三維化學(xué)-空間正多面體

1、高中化學(xué)競賽輔導(dǎo)專題講座三維化學(xué)第八節(jié) 空間正多面體前面幾節(jié)我們學(xué)習(xí)了五種正多面體，以及它們在化學(xué)中的應(yīng)用。此節(jié)我們將繼續(xù)對這一內(nèi)容進(jìn)行討論、總結(jié)與深化。何為正多面體，顧名思義，正多面體的每個面應(yīng)為完全相同的正多邊形。對頂點(diǎn)來說，每個頂點(diǎn)也是等價的，即有頂點(diǎn)引出的棱的數(shù)目是相同的，相鄰棱的夾角也應(yīng)是一樣的。那么三維空間里的正多面體究竟有多少種呢？【例題1】利用歐拉定理（頂點(diǎn)數(shù)棱邊數(shù)面數(shù)2），確定三維空間里的正多面體?！痉治觥繌膬蓚€角度考慮：先看每個面，正多邊形可以是幾邊形呢？我們知道三個正六邊形共頂點(diǎn)是構(gòu)成平面圖形的。因此最多只可以是正五邊形，當(dāng)然還有正三角形和正方形；再看頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)至少引

2、出三條棱邊，最多也只有五條棱邊（六條棱邊時每個角應(yīng)小于60°，不存在這樣的正多邊形）。因此，每個面是正五邊形時，三棱共頂點(diǎn)；正方形時，也只有三棱共頂點(diǎn)（四個正方形共頂點(diǎn)是平面的）；正三角形時，可三棱、四棱、五棱共頂點(diǎn)（六個正三角形共頂點(diǎn)也是平面的），當(dāng)然也可以說，一頂點(diǎn)引出三條棱邊時可以為正三角形面、正方形面和正五邊形面；一頂點(diǎn)引出四條棱邊時只可以為正三角形面；一頂點(diǎn)引出五條棱邊時也只可以為正三角形面共計五種情況，是否各種情況都存在呢？（顯然是，各種情況前面均已討論）我們用歐拉定理來計算。正三角形，三棱共頂點(diǎn)：設(shè)面數(shù)為x，則棱邊數(shù)為3x/2（一面三棱，二面共棱），頂點(diǎn)數(shù)為x（一面三頂

3、點(diǎn)，三頂點(diǎn)共面），由歐拉定理得x3x/2x2，解得x4，即正四面體；正三角形，四棱共頂點(diǎn)：同理，3x/42xx2，解得x8，即正八面體；正三角形，五棱共頂點(diǎn)：同理，3x/53x/2x2，解得x20，即正二十面體；正方形，三棱共頂點(diǎn)：同理，4x/32xx2，解得x6，即正方體；正五邊形，三棱共頂點(diǎn)：同理，5x/35x/2x2，解得x12，即正十二面體。【解答】共存在五種正多面體，分別是正四面體、正方體、正八面體、正十二面體、正二十面體。【例題2】確定各正多面體的對稱軸類型Cn和數(shù)目（Cn表示某一圖形繞軸旋轉(zhuǎn)360°/n后能與原圖形完全重合）【分析】正四面體：過一頂點(diǎn)和對面的面心為軸，這

4、是C3軸，顯然共有四條；有C2軸嗎？過相對棱的中點(diǎn)就是C2軸，共三條。將正四面體放入正方體再研究一下吧（參考第一節(jié)）！C3軸不就是體對角線嗎（8/2）？而C2軸就是正方體的相對面心（6/2）。正方體：存在C4軸，即過相對面的面心，有三條；C3軸，過相對頂點(diǎn)，有四條；C2軸呢？用了面心和頂點(diǎn)，是否可用棱邊呢？過相對棱的中點(diǎn)，不就是C2軸嗎？共有六條。正八面體：先也看過面心的軸，是C3軸；過頂點(diǎn)的軸，是C4軸；而過棱的中點(diǎn)的軸就是C2軸。正十二面體：過兩個相對面的面心就是C5軸，共有六條（12/2）；過相對頂點(diǎn)就是C3軸，應(yīng)該有十條（20/2）；過相對棱的中點(diǎn)也存在C2軸，共有十五條（30/2）。

5、正二十面體：過相對面的面心，十條C3軸；過相對頂點(diǎn)，六條C5軸；過相對棱心，十五條C2軸。從上面的分析不難看出，正方體與正八面體、正十二面體與正二十面體有相同的對稱性（對稱軸種類與數(shù)目相同，其實(shí)對稱面種類和數(shù)目，對稱中心也相同，此處不討論），也正如前面幾節(jié)所說，連接各自的面心可得到相應(yīng)的正多面體，而對稱軸（對稱面、對稱中心）沒有改變，這樣一對正多面體稱為對偶正多面體。還有一種正四面體，它是自對偶的，連接各自面心還是正四面體?！窘獯稹空拿骟w：4C3、3C2；正方體：3C4、4C3、6C2；正八面體：3C4、4C3、6C2；正十二面體：6C5、10C3，15C2；正二十面體：6C5、10C3，1

