2018高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)案例1213相關(guān)系數(shù)可線性化的回歸分析學(xué)案北師大版

1、1.2相關(guān)系數(shù)1.3可線性化的回歸分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解線性相關(guān)系數(shù)r的求解公式，并會(huì)初步應(yīng)用.2.理解回歸分析的基本思想.3.通過(guò)可線性化的回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度知識(shí)點(diǎn)一相關(guān)系數(shù)1相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù)r.2相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)r的取值范圍為1,1(2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高(3)|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低3相關(guān)性的分類(1)當(dāng)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)(2)當(dāng)r<0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)(3)當(dāng)r0時(shí)，兩個(gè)變量線性不相關(guān)知

2、識(shí)點(diǎn)二可線性化的回歸分析曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)冪函數(shù)曲線yaxbclnavlnxulnyucbv指數(shù)曲線yaebxclnaulnyucbx倒指數(shù)曲線clnavulnyucbv對(duì)數(shù)曲線yablnxvlnxuyuabv1回歸分析中，若r±1說(shuō)明x，y之間具有完全的線性關(guān)系()2若r0，則說(shuō)明兩變量是函數(shù)關(guān)系(×)3樣本相關(guān)系數(shù)的范圍是r(，)(×)類型一線性相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用例1下圖是我國(guó)2012年至2018年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖注：年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份20122018.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)

3、用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量附注：參考數(shù)據(jù)：i9.32，iyi40.17，0.55，2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程yabt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b，ab.解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得4，(ti)228，0.55.(ti)(yi)iyii40.174×9.322.89，r0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系(2)由1.331及(1)得b0.103，ab1.3310.103×40

4、.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y0.920.10t.將2020年對(duì)應(yīng)的t9代入回歸方程得y0.920.10×91.82.所以預(yù)測(cè)2020年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸反思與感悟(1)散點(diǎn)圖只能直觀判斷兩變量是否具有相關(guān)關(guān)系(2)相關(guān)系數(shù)能精確刻畫兩變量線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱跟蹤訓(xùn)練1變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，那么x，y之間的相關(guān)系數(shù)r的最接近的值為()A1B0.5C0D0.5考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析從散點(diǎn)圖中，我們可以看出，x與y沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，因而r的值接近于0.類型二可線性化的回歸分析例2某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量

5、y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1,2，8)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值(xi)2(wi)2(xi)·(yi)(wi)·(yi)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi，i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx與ycd哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)當(dāng)年宣傳費(fèi)x49時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值是多少？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線

6、vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(2)令w，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于d68，cd56368×6.8100.6，所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y100.668w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y100.668.(3)由(2)知，當(dāng)x49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y100.668576.6.反思與感悟由樣本數(shù)據(jù)先作散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布規(guī)律選擇合適的函數(shù)模型如果發(fā)現(xiàn)具有線性相關(guān)頭系，可由公式或計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能，求得線性回歸方程的兩個(gè)參數(shù)如果發(fā)現(xiàn)是指數(shù)型函數(shù)或二次函數(shù)，可

7、以通過(guò)一些代數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型跟蹤訓(xùn)練2在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521求y關(guān)于x的回歸方程考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析解由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y，令t，則ykt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyit1416641622122443155140.5210.2550.2510.250.06257.753694.2521.3125所以1.55，7.2.所以b4.1

8、344，ab0.8.所以y4.1344t0.8.所以y與x之間的回歸方程是y0.8.1給定y與x是一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r0.690，則()Ay與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)By與x線性不相關(guān)Cy與x正線性相關(guān)Dy與x負(fù)線性相關(guān)考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案D解析因?yàn)閨r|0.690|<0.75，所以y與x的線性相關(guān)性一般，又因?yàn)閞0.690<0，所以y與x負(fù)線性相關(guān)2某種細(xì)胞在培養(yǎng)正常的情況下，時(shí)刻t(單位：分)與細(xì)胞數(shù)n(單位：個(gè))的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：t02060140n128128根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，推測(cè)繁殖到1000個(gè)細(xì)胞時(shí)的時(shí)刻t最接近于()A200B220C240D260

9、考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案A解析由表可得時(shí)刻t(單位：分)與細(xì)胞數(shù)n滿足回歸方程n，由此可知n1000時(shí)，t接近200.3對(duì)于回歸分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A在回歸分析中，變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因此因變量不能由自變量唯一確定B線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的C回歸分析中，如果r±1，說(shuō)明x與y之間完全線性相關(guān)D樣本相關(guān)系數(shù)r(1,1)考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案D解析相關(guān)系數(shù)|r|1，D錯(cuò)誤4由兩個(gè)變量x與y的散點(diǎn)圖可看出樣本點(diǎn)分布在一條曲線yx2的附近，若要將其線性化，則只需要設(shè)_即可考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案tx2解析設(shè)tx2，則yt為

10、線性回歸方程5一唱片公司研究預(yù)支出費(fèi)用x(十萬(wàn)元)與唱片銷售量y(千張)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機(jī)抽選了10張，得到如下的資料：i28，303.4，i75，598.5，iyi237，則y與x的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值為_(kāi)考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案0.3解析根據(jù)公式得相關(guān)系數(shù)r0.3，所以|r|0.3.1散點(diǎn)圖的優(yōu)點(diǎn)是直觀但是有時(shí)不能準(zhǔn)確判斷，尤其數(shù)據(jù)較多時(shí)，不易作出散點(diǎn)圖這時(shí)可根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r來(lái)判斷2對(duì)于具有非線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，可以通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題去解決.一、選擇題1若兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸方程為y

