第一講：整除與整數(shù)的性質(zhì)

1、第一講 整除與整數(shù)的性質(zhì)【知識點金】一整數(shù)的基本性質(zhì)1.整數(shù)集關(guān)于加、減、乘運算的封閉性，即整數(shù)的和、差、積仍為整數(shù)（兩個整數(shù)的商不一定是整數(shù)）。2.奇數(shù)和偶數(shù)的簡單性質(zhì) 能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，可表示為形式；不能被2整除的整數(shù)稱之為奇數(shù)，可表示為形式。 對于奇數(shù)和偶數(shù)有以下性質(zhì)： （1）任意多個偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)； （2）奇數(shù)個奇數(shù)的和、差仍為奇數(shù)； （3）偶數(shù)個奇數(shù)的和、差為偶數(shù)； （4）奇數(shù)與偶數(shù)的和為奇數(shù)，其積為偶數(shù)； （5）若有限個整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個整數(shù)都是奇數(shù)；有限個整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個是偶數(shù)； 3.整數(shù)集的離散性 兩個連續(xù)整數(shù)之間不再有其他整數(shù)，

2、兩個連續(xù)整數(shù)的完全平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。任一個整數(shù)有限集中必有最大數(shù)和最小數(shù)。二整除的定義和基本性質(zhì)1定義：設(shè)、是整數(shù)，若存在整數(shù)，使，則稱整除，或能被整除，記為，這時叫做的因數(shù)或約數(shù)，叫做的倍數(shù)。2.整除的基本性質(zhì)（1）若，則，；（2）若，則；（3）若，且，則，。 事實上可推廣到一般情形：若，且，則；（4）設(shè)，且，則對于任何，都有；反之，若，則。（5）若，且，則；（6）若、互素，且，則；（7）若是素數(shù)，且，則至少有一個，使得；（8）若兩兩互素，且，則；例1.求證：如果和都是大于3的素數(shù)，那么6是的因數(shù)。例2.求證：是正奇數(shù)時，能被60整除。（9）個連續(xù)整數(shù)的乘積一定能被整除；（10）為

3、素數(shù)，對任意正整數(shù)，都有，此性質(zhì)稱之為費爾馬小定理。它的一個推論是：若為素數(shù)，且不能整除，則。例1.求證：（為任意整數(shù)）。3一些數(shù)整除的判定方法 設(shè)是自然數(shù)，在十進制中的位數(shù)可表示為，即，其中稱為數(shù)碼，它們都是整數(shù)，且，而。 （1）若，則； （2）若，則； （3）若，則； （4）若，則； （5）若，則； 提示：。（6）若，則； （9）若，則；（10）若，則。例1.由數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6能組成若干沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，其中有55的倍數(shù)，試在55的倍數(shù)的七位數(shù)中求出最大的和最小的數(shù)。三帶余除法 如果、是兩個整數(shù)，那么一定有且只有兩個整數(shù)、，使得成立。 因此，當且僅當時，；當時，稱為被除的

4、商，稱為被除的余數(shù)。 由此可得如下結(jié)論： （1）若有兩個整數(shù)除以所得的余數(shù)相同，則它們的差能被整除。 （2）個連續(xù)整數(shù)中有且僅有一個是的倍數(shù)。 （3）設(shè)是整數(shù)，則在任意個整數(shù)中，至少有兩個整數(shù)，它們被 除的余數(shù)相同。四算術(shù)基本定理 定理：若不計素因數(shù)的次序，則每一個大于1的整數(shù)都可以唯一分解成素因數(shù)乘積的形式，即，其中均為素數(shù)，為自然數(shù)。 從的素因數(shù)分解式中，我們又可以得到如下結(jié)論： 的約數(shù)個數(shù)為；例. 的正整數(shù)解的組數(shù)為（ ） A3組 B9組 C27組 D45組 【賽點直擊】 整數(shù)的性質(zhì)及整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是數(shù)學(xué)競賽中的熱點問題之一，有關(guān)這方面的問題總可歸納如下：1平方數(shù)問題如判定一個式子是整數(shù)

