初等幾何研究試題標(biāo)準(zhǔn)答案(1)(李長(zhǎng)明版)

1、1 / 26初等幾何研究試題答案（I）、線(xiàn)段與角的相等1.OO、OQ 相交于 A B,OO 的弦 BC 交OQ 于 E,O02 的弦 BD 交O0 于 F,求證：(1)若2DBA2CBA 貝卩 DF=CE;若 DF 二 CE 則 / DBAMCBA.證明:連接 AC AE AF、AD在O0 中，由/ CBAWDBA 得 AC=AF在OO 中，由/ CBAWDBA 得 AE=AD由 A C、B、E 四點(diǎn)共圓得/仁/2由 A D B、E 四點(diǎn)共圓得/ 3 二/4所以 ACEAAFD DF=CE(2)由(1)得/ 仁/ 2, / 3=24vDF=CEACEAAFD2 / 26 AD=AE在OQ 中，

2、由 AD=AE得/ DBAMCBA2.在厶 ABC 中 ,AC=BC,ZACB=90,D 是 AC 上的一點(diǎn),AE 丄 BD 的延長(zhǎng)線(xiàn) 于 E,又 AE=1BD,2求證:BD 平分/ ABC.證明：延長(zhǎng) AE,BC 交于點(diǎn) F7 AED BCA =90ADE BDC CBD =/CAF又 7 ACF BCA = 90 AC 二 BC ACF 三 BCD . AF = BD11又 7 AEBD . AE AF22又 7 ABEE _ BE BE 平分 ABF即 BD 平分.ABC3.已知在凸五邊形 ABCDE 中 , / BAE=3 ,BC=CD=DEM/ BCD 玄CDE=180-求證：/ B

3、AC2CADhDAE.3 / 26證明：連接 BD,得 CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=18(0-(180o 2 - ) -2=.:丄BDE=(180 2G)-O(=180O 3 A B、D E 共圓同理 A C D E 共圓 hBAChCADhDAE4.設(shè) H 為銳角 ABC 的垂心，若 AH 等于外接圓的半徑求證：hBAC=60證明：過(guò)點(diǎn) B 作 BDL BC,交圓周于點(diǎn) D,連結(jié) CD D/ DBC=90, CD 是直徑，則/ CAD=90由題，可得 AHLBC, BH 丄 AC4 / 26 BD/ AH, AD/ BH二四邊形 ADBH 是 AH=BD又;AH 等于外接圓的半徑

4、（R） BD=RMCD=2R在 Rt BCD 中 ,CD=2BD 即/ BCD=30 / BDC=60又；/ BACKBDCBACMBDC=605.在厶 ABC 中, / C=90,BE 是/B 的平分線(xiàn),CD 是斜邊上的高，過(guò) BECD 之交點(diǎn) 0 且平行于 AB 的直線(xiàn)分別交 AC BC 于 F、G,求證 AF=CE.證明:如圖；/ 1 =23, / 仁/2.2二二/ 3, GB = GO,；25=24=26,CO =CE,；FG/ AB,. AF/CF二二B$CG二二G0CG,又； FC3ACOG/. CO7CF=G/CG=A/CF, CO=AF； CO=CE, AF=CE.6.在厶 A

5、BC 中,先作角 A B 的平分線(xiàn),再?gòu)狞c(diǎn) C 作上二角的平分線(xiàn)值 平5 / 26行線(xiàn)，并連結(jié)它們的交點(diǎn) D E,若 DE/ BA,求證：ABC 等腰.證：如圖所示設(shè) AG ED 的交點(diǎn)為 FvAD 是/ A 的平分線(xiàn) /仁/2TDE/ AB仁仁/3vCE/ AD:丄3二二/5,/4二二/2/仁仁/2二二/3=Z4=25則厶 FADffiFCE 是等腰三角形 AF=DF,EF=CF AC=DE同理可證BC=DE AC=BC ABC 是等腰三角形6 / 267.三條中線(xiàn)把 ABC 分成 6 個(gè)三角形，若這六個(gè)三角形的內(nèi)切圓中有4 個(gè)相等.求證： ABC 是正三角形.證明：/ AOF AOE CO

