高數(shù)中的重要定理與公式及其證明二

1、高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（二）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類(lèi)繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過(guò)程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時(shí)候要求沒(méi)有那么高。而有些定理的證明又過(guò)于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話(huà)很多時(shí)候可能是又費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過(guò)程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過(guò)程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過(guò)程是必要的。6）定積分比較定理如果在區(qū)間上恒有，則有推論：如果在區(qū)間上恒有，則有； 設(shè)是函數(shù)在

2、區(qū)間上的最大值與最小值，則有：【點(diǎn)評(píng)】：定積分比較定理在解題時(shí)應(yīng)用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過(guò)程，對(duì)理解及應(yīng)用該定理很有幫助。具體的證明過(guò)程教材上有。7）定積分中值定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)使得下式成立：【點(diǎn)評(píng)】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用?？佳姓骖}中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴(yán)而喻。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。8）變上限積分求導(dǎo)定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是設(shè)函數(shù)，則有?！军c(diǎn)評(píng)】：不說(shuō)了，考試直接就考過(guò)該定理的證明。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。9）牛

3、頓-萊布尼茲公式如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則有，其中是的原函數(shù)?！军c(diǎn)評(píng)】：微積分中最核心的定理，計(jì)算定積分的基礎(chǔ)，變上限積分求導(dǎo)定理的推論。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。10）費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有，那么【點(diǎn)評(píng)】：費(fèi)馬引理是羅爾定理的基礎(chǔ)，其證明過(guò)程中用到了極限的保號(hào)性，是很重要的思想方法。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。11）羅爾定理：如果函數(shù)滿(mǎn)足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得?！军c(diǎn)評(píng)】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實(shí)際上卻是相互蘊(yùn)含，可以相互推導(dǎo)的。這幾個(gè)定理的證明方法也就是與中值有關(guān)的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點(diǎn)，一定要多加注意。具體證明過(guò)程見(jiàn)教材。12）拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿(mǎn)足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得?！军c(diǎn)評(píng)】：同上。13）柯西