5、的完全平方，或證明一個式子是完全平方式，或證明一個根式是整數(shù)等。例1. 已知四個正整數(shù)中，被9除余1，被9除余3，被9除余5，被9除余7，則一定不是完全平方數(shù)的兩個數(shù)是（ ） A， B ， C， D， 例2.求證：若正整數(shù)、使得，則是完全平方數(shù)。例3.某校舉行春季運動會時，由若干名同學(xué)組成一個8列的長方形隊列。如果原隊列中增加120人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少120人，也能組成一個正方形隊列。問原長方形隊列有多少名同學(xué)？2整除問題判斷或證一個整數(shù)（式）能整除另一個整數(shù)（式）。例1.對任意給定的自然數(shù)，若為正整數(shù)的立方，其中為正整數(shù)，則（ ） A這樣的有無數(shù)多個 B這樣的存在，但

6、只有有限個C這樣的存在且唯一 D這樣的不存在例2.設(shè)、是正整數(shù)，它們的最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)所得的商為120，則，或，。例3.求證：，（個1個2）都是兩個相鄰的整數(shù)的積。例4.求所有能使為正整數(shù)的正整數(shù)?！娟J關(guān)策略】與整數(shù)有關(guān)的問題（或可轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題）能否解決或解法是否簡潔與選用整數(shù)的適當表示方法有關(guān)，處理這類問題常用奇偶性分析與反證法得出矛盾。構(gòu)造方法、分解方法也是解決這類問題的基本方法。利用換元法轉(zhuǎn)化問題的形式，是解決這一類問題的重要手段。把除數(shù)作質(zhì)因數(shù)分解，然后，分別證明被除數(shù)可被其每一個質(zhì)因數(shù)的最高次冪整除，這是證明整除問題的一般方法。1奇偶分析法通過奇偶性的分析得出矛盾等將問題求

7、解。例1.若正整數(shù)與都是平方數(shù)，則。例2.（2005年上海交通大學(xué)自主招生試題） 若的三個根分別為、，并且、是不全為零的有理數(shù)，求、。2反證法例1.（2009年北京大學(xué)自主招生試題）是否存在實數(shù)，使得、都是有理數(shù)？例2.（2009年清華大學(xué)自主招生試題）當、都是奇數(shù)時，方程是否有有理數(shù)根？試證明之。3構(gòu)造法例1設(shè)是集合的非空子集，中任何兩個數(shù)之和不能被7整除，試求（集合的元素個數(shù)）的最大值。 例2.試確定，對于任意個正整數(shù)，其中至少有2個數(shù)的和或差能被21整除的最小正整數(shù)。例3.設(shè)，且具有下列性質(zhì)：（1）對任何，恒有；（2）。 求證：中的奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)，且中所有數(shù)字的平方和為一定數(shù)。4分

8、解法例1.證明：對任意整數(shù)和所有的質(zhì)數(shù)，均有為一個合數(shù)。例2.已知、都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于的一元二次方程至少有一個正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對。例3求所有的正整數(shù)，使得是一個完全平方數(shù)。5換元法例1求所有的實數(shù)，使得為整數(shù)，并予以證明。例2. 設(shè)是給定的奇質(zhì)數(shù)，若正整數(shù)使得也是一個正整數(shù)，則。6不等式控制法 通過不等式控制變量的取值范圍，能有效簡化解題途徑，達到輕松求解目的。例1求出所有的正整數(shù)，使得能整除。例2.求使表達式的值為整數(shù)的所有正整數(shù)，。例3.（2009年南京大學(xué)自主招生試題）求所有非，使得，其中，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)。例4（2006年清華大學(xué)自主招生試題） 求由正整數(shù)組成的至少兩個元素的集合，使得中的所有元素之和等于所有元素之積。7數(shù)學(xué)歸納法 對與自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮運用數(shù)學(xué)歸納法予以求解。例1證明：對任意正整數(shù)，存在一個各位數(shù)碼都是奇數(shù)且能被整除的位數(shù)。8變量縮小法討論并盡量縮小變數(shù)的可能取值范圍，是解決數(shù)論問題的最常用方法之一。這種方法既是解題的入手方法，同時也往往是解題的關(guān)鍵。一般通過討論整除、互素、同余（包括奇偶性）、離散性等整數(shù)的特性與關(guān)系，來縮小變數(shù)的取