三維可激發(fā)系統(tǒng)中Ｗｉｎｆｒｅｅ湍流態(tài)的控制

1、三維可激發(fā)系統(tǒng)中湍流態(tài)的控制摘 要 三維可激發(fā)系統(tǒng)中的 Winfree 湍流態(tài)被認(rèn)為與心室纖維性顫動(dòng)可能有著密切的關(guān)系.如何快速而有效地消除 Winfree 湍流是理論工作者非常關(guān)心的問題.文章作者發(fā)展了兩種可有效地控制三維可激發(fā)系統(tǒng)中 Winfree 湍流態(tài)的方法:(1)局域的周期刺激,即通過小區(qū)域內(nèi)的周期刺激所產(chǎn)生的激發(fā)波來消除Winfree 湍流;(2)全局的時(shí)空微擾,通過對(duì)參數(shù)的時(shí)空調(diào)制來消除 Wnifree 湍流.關(guān)鍵詞 可激發(fā)系統(tǒng),Winfree 湍流態(tài),心顫,控制Controlling Winfree turbulence in excitable mediaZHANG Hong

2、1 CAO Zhou-jian2LI Bing-Wei1 WU Ning-Jie1YING He-Ping1 HU Gang2,(1 Zhejiang Institute of Modern Physics and Department of Physics,Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)(2 Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing100875, China)Abstract It is believed that ventricular fibrillatio

3、n is relatedto Winfree turbulence in three-dimensional excitable media and muchattention has been directed towards how to eliminate effectively thiskind of spatiotemporal chaos. We present two schemes to suppressWinfree turbulence: (1) Localized stimulations; these generatecontrol waves which can su

4、ccessfully suppress existing turbulence anddominate the whole system; (2) Spatiotemporal modulation (travelingmodulation) of the excitability; in this case, Winfree turbulence canalso be eliminated by choosing suitable control parameters.Keywords excitable media, Winfree turbulence, ventricularfibri

5、llation, control1 引言可激發(fā)介質(zhì)中非線性波的傳播是當(dāng)前非線性動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要的研究領(lǐng)域,螺旋波則是該領(lǐng)域中一個(gè)研究熱點(diǎn)1.螺旋波廣泛地存在于各類激發(fā)介質(zhì),包括心臟組織2一氧化碳在鉑金表面的氧化反應(yīng)3以及著名的 Belousov-Zhabotinsky(簡(jiǎn)稱 BZ)化學(xué)反應(yīng)之中46.第一個(gè)在 BZ 化學(xué)反應(yīng)中觀測(cè)到會(huì)旋轉(zhuǎn)的螺旋波的是美國(guó)著名生物化學(xué)家 Winfree4.在過去的 30 多年中,對(duì)螺旋波的基本動(dòng)力學(xué)以及如何控制螺旋波取得了相當(dāng)大的進(jìn)展710.三維螺旋波又稱回卷波,可以認(rèn)為是二維螺旋波在三維空間的延伸.對(duì)應(yīng)于螺旋波的相奇點(diǎn)(又稱拓?fù)淙毕?,回卷波的中心是一條相奇異線

6、,波繞著這條奇異線旋轉(zhuǎn).如果沿著奇異線的垂直方向做一個(gè)截面,這個(gè)截面便是螺旋波.值得指出的是,回卷波的奇異線并不是總是成一條直線的,它還可以彎曲形成一個(gè)環(huán),甚至本身還有非常復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)11.因此從這個(gè)意義上講,無論是回卷波的幾何結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)都要比二維螺旋波復(fù)雜得多.Winfree 在 BZ 反應(yīng)中發(fā)現(xiàn)螺旋波一年以后,又在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了回卷波12.更為重要的是,他還把心臟節(jié)律不齊,特別是心臟纖維性顫動(dòng),與此相聯(lián)系起來13.據(jù)美國(guó)心臟協(xié)會(huì)估計(jì),在美國(guó),每年死于心臟病的人數(shù)大概為 480,400,而由于心室纖維性顫動(dòng)導(dǎo)致死亡的約為335,00014.到目前為止,科學(xué)家為了解釋這種心室纖維性顫動(dòng),