6、D COE BOF BOD 面積都相等-SAOFE=SAOEC即:11111 1BFX葉 一 FOX 葉 BOXr= CEX 葉OE 葉 OCXr222 2 2 2112 (BF+FO+BOXr= - (CE+OE+OCXr BF+FO+BO 二 CCE+OE+OC CE+OE+OC-OG-OI 二 CE+OE+OC-OL-OJ 2DH+2BH=2FK+2CK 2BF=2CE7 / 26又 F、E 分別為 AB AC 之中點(diǎn) AB=AC同理:AB=BC故厶 ABC 是正三角形.8.平行四邊形被對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)三角形中，若有三個(gè)的內(nèi)切圓相等 證明:該四邊形為菱形.C證明:又AOBA BOC、 CO

7、DA DOA 四個(gè)三角形的面積相等11ODDCOC r OB BCOC r22CDOCOD二BC OB OCOD OCDC- OE - OG = OB OCBC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC四邊形為菱形9.凸四邊形被對(duì)角線(xiàn)分成 4 個(gè)三角形,皆有相等的內(nèi)切圓，求證:該四8 / 26邊形是菱形證明:連結(jié) Oi、O2,分別作 Oi、O2到 AC 的垂線(xiàn)，垂足分別為 P、M在厶 ABC 中 ,BO 是。O、。Q 的公切線(xiàn)二 BOL O102又丁。0、。Q 半徑相同，且都與 AC 相切OiO2II AC BOLAC BD 丄 ACT兩個(gè)相等的

8、內(nèi)切圓。O、。O 在對(duì)頂三角形AOBWCOD 中周長(zhǎng)C AOE=CCOD AO+BO+AB二二CO+DO+CD又T OP=OQ=OM=ON( AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) 2AB=2CD AB=CD同理 AD=BCD9 / 26四邊形 ABCD 是平行四邊形又TAd BD二四邊形 ABC是菱形10. 在銳角 ABC 中,BD,CE 是兩高，并自 B 作 BF 丄 DE 于 F,自 C 作CG 丄 DE 于 G,證明:EF=DG.證明:設(shè) O,M 分別是 BC,FG 的中點(diǎn)，所以 0M / BF,因?yàn)?BF 丄 FG 所以 0M 丄 FG,又因?yàn)? B

9、EC= / BDC=90所以 BCDE 四點(diǎn)在以 BC 為直徑的圓上，因?yàn)?0M 丄 DE,所以 0M 平分 ED,所以 FM-EM=MG-MD即 EF=DG.OB10 / 2611. ABC 中,M 是 BC 的中點(diǎn)，1 是內(nèi)心,BC 與內(nèi)切圓相切與 K.求證:直線(xiàn) IM 平分線(xiàn)段 AK.證明:作出/ A 的旁切圓 0,設(shè)它與 BC 邊和 AB,BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)分別切于 D,E,F,（如圖）連接 AD 交內(nèi)接圓于 L,則因內(nèi)接圓和旁切圓以 A 為中點(diǎn)成位似，則：IL 丄 BC,即 K,I,L 共線(xiàn)于是原題借中位線(xiàn)可如下轉(zhuǎn)化 Ml 平分 AK, M 平分 DK BD=KC后者利用圓 I 與圓 0

10、 兩條外公切線(xiàn)相等 EG=FH BD+BK二二CD+CK11 / 26則反推過(guò)去，得到 IM 平分線(xiàn)段 AK.12. 在 ABC 中,M 是 BC 的中點(diǎn),I 是內(nèi)心,AFUBC 于 H,AH 交 MI于 E,求證:AE 與內(nèi)切圓半徑相等證明:如圖所示作厶 ABC 的內(nèi)切圓，二切點(diǎn)分別交于 BC 于點(diǎn) K、AB 于點(diǎn) F、AC 于點(diǎn) G 連接KL 與 AC二 KL 是直徑，又TM 為 BC 的中點(diǎn),1 為內(nèi)心，則 AL/MI又TAH 丄 BC AH/ LK又點(diǎn) E 點(diǎn) I 分別都在 AH、LK 上 AE/ LI四邊形 AEIL 為平行四邊形 AE= LI命題得證.12 / 2613. 在矩形

