橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程天心區(qū)第一中學(xué) 江澤湘一教學(xué)目標(biāo)：1知識與技能目標(biāo)：進(jìn)一步理解橢圓的定義；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；會根據(jù)條件寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；能用標(biāo)準(zhǔn)方程判定是否是橢圓；2過程與方法目標(biāo)：通過尋求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，幫助學(xué)生領(lǐng)會觀察、分析、歸納、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用；在相互交流、合作探究的學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生養(yǎng)成合理表述、科學(xué)抽象、規(guī)范總結(jié)的思維習(xí)慣，逐步培養(yǎng)學(xué)生在探索新知過程中進(jìn)行推理的能力和數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用能力；3情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過主動探究、合作學(xué)習(xí)、相互交流，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，感受探索的樂趣與成功的喜悅，增加學(xué)生的求知欲和自信心；培養(yǎng)他們不怕困難、

2、勇于探索的優(yōu)良作風(fēng)，增強(qiáng)學(xué)生審美體驗(yàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生以成功的體驗(yàn)，逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，從而形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度。三教學(xué)方法： 啟發(fā)式、自主探索四教學(xué)手段： 運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)五教學(xué)過程：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題播放課件：哈雷慧星是人類最早發(fā)現(xiàn)的一顆周期慧星，它的回歸是人們十分關(guān)注的一種天文現(xiàn)象。1986年2月9日是上世紀(jì)第二次也是最后一次回歸地球，天文學(xué)家推算出哈雷慧星每隔76年到達(dá)離地球最近點(diǎn)一次。問題討論：天文學(xué)家推算出76年以后它還將光臨地球上空的依據(jù)是什么？ 原來，哈雷彗星運(yùn)行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運(yùn)行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù)，可以推算出它的運(yùn)

3、行軌道的方程，從而算出它運(yùn)行的周期，預(yù)測它接近地球的時間。來源：全,品中&高*考+網(wǎng)由此可說明軌跡方程有很大作用，怎樣才能算出彗星運(yùn)行軌道的方程呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)并探究的問題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)計目的：利用課件生動形象的演示提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生思維，使學(xué)生的注意、記憶、思維凝聚在一起，加強(qiáng)學(xué)生對橢圓形象的認(rèn)識，提高參與程度，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)橢圓的必要性，引出課題。新課講授1復(fù)習(xí)回顧：上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓，請大家回憶一下橢圓的定義，想一想我們是怎么畫橢圓的？平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦

4、點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距學(xué)生體驗(yàn)請大家把課前準(zhǔn)備好的一根繩子和兩顆圖釘拿出來，同桌合作根據(jù)上節(jié)課講的方法在紙上畫出橢圓的圖形。目的：通過復(fù)習(xí)已有知識，為后面分析橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作好鋪墊；以舊知識來營造一個學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)環(huán)境，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣；給學(xué)生提供一個動手操作，合作學(xué)習(xí)的機(jī)會；通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生去探究“滿足什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓”有深刻地理解；培養(yǎng)學(xué)生的自信心、成就感。來源：全,品中&高*考+網(wǎng)2標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)問題1：回憶求圓的方程的一般步驟是什么？（必修2中建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡）來源：全,品中&高*考+網(wǎng)問題2：本題中可以怎樣建立直角坐標(biāo)系？（坐

5、標(biāo)法的合理運(yùn)用）設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點(diǎn)P到F1、F2的距離的和為2a ( 2a2c )。方案1：如圖，焦點(diǎn)落在x軸上建系：以F1、F2所在直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy；設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；列式：依據(jù)橢圓的定義式|PF1| + | PF2| = 2a 列方程，并將其坐標(biāo)化為目的：教學(xué)生學(xué)會建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造數(shù)與形的橋梁，學(xué)會用解析的方法來解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。這是一個比較復(fù)雜的根式變形，化簡的關(guān)鍵在于將根式去掉，而去根式則要兩邊平方，那怎樣平方去根式會較簡單呢

6、？化簡：通過移項(xiàng)、兩次平方后得到：，為使方程簡單、對稱、和諧，引入字母b，令，可的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：此處b的引入是一個橋梁，也是有其特殊意義的，后面的學(xué)習(xí)中，我們會進(jìn)一步研究其幾何意義。先讓學(xué)生嘗試化簡，然后教師指出含有根式的化簡規(guī)則，總結(jié)含有根式的化簡步驟：（1）方程中只有一個根式時，需將根式單獨(dú)留在方程的一邊，把其他項(xiàng)移到方程的另一邊，然后兩邊平方；（2）方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項(xiàng)，再兩邊平方。方案2：如圖，焦點(diǎn)落在y軸上 試想：推斷此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么？提示：因?yàn)檫@時x軸與y軸交換，所以只要把方程上的x 與y交換，焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

