液體粘滯系數的準確測量和計算

1、物理實驗第19卷第1期9液體粘滯系數的準確測量和計算許定生(上海交通大學應用物理系200240)摘要指出了粘滯系數實驗中的計算錯誤.詳細推導了正確計算液體粘滯系數的計算公式.關鍵詞粘滯系數摩擦力矩粘滯系數實驗有些教材用下式計算液體粘1滯系數(1)=234nLR2式中參量見圖1.R1為外圓筒的內半徑,R2為圓柱的外半徑,L為圓柱高度,z為圓柱底面到外圓筒的內底面的距離,R為砝碼、由于(2)式的出現,使得計算液體粘滯系數的誤差大大減小.但(2)式也有不足之處:一是因為在推導(2)式時取底部環(huán)狀液體31)的摩擦力矩3=M2,因而、下軸承的摩擦力,空氣阻力和液體旋渦等因素對摩擦力矩的影響.因而產生2的

2、系統(tǒng)誤差.正確計算液體粘滯系數的計算公式應該是(3)=33nR1R2(12R2Lz+R1-R2)下面我們就來詳細介紹(3)式的推導過程.在穩(wěn)定流動的液體中,流速不同的相鄰兩層液體的接觸面上,會形成一對阻礙兩液體層圖1測液體粘滯系數的原理圖由于推導公式(1)時將液體轉動簡化為平動,這與實際情況不符,因而造成相當大的系統(tǒng)誤差.最近有人從液體旋轉運動著手,推導出了粘滯系數實驗中液體粘滯系數的計算公式2=222nR1R2+R1-R22zR1(2)相對運動的等值反向的相反作用力,這一對力稱為內摩擦力(即粘滯力).在r=R1處角速度為R1)處液體為角速度為零.我們將液體劃分成如圖1所示的三個部分來分別討論

3、:圓柱側面的液體1;圓柱底面下方的液體2;圖1所示的底部環(huán)狀部分的液體3.7)觀察是否出現三角波時,示波器Y軸幅度置于015mV cm檔,X軸時間掃描置于015ms .正常的三角波在示波器上大約cm檔呈現35個波形.幅度則變化較大,可從幾mV變到上百mV.8)用新制作器件觀察三角波現象時必須十分細致,應反復調試,一旦出現三角波后,需驗證是否正常,排除受干擾或內部振蕩所致.本文作者衷心感謝邱經武教授所給予的各(1997210207收稿)種幫助.10物理實驗第19卷第1期1旋轉液體內摩擦力矩的計算公式111圓柱側面液體所受的力矩M1M1=rF3=-2Lrdr(7)在柱與筒之間,設想在液體中有一個距

4、軸線r處厚度為dr,長度為L的圓筒狀薄層,如圖2所示.薄層的內表面積為S=2rL.由該層內部液體作用在這個內表面的內摩擦力方向與.0的轉向相同實驗中我們只討論牛頓流體的情形.由牛頓內摩擦定律可知:平面層流時流層間的內摩擦力F等于表面積S、粘滯系數和速度梯度dv dl的乘積,即(4)F=Sdl本實驗中部分1屬于旋轉層流3,對于(7)式微分方程的解為M1=2L0R1-R2(8)112內圓柱底面所產生的內摩擦力矩M兩個距離較小的同軸大圓片,其間放有待測液體.當上圓片以0勻速轉動,下圓片靜止時,可以認為兩圓片間液體層的角速度均勻變化,即d dz為常量d dz=0 z底面半徑為rrr=dz圖2筒狀薄層,

5、2dr,可得M2為R2M2=rdS r0zR2=2r3dr0z如圖2所示的高度為L的筒狀薄層,半徑為r處的表面積S=2rL,該面所受的內摩擦力在柱坐標系中沿切線方向,其大小(在旋轉層流情形)為)F=-S(rdr2(5)=-2Lrdrd(r2)=0dr)=r2drdrd(r24(9)M2=2z113底部環(huán)狀液體的摩擦力矩M3環(huán)面半徑為r(R2<r<R1)處液體的速度梯度為r根據(6)式可知,環(huán)狀液體上表dz(-1),r面=,(R1-R2)zR1-R2rdz對面積為dS=2rdr的環(huán)狀面積元積分,可得環(huán)狀液體的摩擦力矩M3為R1M3=rdS(R1-R2)zR2=-C r+C利用邊界條件

6、 r=R2=0和 r=R1=0可得0=-C R1+C0=-C R2+CC=(R-R)zr(RR1R2121-r)drM3=6(R1-R2)z43R1-R2(4R1-,C=R2-R1R2-R1(6)3R2)4(10)(-1)=R1-R2r114其它因素產生的摩擦力矩M穩(wěn)定旋轉時半徑為r的柱面所受的力矩為常數,設其值為M1,可得其它因素是指轉圓筒上、下軸承的摩擦力,空氣阻力,液體作旋轉運動時產生的旋渦使液體上表面由水平面變?yōu)閽佄锩嫠斐傻哪芰繐p失.這三種因素所產生的摩擦力矩M4經試驗物理實驗第19卷第1期11測得其值為占總摩擦力矩的113左右.因而取(11)M4=01013M2液體粘滯系數的計算公

7、式將(13),(14)式代入(12)式,用311416代入,最后可得=33nR1R2(12R2Lz+R1-R2)圓柱所受的內摩擦力矩M為四分量之和,綜合(8),(9),(10)和(11)四式可得M=M1+M2+M3+M4經整理可得01987M=×6(R1-R2)z(12R2Lz+R13-R23)(12)這就是我們要推導的(3)式.實驗中,只要測出不同m所對應的穩(wěn)態(tài)旋轉轉速n,就可利用上式,先擬合出直線m與.具體實n的斜率,進而可計算出粘滯系數來驗中只記錄砝碼的質量m,而對掛桶、掛鉤和懸線的質量(也是m的一部分)不作測量.3液體粘滯系數公式的實驗驗證因穩(wěn)態(tài)旋轉時內摩擦力產生的力矩M與重力產生的力矩相平衡,故M=mgR角速度o可由轉速的測量值n來求出(13)(表1.10周所經歷表1質量m與轉速n的實測數值序號 mgt sn=ts-10105534對表1中數據用最小二乘法擬合可以算出直線m n的斜率,這斜率也即是(3)式中的n m.由此得實測值n m=71824sR1=31084cm,R2=21492cmR=11853cm,L=71462cmkg-1.粘度計的幾何參數和測量時的溫度分別為-1想的公式.而用(1)式計算=234nLR2=2198Pa sz=11870cm,T=1015.將斜率值(n m)和以上參數代入(3)式得=