)的分布一般為正態(tài)分布，故常采用算術(shù)平均值。1.2 誤差的基本概念 絕對(duì)誤差（absolute error） 試驗(yàn)值與真值之差稱為絕對(duì)誤差（absolute error），即：絕對(duì)誤差 試驗(yàn)值（量值）真值 （1-8） 絕對(duì)誤差反映了試驗(yàn)值偏離真實(shí)的大小，這個(gè)偏差可正可負(fù)。通常所說(shuō)的誤差一般是指絕對(duì)誤差。如果用X，Xt，X分別表示試驗(yàn)值、真值和絕對(duì)誤差，則有： XXXt （1-9）所以有： （1-10）或者 （1-11）由此可得： （1-12） （1-13） （1-14） （1-15） 相對(duì)誤差用

7、以區(qū)分兩組不同準(zhǔn)確度的比較。相對(duì)誤差雖然在一定條件下能反映試驗(yàn)值的準(zhǔn)確程度。(1-16)(1-17)(1-18)顯而易見(jiàn)，Er小的試驗(yàn)值精度較高。由式（1-18）可知，相對(duì)誤差可以有絕對(duì)誤差求出；反之也可以，其關(guān)系式：(1-19) (1-20) (1-21)或 (1-22)請(qǐng)注意：任何量的絕對(duì)誤差和最大絕對(duì)誤差都是名數(shù)，其單位與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的單位相同。絕對(duì)誤差雖很重要，但僅用它還不足以說(shuō)明測(cè)量的準(zhǔn)確程度。換句話說(shuō)，它還不能給出測(cè)量準(zhǔn)確與否的完整概念。此外，有時(shí)測(cè)量得到相同的絕對(duì)誤差可能導(dǎo)致準(zhǔn)確度完全不同的結(jié)果。例如，要判別稱量的好壞，單單知道最大絕對(duì)誤差等于1克是不夠的。因?yàn)槿绻Q量物體本身的質(zhì)

8、量有幾十千克，那么，絕對(duì)誤差1克，表明此次稱量的質(zhì)量是高的；同樣，如果所稱量的物質(zhì)本身僅有23克，那么，這又表明此次稱量的結(jié)果毫無(wú)用處。顯而易見(jiàn)，為了判斷測(cè)量的準(zhǔn)確度，必須將絕對(duì)誤差與所測(cè)量值的真值相比較，即求出其相對(duì)誤差，才能說(shuō)明問(wèn)題。 算術(shù)平均誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤差 次測(cè)量值的算術(shù)平均誤差為=(1-23)上式應(yīng)取絕對(duì)值，否則，在一組測(cè)量值中，（）值的代數(shù)和必為零。 標(biāo)準(zhǔn)誤差 次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（亦稱均方根誤差）為(1-24)算術(shù)平均誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤差的聯(lián)系和差別次測(cè)量值的重復(fù)性（亦稱重現(xiàn)性）愈差，次測(cè)量值的離散程度愈大，次測(cè)量值的隨機(jī)誤差愈大，則值和值均愈大。因此，可以用值和值來(lái)衡量 次測(cè)量值的重復(fù)性

9、、離散程度和隨機(jī)誤差。但算術(shù)平均誤差的缺點(diǎn)是無(wú)法表示出各次測(cè)量值之間彼此符合的程度。因?yàn)槠畋舜讼嘟囊唤M測(cè)量值的算術(shù)平均誤差，可能與偏差有大中小三種情況的另一組測(cè)量值的相同。而標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)一組測(cè)量值中的較大偏差或較小偏差很敏感，能較好地表明數(shù)據(jù)的離散程度。例：某次測(cè)量得到下列兩組數(shù)據(jù)（單位為cm）A組：2.3 2.4 2.2 2.1 2.0 B組：1.9 2.2 2.2 2.5 2.2求各組的算術(shù)平均誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤差值。解：算術(shù)平均值為算術(shù)平均誤差為標(biāo)準(zhǔn)誤差為由上例可見(jiàn)盡管兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值相同，但它們的離散情況明顯不同。由計(jì)算結(jié)果可知，只有標(biāo)準(zhǔn)誤差能反映出數(shù)據(jù)的離散程度。實(shí)驗(yàn)愈準(zhǔn)確，其標(biāo)準(zhǔn)誤