11、ABCD 中,M 是 AD 的中點(diǎn),N 是 BC 的中點(diǎn),在 CD 的延長(zhǎng) 線(xiàn)取P 點(diǎn)，記 Q 為 PM 與 AC 的交點(diǎn)，求證:/QNM =ZMNP證明:利用矩形的中心設(shè) 0 是矩形 ABCD 的中心，則 O 也是 MN 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) QN 交0C 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 R,如圖則 0 又是 PR 的 中點(diǎn)，故 NC 平分/ PNR.,而 NM 丄 NG. NM 平分/ PNQ14. 給定以 0 為頂點(diǎn)的角，以及與此角兩邊相切于 A、B 的圓周，過(guò) A 作0B的平行線(xiàn)交圓于 C,連結(jié) 0C交圓于E,直線(xiàn)AE交0B于 K,求 證:OK=KB.13 / 26證明:如圖所示，過(guò) C 作圓的切線(xiàn)交 0B 延長(zhǎng)

12、線(xiàn)于 D.TOD,OA,CD 都是圓的切線(xiàn)，且 AC/CD二四邊形 ACDO等腰梯形，/ DOAhDvZBOChACOZACOhOAKBOChOAKvZDOAZDAOAODC.CD _ 1.KO _ 1VOD_2AO一2vOA=OB OB=OA=2K 即 OK二二KB15. 在等腰直角？ABC 的兩直角邊 CA,CB 上取點(diǎn) D、E 使 CD=CE,從 C、D 引 AE 得垂線(xiàn),并延長(zhǎng)它們分別交 AB 于 K、L,求證:KL=KB.14 / 26證明:延長(zhǎng) AC 至 E使 CE=CE,再連 BE交 AE 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 H.T?ABC 是等腰直角三角形 AC=BC , / ACB= / BCE=9

13、0又TCE=CE ?BCE坐?ACE / CAE= / CBEvZAEC=/BEH?BHE s?ACE/BHE=ZACB=90vDL/CK/EB 及 DC=CE KL=LB.16點(diǎn) M 在四邊形 ABCD 內(nèi)，使得 ABMD 為平行四邊形，試證若ZCBM=ZCDM,貝 SZ ACD=ZBCM.15 / 26證:作 AN / BC 且 AN=BC,連接 DN、NCvABMD 為平行四邊形,AN / BC 且 AN=BC ABCN、DMCN 為平行四邊形，AD二二BM DN二二CM、AN=BC/仁仁/3,Z2二二/4,Z6二二/7/Z仁仁/2:丄3二二/4 A、C、N、D 共圓（視角相等） / 5

14、二二/ 7 （同弧 AD） / 5=26 即/ ACD二二/ BCM17. 已知2ABC2ACD=60 ,且2ADB=90 -丄2BDC 求證： ABC 是等2腰的.16 / 26證明：延長(zhǎng) CD 使得 BD= DE,并連結(jié) AEv2AD* 90-2BDC2 22AD內(nèi)內(nèi)2BDC= 180又2BDO2AD 聊2ADE= 1802ADB=2ADE又TBD= DE,AD= ADADBAADE 2ABD=2AED= 60 ,AB=AE又vZACD= 60ACE 為正三角形 AC= AE AB= AC ABC 為等腰三角形18.OO、OO 半徑皆為 r,OO 平行四邊形 過(guò)的二頂 A B,OO2過(guò)頂

15、點(diǎn) BC,M 是OO、O Q的另一交點(diǎn)，求證 AMD 勺外接圓半徑也是 r.17 / 26證明：設(shè) O 為 MB 的終點(diǎn)連接 CO 并延長(zhǎng)OO 于 E則由對(duì)稱(chēng)知 O 為 CE 的中點(diǎn)vO 平分 MBO 平分 CE MEBC平行四邊形二 ME/ BC/ AD MEA 亦是平行四邊形MAEA AMDAMD 勺外接圓半徑也為 r19. 在凸五邊形 ABCDE 中，有/ ABC二二/ADE, / AEC二二/ ADB, 求證:/BAC二二/ DAE.18 / 26證明:連接 BD,CE,設(shè)它們相交于 F,如圖,vZAECMADB. A,E,D,F 四點(diǎn)共圓.ZDAEZDFE.又ZABCZADEZAFE