7、提出了各種各樣的機(jī)制15.其中有一種觀點(diǎn)認(rèn)為,發(fā)生心臟纖維性顫動(dòng)很可能與三維回卷波失穩(wěn)有著密切的關(guān)系13, 1618.在三維可激發(fā)系統(tǒng)中,由于奇異線負(fù)張力引起的回卷波失穩(wěn)而導(dǎo)致的時(shí)空混沌稱之為 Winfree 湍流.目前,在臨床上使用比較廣泛的除顫方法是利用高壓電(5kV ).當(dāng)發(fā)生心顫時(shí),給心臟施加一個(gè)強(qiáng)電擊,瞬間全面消除心臟中的電活動(dòng),從而使竇房結(jié)信號(hào)可以重新控制心臟系統(tǒng),這樣心臟就可以恢復(fù)到正常起搏的狀態(tài)19.這種方法雖然說比較有效,但也存在著一些不足之處.比如,強(qiáng)電擊會(huì)損害一些正常的心肌細(xì)胞,甚至造成死亡20.此外,這種方法會(huì)給患者帶來極大的痛苦.因此,如何利用弱電擊(比如幾毫伏的電壓

8、)來控制甚至是消除心顫是臨床醫(yī)學(xué)工作者所期望的,這也促使了理論工作者提出各種有效的方法來控制三維時(shí)空湍流.本文介紹了三維可激發(fā)系統(tǒng)中 Winfree 湍流態(tài)控制的最新進(jìn)展.我們?cè)贏lonso 等人的工作基礎(chǔ)上18,發(fā)展了兩種有效控制 Winfree 湍流態(tài)的方法:(1)局域的周期刺激:通過在一個(gè)非常小的區(qū)域內(nèi)施加較弱的周期信號(hào),產(chǎn)生新的激發(fā)波來消除已存在的三維時(shí)空湍流21;(2)全局的時(shí)空微擾:通過對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)空調(diào)制(行波調(diào)制)來消除 Winfree 湍流態(tài)22.這些結(jié)果對(duì)于臨床上用低幅控制信號(hào)來消除心室纖維性顫動(dòng)將有一定的啟發(fā)意義.2 全空間周期調(diào)制Alonso 等人在 Science 周

9、刊上報(bào)道了通過對(duì)參數(shù)的全空間的周期調(diào)制,消除三維可激發(fā)系統(tǒng)中的 Winfree 湍流態(tài)18.他們采用的數(shù)值模型為典型的可激發(fā)系統(tǒng)23:ut=1u(1-u)(u-+ba)+D2u,(1)t=u-,(2)圖 1 (a)三維可激發(fā)模型(1-2)中的 Winfree 湍流態(tài),曲線代表回卷波的奇異線;(b)至(d)為施加局域周期刺激后的各種漸近狀態(tài),其中bf=0.75,f=1.6;(b)小立方體(666 格點(diǎn))內(nèi)施加周期刺激;(c)條狀區(qū)域內(nèi)(16150 格點(diǎn))內(nèi)施加周期刺激;(d)平面上(1150150 格點(diǎn))施加周期刺激;(e)奇異線長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化:曲線 A 為無任何周期刺激,曲線 B 為小立方體

10、內(nèi)的周期刺激(對(duì)應(yīng)于(b)的情況),曲線 C 為條狀區(qū)域內(nèi)周期刺激(對(duì)應(yīng)(c)的情況),曲線 D 為平面上的局域刺激(對(duì)應(yīng)(d)的情況).從圖(a)至(e)中,系統(tǒng)尺寸大小為 606060 (150150150 格點(diǎn)),圖(b),(c),(d)的初始條件為(a)這里的參數(shù)代表快變量 u(相應(yīng)于心臟細(xì)胞的膜電壓)和慢變量(相應(yīng)于跨膜電流)的時(shí)間尺度之比,是一個(gè)小量.對(duì)于該模型,盡管在二維系統(tǒng)中不存在螺旋波湍流,但在三維系統(tǒng)中,存在由于奇異線負(fù)張力失穩(wěn)而引起回卷波向Winfree 湍流態(tài)的轉(zhuǎn)變.為了抑制 Winfree 湍流態(tài),他們采取的控制方法是對(duì)參數(shù) b 進(jìn)行全局周期調(diào)制,即b=b0+bfco