10、差愈小，因此標(biāo)準(zhǔn)誤差通常被作為評(píng)定次測(cè)量值隨機(jī)誤差大小的標(biāo)準(zhǔn)，在化工實(shí)驗(yàn)中得到廣泛應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)誤差和絕對(duì)誤差的聯(lián)系次測(cè)量值的算術(shù)平均值 的絕對(duì)誤差為（1-25）算術(shù)平均值 的相對(duì)誤差為（1-26）由上面的公式可見(jiàn)，次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差愈小，測(cè)量的次數(shù)愈多，則其算術(shù)平均值的絕對(duì)誤差愈小。因此增加測(cè)量次數(shù)，以其算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，是減小數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差的有效方法之一。1.3 誤差的定義及分類誤差的定義誤差是實(shí)驗(yàn)測(cè)量值(包括直接和間接測(cè)量值)與真值(客觀存在的準(zhǔn)確值)之差。誤差的大小，表示每一次測(cè)得值相對(duì)于真值不符合的程度。誤差有以下含義：（1）誤差永遠(yuǎn)不等于零。不管人們主觀愿望如何，也不管人們?cè)跍y(cè)量過(guò)

11、程中怎樣精心細(xì)致地控制，誤差還是要產(chǎn)生的，不會(huì)消除，誤差的存在是絕對(duì)的。（2）誤差具有隨機(jī)性。在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)同一個(gè)研究對(duì)象反復(fù)進(jìn)行多次的實(shí)驗(yàn)、測(cè)試或觀察，所得到的竟不是一個(gè)確定的結(jié)果，即實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有不確定性。（3）誤差是未知的。通常情況下，由于真值是未知的。研究誤差時(shí)，一般都從偏差入手。誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)及產(chǎn)生的原因，可將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三種。（1）系統(tǒng)誤差 由某些固定不變的因素引起的。在相同條件下進(jìn)行多次測(cè)量，其誤差數(shù)值的大小和正負(fù)保持恒定，或誤差隨條件改變按一定規(guī)律變化。即有的系統(tǒng)誤差隨時(shí)間呈線性、非線性或周期性變化，有的不隨測(cè)量時(shí)間變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原

12、因有：測(cè)量?jī)x器方面的因素（儀器設(shè)計(jì)上的缺點(diǎn)，零件制造不標(biāo)準(zhǔn)，安裝不正確，未經(jīng)校準(zhǔn)等）。環(huán)境因素（外界溫度，濕度及壓力變化引起的誤差）。測(cè)量方法因素（近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等引起的誤差）。測(cè)量人員的習(xí)慣偏向等。總之，系統(tǒng)誤差有固定的偏向和確定的規(guī)律，一般可按具體原因采取相應(yīng)措施給以校正或用修正公式加以消除。（2）隨機(jī)誤差 由某些不易控制的因素造成的。在相同條件下作多次測(cè)量，其誤差數(shù)值和符號(hào)是不確定的，即時(shí)大時(shí)小，時(shí)正時(shí)負(fù)，無(wú)固定大小和偏向。隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，其誤差與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。隨著測(cè)量次數(shù)的增加，平均值的隨機(jī)誤差可以減小，但不會(huì)消除。因此，多次測(cè)量值的算術(shù)平均值接近于真值。研究隨機(jī)

13、誤差可采用概率統(tǒng)計(jì)方法。（3）粗大誤差 與實(shí)際明顯不符的誤差，主要是由于實(shí)驗(yàn)人員粗心大意，如讀數(shù)錯(cuò)誤，記錄錯(cuò)誤或操作失敗所致。這類誤差往往與正常值相差很大，應(yīng)在整理數(shù)據(jù)時(shí)依據(jù)常用的準(zhǔn)則加以剔除。請(qǐng)注意: 上述三種誤差之間，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如：尺子刻度劃分有誤差，對(duì)制造尺子者來(lái)說(shuō)是隨機(jī)誤差；一旦用它進(jìn)行測(cè)量時(shí)，這尺子的分度對(duì)測(cè)量結(jié)果將形成系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差間并不存在絕對(duì)的界限。同樣，對(duì)于粗大誤差，有時(shí)也難以和隨機(jī)誤差相區(qū)別，從而當(dāng)作隨機(jī)誤差來(lái)處理。1.4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精密度測(cè)量的質(zhì)量和水平，可用誤差概念來(lái)描述，也可用準(zhǔn)確度等概念來(lái)描述。為了指明誤差的來(lái)源和性質(zhì)，通常用以下三個(gè)