16、. A,B,C,F 四點(diǎn)共圓.ZBACZBFC.又ZDFEZBFC.ZBACZDAE.20. 在銳角 ABC 中,過(guò)各頂點(diǎn)作其外接圓的切線(xiàn),A、C 處的兩切線(xiàn)分別交 B 處的切線(xiàn)于 M、N,設(shè) BD是厶ABC 的高（D 為垂足），求證:BD平分/ MDN.19 / 26證明:如上圖,m、n 分別表示過(guò) M、N 的切線(xiàn)長(zhǎng)，再自 M 作 MM 丄 AC 于M 作 NN 丄 AC 于 N :則有vZN= ZB=ZNCNMAM NCN AM 7CN =AM/CN二二m/n又vMM / BD / NN M D/DN MB/BN=m/n由等比性質(zhì)知m/n=(M D AM /(DN -CN 二二AD/DC

17、ADM CDN DM/DN=m/n 即 DM/m=DN/n BD 平分ZMDN21. 已知:AD、BE、CF 是厶 ABC 的三條高.求證:DA、EB、FC 是厶 DEF的三條角平分線(xiàn).20 / 26證明:連結(jié) DF、FE、DEvCF 丄 AB AD 丄 BC B、D H F 共圓/ 1 = 2 3vADL BC BE 丄 AC B、D E、A 共圓22=2322=21 AD 平分2EDF同理,CF 平分2EFDBE 平分2FED即證:DA、EB、FC 是厶 DEF 的三條角平分線(xiàn)22. 已知 AD 是厶 ABC 的高,P 是 AD 上任意一點(diǎn)，連結(jié) BP-CP 延長(zhǎng)交21 / 26AC、AB

18、 于 E、F,證 DA 平分/ EDF.證:過(guò) E、F 兩點(diǎn)分別作 EH、FG,使 EH 丄 BC,FG 丄 BC,且交 CF、BE 于I、JTEH 丄 BC,AD 丄 BC,FG 丄 BC23. 圓內(nèi)三條弦 PPi、QQi、RRi、兩兩相交,PPi與 QQi交于 B,QQi與RRi交于 C,RRi與 PPi交于 A,已知:AP=BQ=CR,ARi=BPi=CQi,求證:ABC 是正三角形. EH / AD /FGEH _ AD _ FGEI AP FJ又.豈二匹PJ GDElPsJFPEl EPFJ PJ /DFJ=ZDEI 即/ ADF=z ADE 即DA 平分/ EDFEH _ ElFG

19、 - FJEHDsFGD /FDB2EDC22 / 26解:設(shè) AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1,則由相交弦定理得 m(c+n)二二n(b+m)m(a+n)=n( c+m)m(b+n)=n( a+m)即 ma二二ncmb二二na me二二nb三式相加得 m=n所以 a=b=c 即厶 ABC 是正三角形24. H 為厶 ABC 的垂心,D、E、F 分別為 BC、CA、AB 的中點(diǎn)，一個(gè)以H 為心的圓交 DE 于 P、Q,交 EF 于 R、S,交 FD 于 T、V.求證:CP=CQ=AR=AS=BT=BUA23 / 26證明:連結(jié) AS、AR、RH由相交弦定理知：AH HA=BH HB

20、=CH HCAS2二二AR2=AK2+KR2設(shè) oH 的半徑為 r,在:KRH 中,KR2=r2-HK2AS2=r2+ (AK+KH ) (AK-HK )=r2+AH (AK-HK)在厶 ABC 中,F、E 為 AB、AC 的中點(diǎn)，且 AABCAK=KAAS2=AR2=r2+AH HA同理:BT2=BU2=r2+BH HB2 2 2CP2=CQ2=r2+CH HC24 / 2625、在銳角三角形 ABC 中,AD、BE、CF 是各邊上的高，P、Q 分別在線(xiàn)段 DF、EF 上，且/ PAQ 與/ DAC 同向相等.求證:AP 平分/ FPQ證明:作出 APQ 的外接圓，延長(zhǎng) PF 交圓于 R,分別連結(jié) RA、 RQ 由圖可知，AQPR 內(nèi)接于圓1/ PRQhPAQhDAC/DFE2由外角定理得，/ PRQ+ FQR