11、s(ft).(3)研究結(jié)果表明,當(dāng)f0 時(shí)(0 是在同樣參數(shù)下,二維系統(tǒng)中螺旋波的旋轉(zhuǎn)頻率),Winfree 湍流態(tài)最終會(huì)被消除.在此基礎(chǔ)上,我們發(fā)展了兩種較為有效的方法來控制 Winfree 湍流態(tài),這包括局部的周期刺激和全局的時(shí)空微擾.下面予以詳細(xì)的介紹.3 局部周期刺激圖 2 在周期刺激區(qū)域?yàn)樾×⒎襟w的情況下,消除湍流態(tài)的速度 R 對(duì)各種外加參數(shù)的依賴關(guān)系 (a)n=6,bf=0.75 ,R 對(duì)f 依賴關(guān)系;(b)bf=0.75 ,f =1.6,R 對(duì) n 依賴關(guān)系;(c)f=1.6,n=6,R 對(duì) bf依賴關(guān)系;(d)對(duì)于f=1.6 的情況,在相平面 bf-n 下的可控制區(qū)域.在數(shù)值模

12、擬中,可控是指奇異線長(zhǎng)度在 t500 時(shí)縮短到 0 的事實(shí)我們采用的仍舊是由(1)式和(2)式描述的可激發(fā)系統(tǒng),也同樣采取 b 的周期調(diào)制:b=b0+bfcos(ft).但有一點(diǎn)不同的是控制區(qū)域是集中在一個(gè)小的范圍內(nèi)而并不是在全空間(即整個(gè)系統(tǒng)).圖 1 展示了通過各種不同形式的局部刺激來控制(消除)Winfree 湍流態(tài).在圖 1(b)中,在一個(gè)小立方體上施加周期信號(hào);在圖 1(c)中,在某一個(gè)面上的條帶上施加信號(hào);而在圖 1(d)中,則是在整個(gè)平面上加信號(hào).從圖 1 中不難發(fā)現(xiàn),局域的刺激將誘導(dǎo)各種新波的產(chǎn)生,其中包括球面波(圖 1(b)柱面波(圖 1(c)以及平面波(圖 1(d).這種新

13、產(chǎn)生的波與原來存在的湍流波相互競(jìng)爭(zhēng),最終將其成功地消除掉.值得指出的是,我們所采取的局域周期信號(hào)的強(qiáng)度與變量 u 和屬于同一數(shù)量級(jí),即對(duì) Winfree 湍流態(tài)實(shí)現(xiàn)了低強(qiáng)度控制,對(duì)應(yīng)于對(duì)心臟的弱信號(hào)除顫.與全局控制的結(jié)果相比18,局部控制方法具有下面的特點(diǎn):(1)全局的方法需要將信號(hào)(或刺激)施加到整個(gè)系統(tǒng),這種方法在實(shí)際情況當(dāng)中會(huì)遇到很多不便(比如,將電脈沖信號(hào)施加在心臟內(nèi)部的整個(gè)心肌組織上是非常困難的);相反,將信號(hào)施加在系統(tǒng)的表面部分區(qū)域是比較方便的;(2)用局域周期刺激的方法來消除 Winfree 湍流態(tài)的速度很快(在可比的輸入信號(hào)總功率下,遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于全局控制方法).圖 1(e)給出了在

14、無任何刺激下,小立方體條狀以及整個(gè)平面刺激下的奇異線長(zhǎng)度隨時(shí)間的變化曲線.我們發(fā)現(xiàn),局域刺激可以使奇異線的長(zhǎng)度在 2030 個(gè)螺旋波周期內(nèi)減小至 0(即消除),而在文獻(xiàn)18中,全局刺激則需要 300 個(gè)螺旋波周期左右.對(duì)于局域刺激來控制 Winfree 湍流態(tài),效率是一個(gè)重要因素,即用盡可能小的功率來達(dá)到消除 Winree 湍流態(tài)的目的.假設(shè)注入信號(hào)的總功率正比于 Mb2f,其中 M 是注入?yún)^(qū)域的格點(diǎn)數(shù).數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),注入的區(qū)域如果是小立方體形狀的,那么控制 Winfree 湍流態(tài)的效率是最高的.盡管由于曲率的影響,平面波峰的運(yùn)動(dòng)速度要比凸的波峰(比如說球面波)來的大,但是要通過局部刺激首先必