14、概念。 精密度精密度可以衡量某物理量幾次測(cè)量值之間的一致性,即重復(fù)性。它可以反映隨機(jī)誤差的影響程度，精密度高指隨機(jī)誤差小。如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為0.01%且誤差純由隨機(jī)誤差引起,則可認(rèn)為精密度為1.010-4。正確度它是指在規(guī)定條件下,測(cè)量中所有系統(tǒng)誤差的綜合。正確度高表示系統(tǒng)誤差小。如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為0.01%且誤差純由系統(tǒng)誤差引起,則可認(rèn)為正確度為1.010-4。準(zhǔn)確度(或稱精確度)它表示測(cè)量中所有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合。因此，準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果與真值的逼近程度。如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差為0.01%且誤差由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差共同引起,則可認(rèn)為準(zhǔn)確度為1.010-4。對(duì)于實(shí)驗(yàn)或測(cè)量來(lái)

15、說(shuō)，精密度高，正確度不一定高。正確度高精密度也不一定高。但準(zhǔn)確度高必然是精密度與正確度都高。如圖1-1所示，A的系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大，即正確度高而精密度低；B的系統(tǒng)誤差大而隨機(jī)誤差小，即正確度低而精密度高；C的系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都小，表示正確度和精密度都高，即準(zhǔn)確度高。圖(A)圖(C)精密度高正確度低精密度低正確度高準(zhǔn)確度高圖1-1 精密度與正確度的關(guān)系 圖1-2 準(zhǔn)確度與精密度的關(guān)系目前，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中所用的名詞術(shù)語(yǔ)頗不統(tǒng)一，各文獻(xiàn)中同一名詞的含義不盡相同。例如不少書(shū)中使用的“精確度”一詞，可能是指系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差兩者的合成，也可能單指系統(tǒng)誤差或隨機(jī)誤差。 在很多書(shū)刊中，還常常見(jiàn)到“精度”

16、一詞。因?yàn)榫纫辉~無(wú)嚴(yán)格的明確定義，所以各處出現(xiàn)的精度含義不盡相同。少數(shù)地方，精度一詞指的是精密度。多數(shù)地方，使用“精度”一詞實(shí)際上是為了說(shuō)明誤差的大小。如說(shuō)某數(shù)據(jù)的測(cè)量精度很高時(shí)，實(shí)指該數(shù)據(jù)測(cè)量的誤差很小。此誤差的大小是隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差共同作用的總結(jié)果。在這種場(chǎng)合，精度一詞與準(zhǔn)確度完全是一回事。1.5實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的估計(jì)與檢驗(yàn) 隨機(jī)誤差的估計(jì)（1）極差（2）標(biāo)準(zhǔn)差（3）方差 系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn) 過(guò)失誤差的檢驗(yàn)對(duì)于可疑數(shù)據(jù)的取舍一定要慎重，一般處理原則如下：（1）在試驗(yàn)過(guò)程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)停止試驗(yàn)，分析原因，及時(shí)糾正錯(cuò)誤；（2）試驗(yàn)結(jié)束后，在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，則應(yīng)先找出產(chǎn)生差異

17、的原因，再對(duì)其進(jìn)行取舍；（3）在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理再做取舍；（4）對(duì)于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗(yàn)報(bào)告中應(yīng)注明舍去的原因或所選用的統(tǒng)計(jì)方法總之，對(duì)于可疑數(shù)據(jù)要慎重，不能任意拋棄和修改。往往通過(guò)對(duì)可疑數(shù)據(jù)的考察，可以發(fā)現(xiàn)引起系統(tǒng)誤差的原因，進(jìn)而改進(jìn)試驗(yàn)方法，有時(shí)甚至得到新試驗(yàn)方法的線索。檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)，常用的統(tǒng)計(jì)方法有拉依達(dá)(Pauta)準(zhǔn)則、格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則、狄克遜(Dixon)準(zhǔn)則、肖維勒(Chauvenet)準(zhǔn)則、t檢驗(yàn)法、F檢驗(yàn)法等；若數(shù)據(jù)較少，則可重做一組數(shù)據(jù)。下面介紹幾種檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法:.1 拉依達(dá)(Pauta)準(zhǔn)則如果可疑數(shù)