11、bxa，那么()Ab·r>0Bb·r<0Ca·r>0Da·r<0考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案A解析對(duì)于回歸方程ybxa，當(dāng)b>0時(shí)，x和y正相關(guān)，則r>0；當(dāng)b<0時(shí)，x和y負(fù)相關(guān)，則r<0.綜上所述，b·r>0.2關(guān)于兩個(gè)變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r，有下列說(shuō)法：若r>0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；若r1或r1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上其中正確的有()ABCD考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題

12、點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案D解析根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行判斷：當(dāng)r為正數(shù)時(shí)，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時(shí)，表示兩個(gè)變量x，y負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱故可知正確3甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行線性相關(guān)試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是()A甲B乙C丙D丁考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案D解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，結(jié)合題意可知，丁的線性

13、相關(guān)性更強(qiáng)，故選D.4若一函數(shù)模型為yax2bxc(a0)，為將y轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的線性回歸方程，則需作變換t等于()Ax2B(xa)2C.2D以上都不對(duì)考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案C解析y關(guān)于t的線性回歸方程，實(shí)際上就是y關(guān)于t的一次函數(shù)，因?yàn)閥a2(a0)，故選C.5對(duì)于指數(shù)曲線yaebx，令ulny，clna，經(jīng)過(guò)非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為()AucbxBubcxCybcxDycbx考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案A解析對(duì)方程yaebx兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后將ulny，clna代入，不難得出ucbx.6某奶茶店為了了解奶茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作

14、了6天賣出的奶茶的杯數(shù)與氣溫的對(duì)照表：氣溫x()2619141041杯數(shù)y201242339383505640經(jīng)檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，那么，對(duì)于氣溫x()與奶茶銷售量y(杯)這兩個(gè)變量，下列判斷正確的是()A呈正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(12,385)B呈負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(12,385)C呈正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(12,386)D呈負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(12,386)考點(diǎn)線性回歸直線方程題點(diǎn)樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用答案B解析畫出散點(diǎn)圖(圖略)可知成負(fù)相關(guān)，又根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得12，385，故選B.7有一組數(shù)據(jù)如下表：X1.9933.0024.0015.0326.121Y1.50

15、14.4137.49812.0417.93現(xiàn)準(zhǔn)備從以下函數(shù)中選擇一個(gè)能夠近似地表示這組數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中擬合最好的是()Ay2x2Bylog2xCy2x11Dyx2考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案D解析把X看作自變量，Y看作其函數(shù)值，從表中數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)看，函數(shù)遞增的速度不斷加快A選項(xiàng)中一次函數(shù)是以一個(gè)恒定的幅度變化，其圖像是直線，不符合本題的變化規(guī)律B選項(xiàng)為對(duì)數(shù)型函數(shù)，隨著X的增大Y的遞增速度不斷變慢，不符合本題的變化規(guī)律C選項(xiàng)為指數(shù)型函數(shù)，隨著X的增大Y的遞增速度不斷變快，但增長(zhǎng)速度超出題目中Y的增長(zhǎng)速度，不符合本題的變化規(guī)律D選項(xiàng)是二次函數(shù)，對(duì)比數(shù)據(jù)知，其最接近這組數(shù)據(jù)的變化趨

16、勢(shì)故選D.8.設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線如圖，以下說(shuō)法正確的是()Ax和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率Bx和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同D由直線l可知，r一定小于0考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案D解析因?yàn)閞的符號(hào)與線性回歸方程yabx斜率符號(hào)相同，故r一定小于0.二、填空題9在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這

17、組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_(kāi)考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案1解析根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知，當(dāng)所有樣本點(diǎn)都在直線yx1上時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1.10若已知(yi)2是(xi)2的4倍，(xi)(yi)是(xi)2的1.5倍，則相關(guān)系數(shù)r的值為_(kāi)考點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)題點(diǎn)線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用答案解析由r，得r.11在研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線yebxa的周圍令zlny，求得線性回歸方程為z0.25x2.58，則該模型的回歸方程為_(kāi)考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析答案ye0.25x2.58解析因?yàn)閦0.25x2.58，zlny，所以ye0.25x2.58.

18、三、解答題12噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題，為了了解聲音強(qiáng)度D(單位：分貝)與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度Di和聲音能量Ii(i1,2，10)數(shù)據(jù)做了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值(數(shù)據(jù)：3.16×1012，45.7，11.5，(Ii)21.56×1011，(Wi)20.51，(Ii)(Di)6.88×1011，(Wi)(Di)5.1，其中WilgIi，i)根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的回歸方程DablgI；附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(1，1)，(2，2)，(n，n)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.考點(diǎn)非線性回歸分析題點(diǎn)非線性回歸分析解令WilgIi，先建立D關(guān)于W的線性回歸方程，由于b10，ab160.7，D關(guān)于W的線性回歸方程為D10W160.7，