7、程是：（）其焦點(diǎn)，焦距為2c；來源：全,品中&高*考+網(wǎng)請同學(xué)們觀察歸納兩個方程的特征，從而區(qū)別焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；令滲透數(shù)學(xué)對稱美，簡潔美教學(xué)提出問題：怎樣根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上？求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要知道哪些量？根據(jù)學(xué)生討論研究，讓同學(xué)們完成下表 位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上不同來源：全,品中&高*考+網(wǎng)點(diǎn)來源：全,品中&高*考+網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)方程來源：全,品中&高*考+網(wǎng)來源：全,品中&高*考+網(wǎng)來源：全,品中&高*考+網(wǎng)來源：全,品中&高*考+網(wǎng)圖 形焦點(diǎn)坐標(biāo)相同點(diǎn)定 義平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于

8、常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷分母哪個大，焦點(diǎn)就在哪個軸上強(qiáng)調(diào)：是；是；方程“型”與曲線“形”的對應(yīng)。3問題研究：（一）學(xué)生口答訓(xùn)練： ，則 , ； ，則 , ； ，則 , 。再設(shè)問：以上的橢圓對應(yīng)的焦距是多少？（利用研究2c）目的：使學(xué)生迅速進(jìn)入到緊張的練習(xí)氛圍中去。（二）課堂探究題:下列方程是否表示橢圓,為什么?(1);(2) ;(3) ;(4) .課后思考題：方程Ax2+By2=C中，A、B、C滿足什么條件，方程可以表示橢圓？目的：使學(xué)生進(jìn)一步熟悉橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在辨別中加深印象，加強(qiáng)對知識的理解。（三）典型例題研究：例1：已知,，求焦點(diǎn)分別在x、y軸上的橢

9、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（學(xué)生分析）焦點(diǎn)在x軸時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)在y軸時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 自主探究：根據(jù)已知條件，求焦點(diǎn)分別在x、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ； ； ； 目的：同步練習(xí)，檢測學(xué)生的掌握情況，及時反饋，強(qiáng)化知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，為下節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)；加深對所學(xué)知識的理解和運(yùn)用，使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。例2：已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，橢圓上的任意一點(diǎn)到、的距離之和是10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由學(xué)生討論分析，解決本題（待定系數(shù)法的科學(xué)運(yùn)用，字母的特點(diǎn)）。自主探究：已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，橢圓上的任意一點(diǎn)到、的距離之和是8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由學(xué)生自主思考，獨(dú)立完成。例3：已知

10、一個運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離的和為3m，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解： 以兩焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： 根據(jù)題意知，即，所以 ， 因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 目的：進(jìn)一步熟悉橢圓的焦點(diǎn)位置與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系； 掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時強(qiáng)調(diào)“二定”即定位定量； 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力。（四）課堂練習(xí)反饋：練習(xí)：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，焦點(diǎn)在x軸上； ，焦點(diǎn)在y軸上；求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)： ； 通過多

11、媒體反饋學(xué)生完成的情況，及時評價，提高學(xué)生對知識的理解和初步運(yùn)用能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的探索中體驗(yàn)成功的喜悅。能力拓展題：求適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（定義和待定系數(shù)法的運(yùn)用） 兩個焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且過點(diǎn)P； 經(jīng)過點(diǎn)和分析： 所以, ,因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 (其中m,n為不等的正數(shù))經(jīng)過點(diǎn)和,所以m=4,n=9,所求方程為目的：熟悉鞏固知識、運(yùn)用知識。課堂小結(jié)（啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納整理；利用幻燈片展示歸納結(jié)果；對學(xué)生主動學(xué)習(xí)的態(tài)度及方式給予肯定；強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，需踏實(shí)、認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度.）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)的位置與方程形式的對應(yīng)；用坐標(biāo)法研究曲線；用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析問題課后作業(yè)課本課后習(xí)題1、2（1）（2）必做；2（3）（4）選做補(bǔ)充探究題：已知定圓Q：，動圓M和已知定圓內(nèi)切,且經(jīng)過于點(diǎn)P（3，0），分析圓心M的軌跡及其方程。研究性作業(yè)：查找資料、搜集數(shù)