18、據(jù)xp與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值的偏差的絕對(duì)值dp大于3倍（或2倍）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即： dp=xp - 3s 或2s (1-27)則應(yīng)將xp從該組試驗(yàn)值中剔除，至于選擇3s還是2s與顯著性水平有關(guān)。顯著性水平表示的是檢驗(yàn)出錯(cuò)的幾率為，或者是檢驗(yàn)的可信度為1。3s相當(dāng)于顯著水平=0.01，2s相當(dāng)于顯著水平 =0.05。拉依達(dá)準(zhǔn)則方法簡(jiǎn)單，無(wú)須查表，用起來(lái)方便。該檢驗(yàn)法適用于試驗(yàn)次數(shù)較多或要求不高時(shí)，這是因?yàn)椋?dāng)n,應(yīng)將多余的數(shù)字舍去。舍去多余數(shù)字常用四舍五入法。這種方法簡(jiǎn)單、方便，適用于舍、入操作不多且準(zhǔn)確度要求不高的場(chǎng)合，因?yàn)檫@種方法見(jiàn)5就入，易使所得數(shù)據(jù)偏大。下面介紹新的舍入規(guī)則是：（1）若舍去

19、部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位加1；（2）若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位不變；（3）若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)。換言之，當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)，則末位不變；當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)，則末位加1。例1-3 將下面左側(cè)的數(shù)據(jù)保留四位有效數(shù)字 3.14159 3.142 2.71729 2.717 2.51050 4.510 3.21567 3.216 5.6235 5.624 6.3785016.379 7.6914997.691在四舍五入法中，是舍是入只看舍去部分的第一位數(shù)字。在新的舍入方法中，是舍是入應(yīng)看整個(gè)舍去部分?jǐn)?shù)值的大小。新的舍

20、入方法的科學(xué)性在于：將“舍去部分的數(shù)值恰好等于保留部分末位的半個(gè)單位”的這一特殊情況，進(jìn)行特殊處理，根據(jù)保留部分末位是否為偶數(shù)來(lái)決定是舍還是入。因?yàn)榕紨?shù)奇數(shù)出現(xiàn)的概率相等，所以舍、入概率也相等。在大量運(yùn)算時(shí)，這種舍入方法引起的計(jì)算結(jié)果對(duì)真值的偏差趨于零。 直接測(cè)量值的有效數(shù)字直接測(cè)量值的有效數(shù)字主要取決于讀數(shù)時(shí)能讀到哪一位。如一支50 ml的滴定管，它的最小刻度是0.1 ml，因讀數(shù)只能讀到小數(shù)點(diǎn)后第2位，如30.24 ml時(shí)，有效數(shù)字是四位。若管內(nèi)液面正好位于30.2 ml刻度上,則數(shù)據(jù)應(yīng)記為30.20 ml,仍然是四位有效數(shù)字(不能記為30.2 ml)。在此，所記錄的有效數(shù)字中，必須有一位

21、而且只能是最后一位是在一個(gè)最小刻度范圍內(nèi)估計(jì)讀出的，而其余的幾位數(shù)是從刻度上準(zhǔn)確讀出的。由此可知，在記錄直接測(cè)量值時(shí)，所記錄的數(shù)字應(yīng)該是有效數(shù)字，其中應(yīng)保留且只能保留一位是估計(jì)讀出的數(shù)字。圖1-3 不同坐標(biāo)分度的讀數(shù)情況如果最小刻度不是1（或110n）個(gè)單位，如圖1-3（a）（b）（c）（d）所示，其讀數(shù)方法可按下面的方法來(lái)讀：讀 數(shù)絕對(duì)誤差有效數(shù)字位（a）3.35.50.52（b）0.64.50.25(0.3)1-2（c）0.34.75(4.8)0.21-2（d）1.45.70.12（e）2.805.110.053 非直接測(cè)量值的有效數(shù)字 （1） 參加運(yùn)算的常數(shù)、e的數(shù)值以及某些因子如 、1/3等的有效數(shù)字，取幾位為宜，原則上取決于計(jì)算所用的原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)。假設(shè)參與計(jì)算的原始數(shù)據(jù)中，位數(shù)最多的有效數(shù)字是n位，則引用上述常數(shù)時(shí)宜n+2位，目的是避免常數(shù)的引入造成更大的誤差。工程上，在大多數(shù)情況下，對(duì)于上述常數(shù)可取56位有效數(shù)字。（2）在數(shù)據(jù)運(yùn)算過(guò)程中，為兼顧結(jié)果的精度和運(yùn)算的方便，所有的中間運(yùn)算結(jié)果，工程上，一般宜取56位有效