15、須要產(chǎn)生一個(gè)完整的波峰.產(chǎn)生一個(gè)大的完整的平面波顯然要比產(chǎn)生一個(gè)小的球面波要困難,因此小立方體刺激要優(yōu)于其他兩種局部控制的方法.在接下來的討論當(dāng)中,我們著重關(guān)注局部刺激是小立方體的情況.圖 2 給出了在立方體局部刺激下,控制速度對(duì)于外加頻率外加振幅以及刺激區(qū)域大小的依賴關(guān)系.從這些圖中不難發(fā)現(xiàn):(1)要消除 Winfree 湍流態(tài),對(duì)外加頻率要有一定的選擇:頻率太小或太大都不能消除 Winfree 湍流態(tài),并且外加頻率要稍大于同樣參數(shù)下二維螺旋波的特征頻率,即f0.這是因?yàn)?只有當(dāng)局部刺激產(chǎn)生的球面波的頻率大于回卷波的頻率時(shí),球面波才能占優(yōu)勢(shì),從而消除湍流態(tài)(頻率大的占優(yōu));另一方面,外加頻率

16、應(yīng)有一個(gè)上限,在原有Winfree 湍流態(tài)存在的情況下,要有效地產(chǎn)生球面波,外加頻率不應(yīng)該遠(yuǎn)大于0.(2)注入信號(hào)的小立方體區(qū)域必須包括足夠多的格點(diǎn)數(shù)(但與整個(gè)系統(tǒng)相比,還是非常小的).這樣產(chǎn)生的波峰曲率才能小于波傳播的臨界曲率,球面靶波才能夠傳播,從而控制 Winfree 湍流態(tài).此外,信號(hào)的強(qiáng)度必須大于某一個(gè)臨界值(閾值).比如在本系統(tǒng)的數(shù)值模擬中,對(duì)于 n4(nnn 格點(diǎn))或 bf0.53 時(shí)小立方體方法不再奏效.這是因?yàn)橐a(chǎn)生球面靶波,局部刺激的振幅必須要大于一個(gè)閾值.從圖 2(b)和 2(c)還可以發(fā)現(xiàn),一旦 n 和 bf 大于臨界值,消除湍流態(tài)的速度幾乎不依賴于 n 和 bf. 換

17、句話說,如果繼續(xù)增加 n 和 bf,控制效率也不會(huì)明顯上升.這就意味著在一個(gè)優(yōu)化的參數(shù)組合情況下,可以達(dá)到高效率的控制.以上結(jié)果為臨床中用低幅電信號(hào)快速除顫提供了有益的參考.為了更加清晰地表明如何通過局部刺激(小立方體)來消除 Winfree 湍流態(tài)的,在圖 3 中,我們給出了其時(shí)間演化圖.從圖 3 可以看到,一個(gè)在小立方體區(qū)域內(nèi)的刺激,激發(fā)出一個(gè)球面靶波.該球面靶波與湍流波相互作用,最終將回卷波的奇異線排擠到系統(tǒng)的邊界外,整個(gè)系統(tǒng)最終被球面波所占據(jù).這時(shí)如果撤離局部周期信號(hào),整個(gè)系統(tǒng)將恢復(fù)到靜息狀態(tài).圖 3 周期刺激區(qū)域?yàn)樾×⒎襟w的情況下,消除 Winfree 湍流態(tài)的具體演化圖(相當(dāng)于圖

18、1 中的(b).從圖中可以發(fā)現(xiàn),一個(gè)局域的周期刺激將激發(fā)出一個(gè)球面靶波.借助于靶波的傳播,最終將 Winfree 湍流態(tài)趕出整個(gè)系統(tǒng)4 全局時(shí)空微擾前面講的控制方法18, 21以及以前許多控制二維系統(tǒng)的螺旋波湍流態(tài)方法都集中在對(duì)參數(shù)的純時(shí)間的周期調(diào)制.最近的研究表明,在二維激發(fā)系統(tǒng)中外加了一個(gè)較強(qiáng)的平面波控制信號(hào),系統(tǒng)最終被激發(fā)出平面波,同時(shí)消除了系統(tǒng)中的螺旋波及湍流態(tài)24.然而在三維的情況下,通過對(duì)參數(shù)的時(shí)空調(diào)制來抑制 Winfree湍流態(tài),還沒人研究過.以下我們研究如何通過對(duì)參數(shù)弱的時(shí)空調(diào)制-行波調(diào)制來消除 Winfree 湍流態(tài).對(duì)于時(shí)空調(diào)制,可以把參數(shù) b 寫成下面的形式:b=b0+b