6、5C2；【例題3】在富勒烯家族Cx中，找出與正十二面體具有對稱軸的Cx?！痉治觥孔闱蛳〤60是Cx中最典型的物質(zhì)，它的模型類似足球，對稱性很好，有12個正五邊形和20正六邊形組成。第五節(jié)曾談到C60可由正二十面體消去12個頂點(diǎn)得到，因此過相對正五邊形的面心就是C5軸（12/2），過相對正六邊形的面心就是C3軸（20/2），也分別有6條和10條。除了C60還有嗎？再回顧第五節(jié)提到的C180，它有12個正五邊形，與它們相鄰的是60個正六邊形（12×5），還應(yīng)有20個正六邊形，它們周圍都有相同的環(huán)境（都是正六邊形），其面心就構(gòu)成正十二面體。因此過相對面的面心就是C3軸。與正十二面體具有相同

7、的對稱軸及其數(shù)目。從2060180，（都有12個正五邊形），下一個是否應(yīng)該是540呢？由第五節(jié)知識可求得正五邊形12個，正六邊形(54020)/2260個，與12個正五邊形相鄰的正六邊形有60個，再與這些正六邊形（6條邊一邊與正五邊形共用，相鄰兩邊與正六邊形共用，還剩三邊）相鄰的正六邊形有60×3180個，還剩下20個，這20個面的面心不就是正二十面體嗎？C540的下一個就是C1620了。正六邊形有(162020)/2800個，依次為60、180、540、20個。【解答】C20×3n【討論】空間正多面體由一種正多邊形構(gòu)成，若我們削弱條件，可要求由兩種正多邊形構(gòu)成，但每個頂點(diǎn)

8、仍完全等價的空間多面體，稱為亞正多面體。顯然，C60是一種典型的亞正多面體模型，它由正二十面體削去12個頂點(diǎn)得到，C60模型每個頂點(diǎn)都是等價的，由兩個正六邊形和一個正五邊形共用一個頂點(diǎn)，從這兒我們也能得到C60中，正五邊形與正六邊形的數(shù)目比為1/5:2/63:5。利用得到C60的啟示，我們在其它正多面體的適當(dāng)位置削去其頂點(diǎn)，也可得到亞正多面體。例如正四面體削去頂點(diǎn)后為4個正三角形與4個正六邊形構(gòu)成的亞正多面體。那么亞正多面體有多少種呢？答案是無限多個，至少有兩個系列是無限多個。其一為正棱柱系列：底面正多邊形（有無數(shù)種情況），調(diào)節(jié)高使與邊長相等，即側(cè)面為正方形。在這一系列中，兩底面正好是重疊式的

9、，能否是交叉式呢？此時一底面上頂點(diǎn)與另一底面上兩頂點(diǎn)相連，構(gòu)成的面是三角形。我們還是來調(diào)節(jié)高度，使這三角形正好是正三角形，這又是一個無窮系列。正方形和正八面體正好分別是這兩個系列的特殊情況。【例題4】C24H24有三種特殊的同分異構(gòu)體，它們都是籠狀結(jié)構(gòu)，不含有雙鍵和三鍵；它們都只有一種一氯取代物，而二氯取代物不完全相同。試畫出或說明A、B、C的碳原子空間構(gòu)型和二氯取代物的具體數(shù)目，并比較它們分子的穩(wěn)定性?！痉治觥緾60骨架類型是一種亞正多面體。一種顯然是上文提到的正棱柱體（另一系列不可以，每個頂點(diǎn)連了四條鍵），底面是正十二邊形，它的二氯取代物為13種。還有兩種呢？24是12的倍數(shù)，12是正方體和正八面體的棱邊數(shù)，每條棱的相同位置上取兩點(diǎn)，其位置不都是等價的嗎？即我們把正方體削去八個頂點(diǎn)正八邊形和正三角形構(gòu)成的亞正多面體；把正八面體削去六個頂點(diǎn)正六邊形和正方形構(gòu)成的亞正多面體。再來確定它們的二氯取代物，右上圖所示為正方體削去頂點(diǎn)的亞正多面體一底面放大，并投影到這一底面上的平面圖，從其一點(diǎn)到相對一點(diǎn)（最遠(yuǎn)）走最近距離為六條線段，故該二氯取代物為6種；右下圖所示為正八面體削去頂點(diǎn)的亞正多面體的投影圖，從其一點(diǎn)到相對一點(diǎn)（最遠(yuǎn)）走最近距離也為六條線段，即該二氯取代物也為6種。從鍵的張力再來分析這三個分子的穩(wěn)定性