線性代數與空間解析幾何及其應用課后習題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1.1 1. 圖1-1表示了省的個城市與省的個城市的交通連接圖，稱為一個交通網絡.每條線上的數字表示此通路上不同的運路(公路，鐵路，水路，空路)數目.若以表示從到的運路數，試寫出矩陣.圖1-1 解：. 2. 當時，各取何值？ 解 由可得，. 3. 寫出即是上三角形矩陣又是下三角行矩陣的階矩陣的一般形式. 解 4. 下列矩陣哪些是行階梯形矩陣，哪些不是？（1）;（2） ;（3）;（4）. 解是，不是. 5. 下列矩陣哪些是行簡化的階梯形矩陣，哪些不是？ 解不是，是. 6. 寫出線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣，增廣矩陣的行和列是多少？它是不是行階梯形矩陣？是不是行簡化階梯

2、形矩陣？ 解系數矩陣，增廣矩陣 .增廣矩陣行，列，它是行階梯形矩陣，也是行簡化的階梯形矩陣習題1.2 1. 已知, , .求：;. 解 ;. 2. 已知兩個線性變換及，把它們分別表示為矩陣形式，并求從到的線性變換. 解 ,即 3. 已知矩陣，.求：；. 解 ；無意義；. 4. 設，且矩陣滿足方程，求. 解 . 5. 設，求,(為正整數). 解 ,. 6. 某機械公司生產甲、乙、丙三種型號的機械，年和年的年產量如表1-1 表1-1 表2-2 價格型號單位成本價銷售價甲67乙78丙89 型號產量甲乙丙 2000年705060 2001年806070這三種機械的本價與銷售價如表2-2所示，求兩年的總

3、成本和總銷售額. 解 設,則. 即年的總成本是，銷售總額是；年的總成本是，銷售總額是. 7. 已知，設，求. 解 ，而，所以. 8. ，求. 解 原式=，,，原式= 9. 設為階對稱矩陣，為矩陣，證明：為階對稱矩陣. 證 ，即為對稱矩陣. 10. 設為階對稱矩陣，為階反對稱矩陣，證明為反對稱矩陣的充分必要條件是. 證 充分性又，所以，即為反對稱矩陣.必要性 由，又，所以.習題1.3 1. 用分塊矩陣計算下列矩陣乘積： (1) ;(2) . 解 (1) 設，則，而， .則.同理，故原式. (2) . 2. 設求. 解 設，則，由數學歸納法可得,同理可得.于是，有. 3. 設為實矩陣，若則. 證

4、將按列分塊：，則，于是， 由得,又因為實矩陣，故，故. 4. 設，其中當時.證明：與可交換的矩陣只能是對角矩陣. 證 設與可交換，即， 即，由于互異，比較非對角元素得 即，于是,故與可交換的矩陣為對角陣. 5. 當太空衛(wèi)星發(fā)射之后，為使衛(wèi)星在精確計算過的軌道上運行，需要校正它的位置.雷達屏幕給出一組矩陣，它們給出衛(wèi)星在不同時間里的位置與計劃軌道的比較.設,矩陣需要在雷達分析數據時計算出來，當到達時，新的必須計算出來.因數據矩陣高速達到，所以計算負擔很重，而分塊矩陣的計算在其中起了很大的作用.試寫出從計算的矩陣形式. 解 由于,所以,又,因此.習題1.4 1. 設是三階方陣，將的第1列與第2列變

5、換得到，再把的第2列加到第3列得到，以滿足的可逆矩陣為( ). . 分析 是對實行兩次初等列變換得到的，因此可由與初等矩陣的乘積表示. 解 ，即為， ，即為，所以.因此應選. 2. 把下列矩陣化為行最簡形矩陣： . 解 . 3. 設，問是經過哪種類型的初等變換得到的？并寫出相應的初等矩陣. 解 . 4. 設. 求; ; . 解 ; ; . 5. 把矩陣表示成初等矩陣的乘積. 解 即習題1.5 1. 設航線圖如圖1-3所示， (1) 寫出鄰接矩陣； (2) 求出頂點到長為3條航線的條數； (3) 是否存在從頂點到的長為3的航路？ 圖1-3 解 （1）； （2）2條：；. （3）不存在 . 2.

6、設表示6個人的集合.用表示他們彼此之間的相貌相像的程度,如表1-3，表中行和列交叉處的數字表示第個人與第個人的相貌的相像程度，則是上的關系，其隸屬函數就是行與列交叉處的數字，又=1表示任何個人自身與自身完全相象，表示第個人與第個人的相貌的相像程度與和的相像程度相同，寫出這個矩陣，并求出它的合成. 表1-310.820.650.120.250.200.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251 解 ， .復習題一 1. 若，則_. 解 由，得;又

7、由，得. 答案. 2. 設為行的列矩陣，若，則_. 解 設,則，故.因而. 答案為. 3. 設,，則必有_. ; ;. 解 解法一 選.首先，用初等矩陣右乘表示作行變換，故可排除,.表示將的第行加于第行，表示再將,兩行變換. 解法二 此題考察矩陣的初等變換和初等矩陣，比較矩陣和，可發(fā)現(xiàn)把矩陣的第一行加到第三行，再把第二行與第一行互換，則可得到矩陣,而對矩陣做初等行變換，就相當于對矩陣左乘相應的初等矩陣，故上述過程恰相當于先對左乘，再左乘，即，應選. 4. 設，求 (1) ； (2) 令求，求. 解 (1) ，. (2) . 5. 設，證明：當且僅當. 證 先證必要性 設，因為，即，所以. 再證

8、充分性 設，則有. 6. 任意一個矩陣都可以表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和. 證 任一矩陣都可以表示為：，因為，即為對稱矩陣，又，即為反對稱矩陣. 7. 證明：如果是實對稱矩陣且，那么. 證 設,因為,所以 , 又因為，所以.由于均為實數，故有.即. 8. 設均為階對稱矩陣，證明是對稱矩陣的充要條件是與可變換. 證 由于是對稱的，故，如果，則可得，即乘積是對稱的. 反之，若是對稱的，即,則，即與是可變換的. 9. 設是任一方陣，證明均為對稱矩陣. 證 . 10. 設，求. 解 ,所以 ,同理. 11. 設，試計算，其中為正整數. 解 為簡化高階冪的計算，首先將其分解為一個列向量與一個行向量的乘積，為此令，則，且為