19、fcos(kfr-ft).(4)純時(shí)間的調(diào)制可以認(rèn)為是行波調(diào)制在 kf=0 的一種特殊情況.在接下來的討論中,都是針對(duì)kf0,f0 的情況.下面主要討論空間共振的情況,即kf=k0(k0=2/0,0是在同樣參數(shù)下,二維系統(tǒng)中螺旋波的特征波長(zhǎng)).圖 4 展示了在參數(shù)bf=0.03,kf=k0的情況下,通過對(duì) b 進(jìn)行行波調(diào)制來消除 Winfree 湍流態(tài)的一個(gè)例子.與空間均勻周期調(diào)制(即 kf=0)相比18,行波調(diào)制對(duì)于控制湍流態(tài),效率更高:圖 5 比較了參數(shù)做純時(shí)間和做時(shí)空調(diào)制下,奇異線長(zhǎng)度隨時(shí)間的改變.我們發(fā)現(xiàn),在同樣的組合參數(shù)(bf,f)=(0.03,1.2)情況下,行波調(diào)制使奇異線長(zhǎng)度收

20、縮到 0 的速度要比在全局周期調(diào)制快 12 倍.同時(shí)也可以看到,對(duì)于 bf=0.03 和 kf=k0 ,存在一個(gè)最優(yōu)頻率,在這種情況下,通過行波調(diào)制來抑制 Winfree 湍流態(tài)的速度比均勻周期調(diào)制快將近 36 倍.圖 4 通過時(shí)空調(diào)制消除 Winfree 湍流態(tài) (a)和(b)表示 t=0 時(shí),初始時(shí)回卷環(huán)以及垂直奇異線截面上的二維螺旋波斑圖;(c)t=224,奇異線由于負(fù)張力失穩(wěn)而產(chǎn)生的 Winfree 湍流態(tài)(類似圖 1(a).此時(shí),施加的時(shí)空調(diào)制信號(hào)bf=0.03,kf=k0, f=1.2;(d)t=400,Winfree 湍流態(tài)最終被消除圖 5 在兩種不同的全局周期刺激下,奇異線長(zhǎng)度

21、 L 隨時(shí)間的變化 (a)全局時(shí)空調(diào)制:b=b0+bfcos(kfr-ft) ,bf=0.03 ,kf=k0 ,f=1.2 ;(b)全局均勻調(diào)制:b=b0+bfcos(ft),bf=0.03,f=1.2 ;(c)全局時(shí)空調(diào)制:f=1.0,其他參數(shù)同(a)為了更好的理解行波調(diào)制對(duì) Winfree 湍流態(tài)的高效控制,我們研究了行波調(diào)制對(duì)回卷環(huán)(圖 4(a)的影響,特別考慮了角(是指 kf 和 z 方向的夾角)對(duì)回卷環(huán)的抑制作用.圖 6 展示了抑制速度 R 對(duì)的依賴關(guān)系:當(dāng)=0,即 kf 平行于 z 軸的時(shí)候,控制速度達(dá)到最大;當(dāng)=/2,即 kf 垂直于 z 軸的時(shí)候,控制速度最小,但是不管取何值,

22、行波調(diào)制的控制速度總是要大于空間均勻調(diào)制的速度.Winfree 湍流態(tài)可以近似地看成由許許多多不同取向的部分回卷環(huán)構(gòu)成的,因此,利用行波調(diào)制的方法來控制 Winfree 湍流態(tài)要比空間均勻調(diào)制來得更加有效.圖 6 回卷環(huán)的收縮速度 R 與角(是指 kf 和 z 方向的夾角)的依賴關(guān)系(b=b0+bfcos(kfr-ft),bf=0.03,kf=k0,f=1.2.直線表示在全空間均勻調(diào)制 bf=0.03,f=1.2的情況下的收縮速度.從圖中對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于任何取向(角)在行波調(diào)制下,回卷環(huán)的收縮速度要快于全空間均勻調(diào)制的情況)5 總結(jié)和展望我們介紹了兩種有效的控制三維可激發(fā)系統(tǒng)中 Winfree 湍流態(tài)的方法.需要強(qiáng)調(diào)的是,無論是通過局部的周期刺激,還是全局的時(shí)空微擾,所施加的信號(hào)強(qiáng)度均是比較微弱的.這對(duì)臨床